第二章 復(fù)變函數(shù)的積分

1、梁昆淼 編,(第四版),高等教育出版社,主講：馮 杰,第二章 復(fù)變函數(shù)的積分,2.2 柯西定理,2.3 不定積分,2.4 柯西公式,2.1 復(fù)變函數(shù)積分,第一篇 復(fù)變函數(shù)論,第二章 復(fù)變函數(shù)的積分,2.1 復(fù)變函數(shù)積分,一、復(fù)數(shù)積分的基本概念,對(duì)復(fù)變函 數(shù)求之和,記,1、復(fù)函數(shù)積分的定義,其中,將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部分開(kāi),2、復(fù)函數(shù)積分的性質(zhì),6條性質(zhì)與實(shí)函數(shù)的積分相同P23,解,路徑(1),OB上：y=0； BA上：x=1,路徑(2),由此可見(jiàn)，對(duì)于有些被積函數(shù)，積分與路徑有關(guān)！,OC上：x=0； CA上：y=1,例2：計(jì)算積分,分別沿路徑(1)和(2)，如圖所示。,解,路徑(1),路徑(2

2、),由此可見(jiàn)，對(duì)于有些被積函數(shù)，積分與路徑無(wú)關(guān)！,OB上：y=0，BA上：x=2,2.2 柯西定理,一、單連通區(qū)域,1、單通區(qū)域柯西定理,證明：,如果函數(shù) f ( z )在閉單連通區(qū)域 B上解析，則沿B上任一分段光滑閉合曲線 l（可以是邊界），則有:,由C.R.條件,得：,證畢,由格林公式 （查高等數(shù)學(xué)曲線積分與曲面積分的關(guān)系）,令：,請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手做這一步。,推論：?jiǎn)芜B通區(qū)域中解析函數(shù) f ( z ) 的積分值與路經(jīng)無(wú)關(guān)。,證明：,即：解析函數(shù) f ( z ) 的積分值與路經(jīng)無(wú)關(guān)。,亦即：,所以：,即：,二、復(fù)連通區(qū)域,函數(shù)在區(qū)域上不可導(dǎo)，存在奇點(diǎn)； 將這些點(diǎn)挖掉所形成的帶空區(qū)域；, l 為區(qū)

3、域外境界線； li為區(qū)域內(nèi)境界線； 積分沿境界線正方向進(jìn)行； 正方向：沿該方向前進(jìn)，區(qū)域在其左邊；,1、復(fù)連通區(qū)域的含義,2、復(fù)通區(qū)域柯西定理：如果 f ( z )在閉復(fù)連通區(qū)域 上是單值的解析函數(shù)，則有,證明復(fù)通區(qū)域柯西定理,證：,將復(fù)連通區(qū)域：l + l1 + l2 進(jìn)行切割變成 單連通區(qū)域： l + AB+l1 +BA+CD+ l2+DC ；,對(duì)單連通區(qū)域： l + AB+l1 +BA+CD+ l2+DC； 應(yīng)用單通區(qū)域柯西定理，可得：,其中,內(nèi)、外境界線逆時(shí)針?lè)e分相等！,考察積分路徑的方向,逆時(shí)針,順時(shí)針,逆時(shí)針,逆時(shí)針,3、柯西定理的數(shù)學(xué)意義：,閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為

4、零；,閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)、外境界線 正方向積分之和為零；,閉復(fù)連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針 方向積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針?lè)较蚍e分之和；,2.3 不定積分,1、單連通區(qū)域的不定積分,單連通區(qū)域中解析函數(shù) f(z) 的積分值與路經(jīng) 無(wú)關(guān)，令z0固定，終點(diǎn) z 為變點(diǎn)，有單值函數(shù)：,A,B,l2,l1,且：,即，F(xiàn)(z) 是f (z)的原函數(shù)。,2、證明：,即,如圖，有：,另一方面，有恒等式：,即：,運(yùn)用極 限方法：,即，F(xiàn)(z) 是f(z)的原函數(shù),兩式 相減：,得：,且：,2、路積分等于原函 數(shù)F(z)的改變量,即，F(xiàn)(z) 是f(z) 的原函數(shù),證明：,即：,證畢。,

5、例：計(jì)算積分：,（n 為整數(shù)）,解：n 0 被積函數(shù)解析。,（1）如果l 不包圍，被積函數(shù)解析，,則有：,（2）如果l 包圍，但是n 0，被積函數(shù)亦解析，,則亦有：,為什么？,為什么？,l,C,R,（3）如果 l 包圍， 而且n 0 , z= 為(z- )n 奇點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)不解 析，作小圓C，則有：,則積分：,為什么？,l,C,R,例：計(jì)算積分,結(jié)論：,l 是圓周,( l不包圍),( l包圍),解：,有兩個(gè) 奇點(diǎn),因此，,因?yàn)閘 1 不包圍-1，所以， 在l 1 內(nèi)解析,（1）首先求沿l 1 的積分。,是因?yàn)閘 1 包圍+1， 非解析！,最后得l 1的路徑積分：,因此，,但是 ，為什么？,（

6、2）因?yàn)閘 2 不包圍+1， 被積函數(shù),解析，即, l 2的路徑積分得：,最后得l 的路徑積分：,2.4 柯西公式,1、柯西積分公式,如果f(z) 在閉單通區(qū)域上解析，l 是閉區(qū)域的境界線， 是閉區(qū)域 內(nèi)任一點(diǎn)，則有柯西積分公式:,2、柯西積分公式的證明,由,取小圓 C包圍 ，則有恒等式：,取小圓 C ，有,有 等式,l,l,C,考察柯西積分公式,即證明 f(z) = f( ) 即可！,f (z) 在閉單通區(qū)域上連續(xù)， 0， f (z) f ( )，有,得證！,最后，柯西公式可表式為：,f (z) 在閉單通區(qū)域上連續(xù)， 0， f (z) f ( )，有,3、f (z)在l區(qū)域上有奇點(diǎn)，挖去 奇點(diǎn)形成復(fù)通區(qū)域，柯西公式,l 為所有境界線， 方向?yàn)檎较?,4、柯西積分公式的數(shù)學(xué)意義：一個(gè)解析函數(shù)f (z)在 區(qū)域B內(nèi)的值由它在該區(qū)域邊界上的值f()所確定：,對(duì)于復(fù)通區(qū)域，類推有:,逆時(shí)針,順時(shí)針,5、推論求導(dǎo)的柯西公式P30,一個(gè)非常有用的公式：,解：,奇點(diǎn)為 z=0, z=i, z=-i,，在l內(nèi)只有 z=i，為什么？,例2：計(jì)算：,l為圓,n 0,n =1,n 1P30式（2. 4. 7）,解：,5、數(shù)模定理 復(fù)變函數(shù)的極值定理,設(shè)函數(shù) f (z)在某個(gè)閉區(qū)域