高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)學(xué)案14

1、學(xué)案學(xué)案 14導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 0 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函 數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分 條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)及最大(最小)值 自主梳理 1導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系： (1)若 f(x)0 在(a，b)上恒成立，則 f(x)在(a，b)上是_函數(shù)，f(x)0 的解集與定 義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為_區(qū)間； (2)若 f(x)0 在(a，b)上恒成立，則 f(x)在(a，b)上是_函數(shù)，f(x)1. 1 2 (1)討論函

2、數(shù) f(x)的單調(diào)性； (2)證明：若 a1. fx1fx2 x1x2 多角度審題 (1)先求導(dǎo)，根據(jù)參數(shù) a 的值進(jìn)行分類討論 ； (2)若 x1x2，結(jié)論等價(jià)于 f(x1) x1f(x2)x2，若 x1x2，問題等價(jià)于 f(x1)x1f(x2)x2，故問題等價(jià)于 yf(x)x 是單調(diào)增 函數(shù) 【答題模板】 (1)解f(x)的定義域?yàn)?0，) f(x)xa.2 分 a1 x x2axa1 x x1x1a x 若 a11，即 a2 時(shí)，f(x). x12 x 故 f(x)在(0，)上單調(diào)遞增 若 a11，故 1a2 時(shí)，則當(dāng) x(a1,1)時(shí)，f(x)0，故 f(x)在(a1,1)上單調(diào)遞減，

3、在(0，a1)，(1，)上單調(diào)遞 增 若 a11，即 a2 時(shí)，同理可得 f(x)在(1，a1)上單調(diào)遞減， 在(0,1)，(a1，)上單調(diào)遞增6 分 (2)證明考慮函數(shù) g(x)f(x)x x2ax(a1)ln xx. 1 2 則 g(x)x(a1)2(a1) a1 x xa1 x 1(1)2.a1 由于 1a0， 即 g(x)在(0，)上單調(diào)遞增， 從而當(dāng) x1x20 時(shí)，有 g(x1)g(x2)0， 即 f(x1)f(x2)x1x20， 故1.10 分 fx1fx2 x1x2 當(dāng) 0x11. fx1fx2 x1x2 fx2fx1 x2x1 綜上，若 a1.12 分 fx1fx2 x1x2

4、 【突破思維障礙】 (1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)鍵是討論導(dǎo)數(shù)大于 0 或小于 0 的不等式的解集，一般就是 歸結(jié)為一個(gè)一元二次不 等式的解集的討論， 在能夠通過因式分解得到導(dǎo)數(shù)等于 0 的根的情況下， 根的大小是分 類的標(biāo)準(zhǔn)； (2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而 解決不等式問題 1求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法： (1)確定函數(shù) f(x)的定義域； (2)求 f(x)，令 f(x)0，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)根； (3)把函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn)(即 f(x)的無定義點(diǎn))的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順 序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù) f(x

5、)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間； (4)確定 f(x)在各個(gè)開區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù) f(x)的符號(hào)判定函數(shù) f(x)在每個(gè)相應(yīng)小開 區(qū)間內(nèi)的增減性 2可導(dǎo)函數(shù)極值存在的條件： (1)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn) x0一定滿足 f(x0)0， 但當(dāng) f(x1)0 時(shí)， x1不一定是極值點(diǎn) 如 f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是極值點(diǎn) (2)可導(dǎo)函數(shù) yf(x)在點(diǎn) x0處取得極值的充要條件是 f(x0)0，且在 x0左側(cè)與右側(cè) f(x)的符號(hào)不同 3函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較 極值點(diǎn)附近的函數(shù)值得出來的函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū) 間內(nèi)

6、取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能 成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值 4求函數(shù)的最值以導(dǎo)數(shù)為工具，先找到極值點(diǎn)，再求極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，其中最 大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值 (滿分：75 分) 一、選擇題(每小題 5 分，共 25 分) 1(2011大連模擬)設(shè) f(x)，g(x)是 R 上的可導(dǎo)函數(shù)，f(x)、g(x)分別為 f(x)、g(x)的 導(dǎo)函數(shù)，且 f(x)g(x)f(x)g(x)0，則當(dāng) axf(b)g(x)Bf(x)g(a)f(a)g(x) Cf(x)g(x)f(b)g(b)Df(x)g(x)f(a)g(a) 2.函數(shù) f

7、(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a， b)， 導(dǎo)函數(shù) f(x)在(a， b)內(nèi)的圖象如圖所示， 則函數(shù) f(x) 在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn) () A1 個(gè)B2 個(gè) C3 個(gè)D4 個(gè) 3(2011嘉興模擬)若函數(shù) ya(x3x)在區(qū)間上為減函數(shù)，則 a 的取值范圍 ( 3 3 ， 3 3) 是 () Aa0B1a1D0a 3 2 3 2 CmDm3BaDa0，求函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值 答案答案 自主梳理 1(1)增增(2)減減(3)增減2.(1)f(x)0 f(x)0f(x)0(2)f(x)0 f(x)0極大值極小值 自我檢測 1C2.D3.C4.C 518 解析f(x)3x

8、22axb， 由題意Error!即Error! 得 a4，b11 或 a3，b3. 但當(dāng) a3 時(shí)，f(x)3x26x30，故不存在極值， a4，b11，f(2)18. 課堂活動(dòng)區(qū) 例 1 解題導(dǎo)引(1)一般地， 涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題， 往往 可以借助導(dǎo)數(shù)這一重要工具進(jìn)行求解函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，就是不等式 f(x)0 或 f(x)0，即(x22)ex0， ex0，x220，解得x0， x2(a2)xa0 對(duì) x(1,1)都成立， 即 x2(a2)xa0 對(duì) x(1,1)恒成立 設(shè) h(x)x2(a2)xa 只須滿足Error!，解得 a . 3 2 (3)若函

9、數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)遞減， 則 f(x)0 對(duì) xR 都成立，即x2(a2)xaex0 對(duì) xR 都成立 ex0，x2(a2)xa0 對(duì) xR 都成立 (a2)24a0，即 a240，這是不可能的 故函數(shù) f(x)不可能在 R 上單調(diào)遞減 若函數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)遞增，則 f(x)0 對(duì) xR 都成立，即x2(a2)xaex0 對(duì) xR 都成立 ex0，x2(a2)xa0 對(duì) xR 都成立 而 x2(a2)xa0 不可能恒成立， 故函數(shù) f(x)不可能在 R 上單調(diào)遞增 綜上可知函數(shù) f(x)不可能是 R 上的單調(diào)函數(shù) 變式遷移 1解(1)由題意得 f(x)3x22(1a)xa(a

10、2)，又Error!， 解得 b0，a3 或 a1. (2)由 f(x)0，得 x1a，x2. a2 3 又 f(x)在(1,1)上不單調(diào)， 即Error!或Error! 解得Error!或Error! 所以 a 的取值范圍為(5， )( ，1) 1 2 1 2 例 2 解題導(dǎo)引本題研究函數(shù)的極值問題利用待定系數(shù)法，由極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為 0，以及極大值、極小值，建立方程組求解判斷函數(shù)極值時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)不一定是 極值點(diǎn)， 所以求極值時(shí)一定要判斷導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性， 然后根據(jù)極值的定義 判斷是極大值還是極小值 解(1)由題意可知 f(x)3ax2b. 于是Error!，解得

11、Error! 故所求的函數(shù)解析式為 f(x) x34x4. 1 3 (2)由(1)可知 f(x)x24(x2)(x2) 令 f(x)0 得 x2 或 x2， 當(dāng) x 變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表所示： x(，2)2(2,2)2(2，) f(x)00 f(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增 值值 因此，當(dāng) x2 時(shí)， f(x)有極大值， 28 3 當(dāng) x2 時(shí)，f(x)有極小值 ， 4 3 所以函數(shù)的大致圖象如圖， 故實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 ( ，) 4 3 28 3 變式遷移 2解(1)f(x) 2bx1， a x Error!.解得 a ，b . 2 3 1 6 (2)f(x

12、)( )1. 2 3x x 3 x1x2 3x 函數(shù)定義域?yàn)?0，)，列表 x(0,1)1(1,2)2(2，) f(x)00 f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減 x1 是 f(x)的極小值點(diǎn)，x2 是 f(x)的極大值點(diǎn) 例 3 解題導(dǎo)引設(shè)函數(shù) f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求 f(x)在a，b上的最 大值和最小值的步驟： (1)求函數(shù) yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值 (2)將函數(shù) yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值， 最小的一個(gè)是最小值 解(1)由 f(x)x3ax2bxc， 得 f(x)3x22axb， 當(dāng) x1 時(shí)，

13、切線 l 的斜率為 3，可得 2ab0； 當(dāng) x 時(shí)，yf(x)有極值，則 f0， 2 3 ( 2 3 ) 可得 4a3b40. 由解得 a2，b4， 又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x1，f(1)4. 1abc4.c5. (2)由(1)，得 f(x)x32x24x5， f(x)3x24x4. 令 f(x)0，得 x2 或 x ， 2 3 f(x)0 的解集為，即為 f(x)的減區(qū)間 (2， 2 3) 3，2)、是函數(shù)的增區(qū)間 ( 2 3，1 又 f(3)8，f(2)13，f，f(1)4， ( 2 3 ) 95 27 yf(x)在3,1上的最大值為 13，最小值為. 95 27 變式遷移 3解(1)由題意得

14、 f(x)3ax22xb. 因此 g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb. 因?yàn)楹瘮?shù) g(x)是奇函數(shù)， 所以 g(x)g(x)，即對(duì)任意實(shí)數(shù) x， 有 a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)b ax3(3a1)x2(b2)xb， 從而 3a10，b0，解得 a ，b0， 1 3 因此 f(x)的表達(dá)式為 f(x) x3x2. 1 3 (2)由(1)知 g(x) x32x， 1 3 所以 g(x)x22，令 g(x)0， 解得 x1，x2，22 則當(dāng) x時(shí)，g(x)0，22 從而 g(x)在區(qū)間(，)，(，)上是減函數(shù)；22 當(dāng)x0，22 從而 g(x)在區(qū)間(，)上是增

15、函數(shù)22 由前面討論知，g(x)在區(qū)間1,2上的最大值與最小值只能在 x1， ，2 時(shí)取得，2 而 g(1) ，g()，g(2) . 5 3 2 4 2 3 4 3 因此 g(x)在區(qū)間1,2上的最大值為 g()，2 4 2 3 最小值為 g(2) . 4 3 課后練習(xí)區(qū) 1C2.A3.A4.A5.B 63 解析f(x)() x2a x1 ， x 2ax1x2ax1 x12 x22xa x12 又x1 為函數(shù)的極值，f(1)0. 121a0，即 a3. 7 解析觀察函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)的圖象，由單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)值的關(guān)系直接判 斷 8(，3)(6，) 解析f(x)3x22mxm60

16、 有兩個(gè)不等實(shí)根， 則 4m212(m6)0， m6 或 m3. 9解f(x)()，由 f(x)0 得 x2,1.(4 分) 2x1 x22 2x2x1 x 2 2 2 當(dāng) x(，2)時(shí) f(x)0，故 x2 是函數(shù)的極小值點(diǎn)， 故 f(x)的極小值為 f(2) ；(8 分) 1 2 當(dāng) x(2,1)時(shí) f(x)0，當(dāng) x(1，)時(shí) f(x)0，得 x2 或 x0， 故 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)(2，)； 由 f(x)0，得 0x2, 故 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(8 分) (2)由(1)得 f(x)3x(x2)， 令 f(x)0， 得 x0 或 x2. 當(dāng) x 變化時(shí)，f(x)、f(x)的變化情況如下表： x(，0