第2章插值法.ppt

1、1,計算方法電子教案,中南大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)與應(yīng)用軟件系,2,第二章 插值法 1 引言 2 拉格朗日插值多項式 3 牛頓插值多項式 4 分段低次插值 5 三次樣條插值 6 數(shù)值微分,3,1 引 言 1.1插值問題的提法 在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常遇到這種情況：在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù) 在區(qū)間 上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù) 的性態(tài)、甚至直接求出其,4,它一些點上的函數(shù)值是非常困難的。在有些情況下，雖然可以寫出函數(shù) 的解析表達式，但由于結(jié)構(gòu)相當復(fù)雜，使

2、用起來很不方便。面對這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達式），構(gòu)造某個簡單函數(shù)P(x)作為 的近似。 插值法是解決此類問題的一種比較古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中，而且也是進一步學(xué)習(xí)數(shù)值計算方法的基礎(chǔ)。,5,定義 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在區(qū)間 a,b上連續(xù)，且在n+1個不同的點 上分別取值 ，在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的函數(shù)類 中，求一簡單函數(shù)p(x) ，使 而在其它點 上，作為 f(x) 的近似。稱區(qū)間為插值區(qū)間，點 為插值節(jié)點，稱（1.1）為 f(x)的插值條件，稱函數(shù)類 為插值函數(shù)類，稱 p(x)為函數(shù)在,(1.1),6,節(jié)點

3、 處的插值函數(shù)。求插值函數(shù) p(x) 的方法稱為插值法。插值函數(shù)類的取法不同，所求得的插值函數(shù)p(x)逼近f(x)的效果就不同它的選擇取決于使用上的需要。常用的有代數(shù)多項式、三角多項式和有理函數(shù)等。 當選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)時，相應(yīng)的插值問題就稱為多項式插值。 在多項式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數(shù)不超過n的代數(shù)多項式,7,(1.2),使,其中 為實數(shù)。滿足插值條件(1.3)的多項式(1.2)，稱為函數(shù)f(x) 在節(jié)點 處的n次插值值多項式。 n次插值多項式 的幾何意義：過曲線y = f(x) 上的n+1個點 作一條n次代數(shù)曲線 ，作為曲線y = f(x) 的近似，如圖2-1。,

4、8,9,1 .2 插值多項式存在唯一性 由插值條件（1.3）知，插值多項式 的系數(shù) 滿足線性方程組 （1.4） 由線性代數(shù)知，線性方程組的系數(shù)行列式（記為V）是n+1階范德蒙（Vandermonde）行列式，且,10,因 是區(qū)間 上的不同點，上式右端乘積中的每一個因子 ，于是 ，方程組（1.4）的解存在且唯一。故有下面的結(jié)論： 定理1 若節(jié)點 互不相同，則滿足插值條件（1.3）的次插值多項式（1.2）存在且唯一。,11,2 拉格朗日插值多項式 在上一節(jié)里，我們不僅指出了插值多項式的存在唯一性，而且也提供了它的一種求法，即通過解線性方程組（1.4）來確定其系數(shù) ，但是，這種作法的計算工作量大，不

5、便于實際應(yīng)用，下面介紹幾種簡便的求法。 2.1 插值基函數(shù) 先考慮一下簡單的插值問題：對節(jié)點 中任一點 ,作一n次多項式 , 使它在該點上取值為1,而在其余點 上取值為零, 即 （2.1） （2.1）表明n個點 都是n次多項式 的零點，故可設(shè),12,其中 為待定系數(shù)，由條件 可得 故 (2.2) 對應(yīng)于每一節(jié)點 ，都能求出一個滿足插值條件（2.1）的n次插值多項式（2.2），這樣，由（2.2）式可以求出n+1個n次插插多項式 。容易看出，這組多項式僅與節(jié)點的取法有關(guān)，稱它們?yōu)樵趎+1個節(jié)點上的n次基本插值多項式或n次插值基函數(shù)。,13,2.2 拉格朗日插值多項式 利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足

6、插值條件（1.3）的n次插值多項式 （2.3） 事實上，由于每個插值基函數(shù) 都是n次多項式，故其線性組合（2.3）必是不高于n次的多項式，同時，根據(jù)條件（2.1）容易驗證多項式（2.3）在節(jié)點 處的值為 ，因此，它就是待求的n次插值多項式 。 形如(2.3)的插值多項式稱為拉格朗日插值多項式，記為 （2.4),14,作為的特例，令n=1，由（2.4）即得兩點插值公式 即 這是一個線性函數(shù)，用線性函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過曲線 上兩點 作一直線 近似代替曲線 (見圖2-2)，故兩點插值又名線性插值。 若令n=2，由（2.4）又可得常用的三點插值公式,（2.5）,（2.6）,（2.7）

7、,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),)(,(,),(,1,2,0,2,1,0,2,2,1,0,1,2,0,1,2,0,1,0,2,1,0,2,x,x,x,x,x,x,x,x,y,x,x,x,x,x,x,x,x,y,x,x,x,x,x,x,x,x,y,x,L,-,-,-,-,+,-,-,-,-,+,-,-,-,-,=,15,這是一個二次函數(shù)，用二次函數(shù) 近似代替函數(shù) ，在幾何上就是通過曲線 上的三點 ，作一拋物線 近似地代替曲線 （圖2-3），故三點插值(二次插值)。 例1 已知 分別用線性插值和拋物插值 求 的值。,圖2-2,16,解 因為115在100

8、和121之間，故取節(jié)點x0=100，x1=121相應(yīng)地有 y0=10，y1=11，于是，由線性插值公式（2.5）可得 故用線性插值求得的近似值為,圖2-3,17,18,圖2-4,19,然后再通過外循環(huán)，即令k從0到n，累加得出插值結(jié)果 。 2.3 插值余項 在插值區(qū)間a,b上用插值多項式 近似代替 ，除了在插值節(jié)點xi上沒有誤差外，在其它點上一般是存在有誤差的。若記 則 就是用 近似代替 時所產(chǎn)生的截斷誤差，稱 為插值多項式 的余項。 關(guān)于誤差有如下定理2中的估計式。 定理2 設(shè) 在區(qū)間 上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)， 為區(qū)間 上n+1個互異的節(jié)點， 為滿足條件:,20,的n次插值多項式，則對于任何

9、，有 其中 且依賴于 。 證明 由插值條件 知 ，即插值節(jié)點都是 的零點，故可設(shè) (2.10) 其中 為待定函數(shù)。下面求 ，對區(qū)間 上異于 的任意一點 作輔助函數(shù) 不難看出 具有如下特點: (2.11),（2.9）,21,(2) 在 上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，且 （2.12） 等式（2.11）表明 在 上至少有n+2個互異的零點，根據(jù)羅爾(Rolle)定理，在 的兩個零點之間 至少有一個零點，因此， 在 內(nèi)至少有n+1個互異的零點，對 再應(yīng)用羅爾定理，推得 在 內(nèi)至少有n個互異的零點，繼續(xù)上述討論，可推得 在 內(nèi)至少有一個零點，若記為 ，則 于是由（2.12）式得 將它代入(2.10)即得（2.9

10、）. 對于 ，（2.9）顯然成立。,22,例2 在例1中分別用線性插值和拋物插值計算了的 近似值，試估計它們的截斷誤差。 解 用線性插值求 的近似值，其截斷誤差由插值余項公 式（2.9）知 現(xiàn)在x0=100，x1=121，x=115，故,23,當用拋物插值求 的近似值時，其截斷誤差為 將 代入，即得 2.4 插值誤差的事后估計法 在許多情況下，要直接應(yīng)用余項公式（2.9）來估計誤差是很困難的，下面將以線性插值為例，介紹另一種估計誤差的方法。 設(shè) 若將用 兩點作線性插值求得 的近似值記為 ，用 兩點作線性插值所求得 的近似值記為 ，則由余項公式（2.9）知,24,（2.13）,假設(shè) 在區(qū)間 中變

11、化不大，將上面兩式相除，即得近似式 即 近似式（2.13）表明，可以通過兩個結(jié)果的偏差 來估計插值誤差 ，這種直接利用計算結(jié)果來估計誤差的方法，稱為事后估計法。 例3 在例1中，用 做節(jié)點，算得的 近似值為 ，同樣，用 做節(jié)點，可算得 的另一近似值 ，（2.13）可以估計出插值結(jié)果 的誤差為:,25,3 牛頓插值多項式 由線性代數(shù)可知，任何一個不高于n次的多項式，都可表示成函數(shù) 的線性組合，即可將滿足插值條件 的n次多項式寫成形式 其中 為待定系數(shù)。這種形式的插值多項式稱為牛頓Newton插值多項式，我們把它記成nx,即 （3.1),26,因此，牛頓插值多項式 是插值多項式 的另一種表示形式,

12、與拉格朗日插值多項式相比較，不僅克服了“增加一個節(jié)點時整個計算機工作必須重新開始”見例1的缺點，而且可以節(jié)省乘除法運算次數(shù)。同時，在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其它方面有著密切的關(guān)系. 3.1 向前差分與牛頓插值公式 設(shè)函數(shù)x 在等距節(jié)點 處 的函數(shù)值 為已知，其中h是正常數(shù)，稱為步長，稱兩個相鄰點 和 處函數(shù)值之差 為函數(shù)x在點 處以h為步長的一階向前差分簡稱一階差分，記作 ，即 于是，函數(shù)x 在各節(jié)點處的一階差分依次為 又稱一階差分的差分 為二階差分。,27,一般地，定義函數(shù) x在點 處的m階差分為 為了便于計算與應(yīng)用，通常采用表格形式計算差分，如 表2-1所示。

13、,表2-1,28,在等距節(jié)點 情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項式3.1 的系數(shù)，并將所得公式加以簡化。事實上，由插值條件 立即可得 再由插值條件 可得 由插值條件 可得 一般地，由插值條件 可得,29,于是，滿足插值條件 的插值多項式為 令 ,并注意到 ，則可簡化為 這個用向前差分表示的插值多項式，稱為牛頓向前插值公式，簡稱前插公式。它適用于計算表頭 附近的函數(shù)值。 由插值余項公式2.9，可得前插公式的余項為：,32,30,（3.3) 例4從給定的正弦函數(shù)表表2-2左邊兩列出發(fā)計算 ,并估計截斷誤差。,31,解 因為0.12介于0.1與0.2之間，故取 ，此時 。為求 , 構(gòu)造差分表22。

14、表中長方形框中各數(shù)依次為 在 處的函數(shù)值和各階差分。若用線性插值求sin0.12的近似值，則由前插公式3.2立即可得 用二次插值得 用三次插值得：,32,因 很接近，且由差分表22可以看出，三階差分接近于常數(shù)（即 接近于零），故取 作為 的近似值，此時由余項公式（3.3）可知其截斷誤差 3.2 向后差分與牛頓向后插值公式 在等距節(jié)點 下， 除了向前差分外，還可引入向后差分和中心差分，其定義和記號分別如下： 在點 處以h為步長的一階向后差分和m階向后差分分別為,33,在 點處以為步長的一階中心差分和m階中心差分分別為 其中 各階向后差分與中心差分的計算，可通過構(gòu)造向后差分表與中心差分表來完成參見

15、表2。 利用向后差分，可簡化牛頓插值多項式（.1），導(dǎo)出與牛頓前插公式3.2類似的公式，即，若將節(jié)點的排列次序看作 ，那么.1)可寫成,34,根據(jù)插值條件 , 可得到一個用向后差分表示的插值多項式 其中t0，插枝多項式(3.4)稱為牛頓向后插值公式，簡稱后插公式。它適用于計算表尾 附近的函數(shù)值。由插值余項公式（.9），可寫出后插公式的余項,(3.4),35,(3.5) 例已知函數(shù)表同例，計算 ，并估算截斷誤差。 解因為.58位于表尾 附近，故用后插公式（3.4）計算sin(0.58)的近似值。 一般地為了計算函數(shù)在 處的各階向后差分，應(yīng)構(gòu)造向后差分表。但由向前差分與向后差分的定義可以看出，對同

16、一函數(shù)表來說，構(gòu)造出來的向后差分表與向前差分表在數(shù)據(jù)上完全相同。因此，表-用“”線標出的各數(shù)依次給出了 在 處的函數(shù)值和向后差分值。因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進行計算，且 ，于是由后插公式（3.4）得,36,因為在整個計算中，只用到四個點 上的函數(shù)值，故由余項公式（.5）知其截斷誤差,37,3.3 差商與牛頓基本插值多項式 當插只節(jié)點非等距分布是，就不能引入差分來簡化牛頓插值多項式，此時可用差商這個新概念來解決。 設(shè)函數(shù) 在一串互異的點 上的值依次為 。我們稱函數(shù)值之差 與自變量之差 的比值 為函數(shù) 關(guān)于 點的一階差商，記作 例如,38,稱一階差商的差商 為函數(shù) 關(guān)于點 的二階差商

17、（簡稱二階差商），記 作 ，例如 一般地，可通過函數(shù) 的m-1階差商定義的m階差商如下：,39,差商計算也可采用表格形式（稱為差商表），如表23所示， 表23,40,差商具有下列重要性質(zhì)（證明略）： （1） 函數(shù) 的m階差商 可由函數(shù)值 的線性組合表示，且 （2） 差商具有對稱性，即任意調(diào)換節(jié)點的次序，不影響差商的值。 例如 （）當 在包含節(jié)點 的某個區(qū)間上存在時， 在 之間必有一點 使,41,（）在等距節(jié)點 情況下，可同時引入 階差分與差商，且有下面關(guān)系： 引入差商的概念后，可利用差商表示牛頓插值多項式（.1）的系數(shù)。事實上，從插值條件出發(fā)，可以象確定前插公式中的系數(shù)那樣，逐步地確定（.1）

18、中的系數(shù) 故滿足插值條件 的n次插值多項式為,42,（3.6） （3.6）稱為牛頓基本插值多項式，常用來計算非等距節(jié)點上的函數(shù)值。 例 試用牛頓基本插值多項式按例要求重新計算 的近似值。 解 先構(gòu)造差商表。 由上表可以看出牛頓基本插值多項式(3.6)中各系數(shù)依次為,43,故用線性插值所得的近似值為 用拋物插值所求得的近似值為 所得結(jié)果與例1相一致。比較例1和例6的計算過程可以看出，與拉格朗日插值多項式相比較，牛頓插值多項式的優(yōu)點是明顯的。 由插值多項式的存在唯一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項式（2.4）與牛頓基本插值多項式（3.6）是同一多項式。因此，余項公式（2.9）也適用于

19、牛頓插值。但是在實際計算中，有時也用差商表示的余項公式,44,（3.7） 來估計截斷誤差（證明略）。 注意： 上式中的n+1階商差 與 的值有關(guān)，故不 能準確地計算出 的精確值，只能對它作一 種估計。例，當四階差商變化不大時，可用 近似代替 。,45,4 分段低次插值 例2、例4表明，適當?shù)靥岣卟逯刀囗検降拇螖?shù)，有可能提高計算結(jié)果的準確程度。但是決不可由此提出結(jié)論，認為插值多項式的次數(shù)越高越好。例如，對函數(shù) 先以 為節(jié)點作五次插值多項式 ，再以 為節(jié)點作十次插值多項式 ，并將曲 線 描 繪在同一坐標系中，如圖2-5所示。,46,-1 0 1 x,y 1,y=1/(1+25x2),y=P5(x)

20、,圖2-5,y=P10(x),47,由上圖可看出，雖然在局部范圍中，例如在區(qū)間-0.2 ，0.2中， 比 較好地逼近 ,但從整體上看， 并非處處都比 較好地逼近 ，尤其是在區(qū)間-1 ，1的端點附近。進一步的分析表明，當n增大時，該函數(shù)在等距接點下的高次插值多項式 ，在-1 ，1兩端會發(fā)生激烈的振蕩。這種現(xiàn)象稱為龍格（Runge)現(xiàn)象。這表明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近的效果可能不理想的。 另一方面，插值誤差除來自截斷誤差外，還來自初始數(shù)據(jù)的誤差和計算過程中的舍入誤差。插值次數(shù)越高，計算工作越大，積累誤差也可能越大。 因此，在實際計算中，常用分段低次插值進行計算 ，即把整個插值區(qū)間分成若干小區(qū)

21、間，在每個小區(qū)間上進行低次插值。 例如，當給定n+1個點 上的函數(shù)值 后，若要計算點 處函數(shù)值 的近似值，可先選取兩個節(jié)點 使 然后在小區(qū)間 上作線性插值，即得,48,（4.1） 這種分段低次插值叫分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，如圖2-6所示。故分段線性插值又稱折線插值.,x,y=f(x),49,類似地，為求 的近似值，也可選取距點 最近的三個節(jié)點 進行二次插值，即取 這種分段低次插值叫分段二次插值。在幾何上就是用分段拋物線代替曲線，故分段二次插值又稱分段拋物插值。為了保證 是距點 最近的三個節(jié)點，（4.2）中的 可通過下面方法確定:,（4.2）,50,51,5 三次樣條插值 分段

22、低次插值雖然具有計算簡單、穩(wěn)定性好、收斂性有保證且易在電子計算機上實現(xiàn)等優(yōu)點，但它只能保證各小段曲線在連接點上的連續(xù)性，卻不能保證整條曲線的光滑性(如圖2-6中的折線)，這就不能滿足某些工程技術(shù)上的要求。從六十年代開始，首先由于航空、造船等工程設(shè)計的需要而發(fā)展起來的,52,所謂樣條（Spline)的插值方法，既保留了分段低次插值多項式的各種優(yōu)點，又提高了插值函數(shù)的光滑性。今天，樣條插值方法已成為數(shù)值逼近的一個極其重要的分支，在許多領(lǐng)域里得到越來越廣泛的應(yīng)用。 本節(jié)介紹應(yīng)用最廣泛且具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的三次樣條插值函數(shù)。 5.1 三次樣條插值函數(shù)的定義 對于給定的函數(shù)表,53,其中 ，若 函數(shù) 滿足

23、: （1） 在每個子區(qū)間 上是不高于三次的多項式； （2） 在a,b上連續(xù)； （3）滿足插值條件,54,則稱 為函數(shù) 關(guān)于節(jié)點 的三次樣條插值。 5.2 邊界條件問題的提出與類型 注：單靠一張函數(shù)表是不能完全確定一個三次樣條插值函數(shù)的。 事實上，由條件（1）知，三次樣條插值函數(shù) 是一個分段三次多項式， 若用 表示它在第 個子區(qū)間 上的表達式，則 形如：,55,這里有四個待定系數(shù) 。子區(qū)間共有n個，確定 需要確定4n個待定系數(shù)。 另一方面，要求分段三次多項式 及其導(dǎo)數(shù) 在整個插值區(qū)間a,b上連續(xù)，只要在各子區(qū)間的端點 連續(xù)即可。故由條件（2），（3）可得待定系數(shù)應(yīng)滿足的4n-2個方程為：,56,

24、(5.1),由此可以看出，要確定4n個待定系數(shù)還缺少兩個條件，這兩個條件通常在插值區(qū)間a,b的邊界點a,b處給出，稱為邊界條件。邊界條件的類型很多，常見的有： （1）給定一階導(dǎo)數(shù)值 （2）給定二階導(dǎo)數(shù)值,57,特別地， 稱為自然邊界條件，滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。 （3）當 是周期為 的函數(shù)時，則要求 及其導(dǎo)數(shù)都是以 為周期的函數(shù)，相應(yīng)的邊界條件為,58,5.3 三次樣條插值函數(shù)的求法 雖然可以利用方程組（5.1）和邊界條件求出所有待定系數(shù) aij 從而得到三次樣條插值函數(shù) 在各個子區(qū)間 的表達式 。但是，這種做法的計算工作量大，不便于實際應(yīng)用。下面介紹一種簡便的

25、方法。 設(shè)在節(jié)點 處 的二階導(dǎo)數(shù)為,59,因為在子區(qū)間 上 是不高于三次的多項式，其二階導(dǎo)數(shù)必是線性函數(shù)（或常數(shù)）。于是，有 記 則有,60,連續(xù)積分兩次得：,(5.2),其中 為積分常數(shù)。利用插值條件,易得,61,將它們代入（5.2） ，整理得,(5.3),62,綜合以上討論可知，只要確定 這n+1個值，就可定出三次樣條插值函數(shù)。 為了求出 ，利用一階函數(shù)在子區(qū)間連接點上連續(xù)的條件,即,（5.4）,由（5.3）可得,63,(5.5),故,(5.6),將（5.5）中的 改為 ，即得 在子區(qū)間 上的表達式 ，并由此得：,64,將(5.6),(5.7)代入(5.4)整理后得,(5.7),兩邊同乘以

26、 ，即得方程組,65,若記,(5.8),則所得方程組可簡寫成,66,即,(5.9),這是一個含有 n+1個未知數(shù)、n-1 個方程的線性方程組。要確定 的值，還需用到邊界條件。在第 (1) 種邊界條件下，由于,和,67,已知，可以得到包含 另外兩個線性方程。由(5.5)知， 在子區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù)為,故由條件 立即可得,68,即,(5.10),同理，由條件 可得,（5.11）,將(5.9)、(5.10)、(5.11)合在一起，即得確定 的線性方程組：,69,(5.12),其中,(5.13),70,已知，在方程組(5.13)中實際上只包含有n-1個未知數(shù) ，并且可以改寫成,在第(2) 種邊界條件下，由

27、,(5.14),71,在第(3)種邊界條件下，由 直接可得,(5.15),由條件 可得,72,注意到 和 ，上式整理后得,若記,73,則所得方程可簡寫成,(5.16),將 (5.9) 、(5.15) 、(5.16) 合在一起，即得確定 的線形方程組：,(5.17),74,利用線性代數(shù)知識，可以證明方程組 (5.12) 、(5.14) 及(5.17)的系數(shù)矩陣都是非奇異的，從而都有唯一確定的解。 針對不同的邊界條件，解相應(yīng)的方程組(5.12) 、 (5.14)或(5.17) ，求出 的值，將它們代入（5.3），就可以得到 在各子區(qū)間上的表達式。綜上分析，有,75,定理3 對于給定的函數(shù)表,滿足第

28、（1）或第（2）或第（3）種邊界條件的三次樣條插值函數(shù)是存在且唯一的。 三次樣條插值函數(shù) 的具體求解過程，在下面例子中給出了詳細說明。,76,例 7 已知函數(shù) 的函數(shù)值如下,在區(qū)間 上求三次樣條插值函數(shù) ，使它滿足邊界條件：,解 先根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出,，寫出確定 的線性方程組。,77,在本例中，給出的是第（1）種邊界條件，確定 的線性方程組形如（5.12） 。由所給函數(shù)表知,于是由 的算式(5.8) 知,78,由第（1）邊界條件下 與 的計算公式（5.13）知,故確定 的方程組為,（5.18）,79,然后解所得方程組，得到 在各節(jié)點 上的值 。在本例中，解（5.18）得,最后將所得 代

29、入（5.3），即得 在各子區(qū)間上的表達式 。由（5.3）知， 在 上的表達式為,80,在本例中，將,代入，整理后得,同理可得,81,故所求三次樣條插值函數(shù)為,第（1）邊界條件下計算三次樣條插值函數(shù)S（x）在 x 處函數(shù)值 的程序框圖如圖2-8,82,圖2-8,83,上述求三次樣條插值函數(shù)的方法，其基本思路和特點是: 先利用一階導(dǎo)數(shù) 在內(nèi)節(jié)點 上的連續(xù)性以及邊界條件，列出確定二階導(dǎo)數(shù) 的線性方程組（在力學(xué)上稱為三彎矩方程組），并由此解出 ，然后用 來表達 。,84,通過別的途徑也可求三次樣條插值函數(shù)。例如，可以先利用二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點上的連續(xù)性以及邊界條件，列出確定一 階導(dǎo)數(shù) 的線性方程組（在力學(xué)

30、上稱為三轉(zhuǎn)角方程組），并由此解出 ，然后用 來表達 。在有些情況下，這種表達方法與前者相比較，使用起來更方便1。,85,6 數(shù)值微分 作為多項式插值的應(yīng)用，本節(jié)介紹兩種求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似值的方法。 6.1 利用插值多項式求導(dǎo)數(shù) 若函數(shù) 在節(jié)點 處的函數(shù)值已知，就可作 的n次插值多項式 ，并用 近似代替 ，即,(6.1),86,由于 是多項式，容易求導(dǎo)數(shù)，故對應(yīng)于 的每一個插值多項式 ，就易建立一個數(shù)值微分公式 這樣建立起來的數(shù)值微分公式，統(tǒng)稱為插值型微分公式。 必須注意，即使 與 的近似程度非常好，導(dǎo)數(shù) 與 在某些點上的差別仍舊可能很大，因而，,87,在應(yīng)用數(shù)值微分公式時，要重視對誤差的分析。由

31、插值余項公式（2.9）知,（6.2）,由于式中 是 的未知函數(shù)，故 時，無法利用上式誤差 作出估計。但是，如果我們限定求某個節(jié)點 xi 處的導(dǎo)數(shù)值，那么（6.2）右端第二項之值應(yīng)為零，此時有,88,其中在 之間。該式右端由兩部分，即導(dǎo)數(shù)的近似值和相應(yīng)的截斷誤差組成。,（6.3）,若將它寫成帶余項的數(shù)值微分公式，即,89,由（6.3), 作為特例，當n=1時，插值節(jié)點為 ，記 得帶余式的兩點公式,（6.4）,前一公式的實質(zhì)是用 在 處的向前差商（分子是向前差分的差商）作為,90,的近似值，后一公式則是用 在 處的向后差商作為 的近似值。 當n=2且節(jié)點為 時,由(6.3)可得帶余項的三點公式,(

32、6.5),91,中間一個公式的實質(zhì)是用 在 處的中心差商作為 的近似值，它與前后兩公式相比較，其優(yōu)越性是顯然的。 用插值多項式 作為 的近似函數(shù)，還可用來建立高階的的數(shù)值微分公式。例如帶余式的二階三點公式,(6.6),92,6.2 利用三次樣條插值函數(shù)求導(dǎo) 由5知，對于給定函數(shù)表,和適當?shù)倪吔鐥l件，可以寫出三次樣條插值公式 ， 并用 近似代替 , 即,93,由于 是一個分段三次多項式，在各子區(qū)間 上容易求出導(dǎo)數(shù)，故可建立數(shù)值微分公式,(6.7),(6.8),94,例3 利用函數(shù) 在節(jié)點 上的函數(shù)值和邊界條件 S(1)=0.0740, S(1)=0.0740 構(gòu)造三次樣條插值公式 ，并用它來計算

33、 和 在下列點xk= 1+0.02k (k=0,1,2, ,100)處的近似值。計算結(jié)果如表2-4。,95,S(x),S(x),f(x),f(x),-1.00,0.03846,0.074,0.03846,0.07639,-0.92,0.04513,0.09369,0.04513,0.09367,-0.84,0.05365,0.1209,0.05365,0.1209,-0.76,0.06476,0.1594,0.06477,0.1594,-0.68,0.07961,0.2125,0.07962,0.2155,-0.60,0.1000,0.3000,0.1000,0.3000,-0.52,0.1289,0.4319,0.1289,0.4318,-0.44,0.1711,0.6457,0.1712,0.6451,-0.36,0.2359,1.003,0.2358,1.001,-0.28,0.3375,1.579,0.3378,1.598,-0.20,0.5000,2.563,0.5000,2.500,-0.12,0.7372,3.157,0.1353,3.244,-0.04,0.9594