第四章-根軌跡分析法-.ppt

1、第四章 根軌跡法分析,4.1 概述,4.2 繪制根軌跡的基本法則,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,4.3 廣義根軌跡,4.1 概 述,1. 根軌跡的概念,2. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系,3. 根軌跡方程,4.1 概 述,1. 根軌跡的概念,R(s),C(s),-,圖 4.1 系統(tǒng)方框圖,例 已知二階系統(tǒng)結構圖如圖4.1所示，試分析開環(huán)增益K的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。,特征方程式 ：,閉環(huán)傳遞函數(shù) ：,特 征 根 ：,4.1.1 根軌跡,K=0時，s1=0，s2=1，對應開環(huán)極點。,0K1/4時， s1、s2都是負實根，如s1=0.25， s2=0.75。,K=1/4時，s1=s2=

2、1/2，兩個相等負實根。,K：0,0,-1,j0.5,j,K=0,-j0.5,圖 4-2 根軌跡,K=0.1875,K=0.25,K=0.5,根軌跡：簡稱根跡，它是指系統(tǒng)中某一參數(shù)在可能的取值范圍內(nèi)連續(xù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡。,1/4K時，s1,s2為一對共軛復根；K=1/2時，s1,2=1/2j0.5。,4.1.2閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系,4.1 概 述,2. 閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點的關系,閉環(huán)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點構成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。,閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點及開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益有關。,根軌跡增益與開環(huán)放大倍數(shù)相

3、差一個比例系數(shù)。,4.1.3 根軌跡方程,-繪制根軌跡的依據(jù),特征方程,根軌跡方程,開環(huán)傳遞函數(shù),幅值條件,相角條件,k為整數(shù),4.1 概 述,3. 根軌跡方程,幅值條件,相角條件,相角條件是決定閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的充要條件。,利用相角條件確定根軌跡上某點的位置；利用幅值條件確定根軌跡上某一點對應的根軌跡增益。,滿足根軌跡方程的s值為閉環(huán)極點，必然在根軌跡上；滿足相角條件的點必然在根軌跡上。,4.1 概 述,幅值條件與相角條件的應用,s1=-0.825 s2,3= -1.09j2.07,-1.09+j2.07,2.26,66.27o,78.8o,2.11,127.53o,92.49o,2.072,

4、K*=,= 6.0068,92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180o,4.2 繪制根軌跡的基本法則 (180o根軌跡，K*：0),法則一 起始點、終止點及分支數(shù),法則二 根軌跡的對稱性,法則三 實軸上的根軌跡,法則四 根軌跡的漸進線,法則五 根軌跡的分離點,法則六 根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角),法則七 根軌跡的分離角與會合角,法則八 根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值,法則九 閉環(huán)極點的和,4.2 法則一 起始點、終止點及分支數(shù),若系統(tǒng)有n個開環(huán)極點、m個開環(huán)零點，則根軌跡的分支數(shù)有n條。它們起始于開環(huán)極點，有m條終止于開環(huán)零點，尚有(n-m)條終止于無

5、窮遠處零點。,根軌跡方程,起始點,K* 0,s pi,(n個開環(huán)極點),終止點,K* ,s zj,(m個開環(huán)零點),(n-m個無窮大零點),4.2 法則二 根軌跡的對稱性,法則二 根軌跡是連續(xù)的且對稱于實軸。,當根軌跡增益從0連續(xù)變化時，特征方程的根也將連續(xù)改變，故系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。由于閉環(huán)傳遞函數(shù)為有理分式函數(shù)，所以閉環(huán)極點只有實根和共軛復根兩類，這些極點在s平面上的分布是對稱于實軸的。,實軸上的根軌跡只能是那些在其右側(cè)的實數(shù)開環(huán)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)的線段。,法則三 實軸上的根軌跡,4.2 法則四 根軌跡的漸進線,當K* 時，有(n-m)條根軌跡分支沿著漸進線趨于無窮遠處。漸進線與實軸

6、的交點坐標和與實軸正方向的夾角分別為：,證明從略。,4.2 法則五 根軌跡的分離點,幾條根軌跡在s平面上相遇后又分開的點稱為根軌跡的分離點(或會合點，為了簡化可統(tǒng)稱為分離點)。分離點的可能之處可由下列微分方程解出：,(極值法),或分離點的坐標d可由如下方程解出：,(試探法),如果求得的解滿足特征方程或相角條件，則可判定其為分離點。,4.2 繪制根軌跡的基本法則,法則五 根軌跡的分離點,確定根軌跡幾個分支的分離點，實質(zhì)上是求閉環(huán)特征方程式的幾重根。,將特征方程寫成,在重根處應滿足,將K*表示成復變量s的函數(shù),4.2 繪制根軌跡的基本法則,例 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制系統(tǒng)的概略根軌跡。,解：

7、開環(huán)極點p1=0， p2=-1， p3=-2；無開環(huán)零點。,實軸上的根軌跡(-，-2， -1，0。,漸進線n=3，m=0，有三條漸進線。,交點,相角,4.2 繪制根軌跡的基本法則,解得,分離點,4.2 法則六 根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角),起始角：根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線與正實軸之間的夾角稱為起始角。,終止角：根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線與正實軸之間的夾角稱為終止角。,4.2 繪制根軌跡的基本法則,法則六 根軌跡的出射角(起始角)和入射角(終止角),在pl附近的根軌跡上取一點s1，則s1滿足根軌跡的相角條件，即,過pl和s1作割線，則割線與正實軸之間的夾角為,s1 pl時

8、，(s1-pl) pl，則,4.2 法則七 根軌跡的分離角與會合角,法則七 根軌跡離開(進入)重極點處的分離角(會合角)按等角性原則來確定，即分離點處分離與會合的根軌跡各個分支之間的夾角等于180o/l， l為分離或會合的根軌跡條數(shù)。,方法一：特征方程分解法。,將s=j代入特征方程,解得交點與臨界增益值。,方法二：勞斯判據(jù)法。令勞斯表出現(xiàn)全零行，但第一列符號不變。這時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。所求出的純虛根位于根軌跡與虛軸的交點上。,法則八 根軌跡與虛軸的交點及臨界增益值,4.2 法則九 閉環(huán)極點的和,開環(huán)傳遞函數(shù),當nm時,式中si為閉環(huán)極點。,當n-m2時，系統(tǒng)的閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，

9、且為常數(shù)。即,當K*變化時，在s平面上一部分根軌跡向左移動，則另一部分根軌跡必然向右移動。,4.2 繪制根軌跡的基本法則,例 4-9 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試繪制K*從 0 變化時系統(tǒng)特征方程的根軌跡。,解：開環(huán)極點： p1=0， p2=-3， p3,4=-1j ；無開環(huán)零點；四條根軌跡分支。,實軸上的根軌跡-3，0 。,漸進線n=4，m=0，有三條漸進線。,交點,相角,4.2 繪制根軌跡的基本法則,解得,那么,分離點,(s2-p1)+ (s2-p2) +(s2-p3) +(s2-p4) =153.3o+9.1o-66.6o+78.6o =174.4o 由于s2不滿足相角條件，故s2不是根軌

10、跡上的點，不是分離點。,由特征方程求得,4.2 繪制根軌跡的基本法則,在分離點s1處各根軌跡之間的夾角為180o/2=90o，會合角為0o、180o，故分離角為90o。,根軌跡在 p3 處的起始角,p3=(2k+1)+(-135o-90o-26.6o)= - 71.6o,與虛軸的交點及臨界增益值：采用勞斯判據(jù)。,閉環(huán)特征方程為,或,勞斯表,4.2 繪制根軌跡的基本法則,令勞斯表s1行的首項為零，求得K*=8.16，根據(jù)s2行的系數(shù)寫出輔助方程,令s=j，K*=8.16，代入上式求得=1.1。與虛軸的交點為j1.1，對應的K*=8.16。,根軌跡如右圖所示。,4.2 繪制根軌跡的基本法則,帶開環(huán)

11、零點的二階系統(tǒng)：在復平面上的根軌跡一定是圓或圓的一部分。,4.2 繪制根軌跡的基本法則,根軌跡對稱性的一條定理：若開環(huán)零極點的個數(shù)為偶數(shù)，且對稱分布于一條平行于虛軸的直線，則根軌跡一定關于該直線左右對稱。,4.2 繪制根軌跡的基本法則,4.3 廣義根軌跡,主要根軌跡：指0K*時的根軌跡(常規(guī)根軌跡、180o根軌跡、負反饋系統(tǒng)根軌跡、正參數(shù)根軌跡)。,輔助根軌跡：指-K*0時的根軌跡(補根軌跡、0o根軌跡、正反饋系統(tǒng)根軌跡、負參數(shù)根軌跡)。,參數(shù)根軌跡：系統(tǒng)中變化的不是增益，而是其它參數(shù)變化時的根軌跡。,根軌跡簇：多個參數(shù)變化時系統(tǒng)的根軌跡 。,延遲系統(tǒng)的根軌跡 ：具有延遲環(huán)節(jié)時系統(tǒng)的根軌跡 。

12、,廣義根軌跡,4.3 廣義根軌跡,1. 參數(shù)根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,3. 正反饋回路的根軌跡,4.3.1 參數(shù)根軌跡,有時需要討論系統(tǒng)中的參數(shù)，如某個微分或積分時間常數(shù)，反饋系數(shù)或校正環(huán)節(jié)參數(shù)的變化對系統(tǒng)閉環(huán)極點的影響。這時，需繪制除開環(huán)增益之外的其它參數(shù)變化時的根軌跡，稱為系統(tǒng)的參變量根軌跡或參數(shù)根軌跡。,參數(shù)根軌跡的繪制：利用等效開環(huán)傳遞函數(shù)的概念，應用常規(guī)根軌跡的繪制法則進行繪制。,等效的含義是指與原系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點。而閉環(huán)零點通常則不同，必須由原系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)確定。,4.3 廣義根軌跡,1. 參數(shù)根軌跡,原系統(tǒng)的特征方程為,則等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,將上式整理成如下形式,按

13、常規(guī)根軌跡的繪制方法，繪制出變化時等效系統(tǒng)的根軌跡，也即原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。,一般說，只要所論參數(shù)是線性地出現(xiàn)在閉環(huán)特征方程中，則總能把方程式寫成不含可變參數(shù)的多項式加上可變參數(shù)和另一多項式的乘積，然后將不含參數(shù)的多項式除方程式兩邊即可求等效開環(huán)傳遞函數(shù)。,4.3 廣義根軌跡,1. 參數(shù)根軌跡,例 4.10 已知系統(tǒng)結構圖如圖4-12所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試求Ta由0連續(xù)變化時的閉環(huán)根軌跡。,5,1+ Tas,R(s),C(s),-,圖 4.12 系統(tǒng)結構圖,4.3 廣義根軌跡,1. 參數(shù)根軌跡,原系統(tǒng)特征方程,即,可改寫為,新系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,式中Ta* =Ta相當于新系統(tǒng)的開環(huán)根

14、軌跡增益。,Ta變化時系統(tǒng)的根軌跡如圖所示。,4.3 廣義根軌跡,1. 參數(shù)根軌跡,Ta變化反映了系統(tǒng)開環(huán)零點變化對系統(tǒng)性能的影響。當Ta很小時，一對共軛復數(shù)極點離虛軸很近，系統(tǒng)的階躍響應有強烈的振蕩，平穩(wěn)性很差。,4.3 廣義根軌跡,1. 參數(shù)根軌跡,當Ta加大時，兩閉環(huán)極點離虛軸遠，靠近實軸，系統(tǒng)的阻尼加強，振蕩減弱，提高了平穩(wěn)性。,當Ta再加大時，兩閉環(huán)極點變?yōu)閷崝?shù)，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，階躍響應具有非周期性。,4.3.2 多回路系統(tǒng)根軌跡,前面介紹的單回路系統(tǒng)根軌跡的繪制方法，不僅適合單回路，而且也適合多回路系統(tǒng)，其思路和方法是先作內(nèi)環(huán)根軌跡，再用幅值條件試探求出內(nèi)環(huán)的閉環(huán)極點，進而作為

15、外環(huán)的一部分開環(huán)極點，再畫出外環(huán)的根軌跡。,4.3 廣義根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,例 4.11 已知系統(tǒng)結構圖如圖4.15所示，試繪制該系統(tǒng)關于參數(shù)的根軌跡。,s,R(s),C(s),-,圖 4.15 具有兩個反饋回路的系統(tǒng),-,E(s),解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,系統(tǒng)的特征方程,4.3 廣義根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,上式可改寫為,系統(tǒng)的特征方程,若取K1不同的定值，取為可變參數(shù)，畫出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡圖如圖所示。,由圖可知，在為有限值的情況下，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。選擇適當?shù)闹?，可使系統(tǒng)具有較好的相對穩(wěn)定性。,4.3 廣義根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)為,例 4.12

16、已知雙環(huán)反饋系統(tǒng)結構圖如圖4.17所示，試繪制以Kc為變量的根軌跡。,R(s),C(s),-,圖 4.17 雙回路反饋系統(tǒng),-,解 (1)作內(nèi)環(huán)根軌跡,4.3 廣義根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,內(nèi)環(huán)根軌跡如圖所示：,內(nèi)環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù),4.3 廣義根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,(2)求出K*=1.06時的內(nèi)環(huán)閉環(huán)極點(用試探法),用試探法求出一個閉環(huán)實極點為s1= 2.34，然后再求一對共軛復數(shù)極點。,長除法：,解得 s2,3=-0.33j0.58,根之和與積：設s2,3=j,根之和：,根之積：,4.3 廣義根軌跡,2. 多回路系統(tǒng)根軌跡,(3) 內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù),(4) 由內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞

17、函數(shù)得到外環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù),(5) 外環(huán)(系統(tǒng))的根軌跡,繪制多回路反饋控制系統(tǒng)的根軌跡的方法是從內(nèi)環(huán)開始，分層繪制，逐步擴展到整個系統(tǒng)。,4.3正反饋回路的根軌跡,前面介紹的繪制根軌跡的依據(jù)、法則，都適用于負反饋系統(tǒng)。對于正反饋，則需要對這些依據(jù)、法則進行修改。,正反饋回路的特征方程,幅值條件,相角條件,(與負反饋系統(tǒng)相同),(0o根軌跡),4.3 廣義根軌跡,3. 正反饋回路的根軌跡,法則三：實軸上的根軌跡為所在線段的右側(cè)有偶數(shù)個開環(huán)零極點。,法則四：根軌跡漸進線的傾角為,法則六：根軌跡的出射角與入射角分別為,法則七：在分離點處根軌跡各分支之間的夾角仍為180o/l。,4.3 廣義根軌跡,

18、3. 正反饋回路的根軌跡,例 設一反饋系統(tǒng)的內(nèi)回路為正反饋，其內(nèi)環(huán) 結構圖如圖所示，試繪制內(nèi)回路的根軌跡。,解 兩條根軌跡分支，分別起始于兩個開環(huán)極點-1j，終止于s平面無窮遠處。,因為實軸上無開環(huán)零、極點，所以整條實軸是根軌跡。,漸進線傾角,漸進線交點,4.3 廣義根軌跡,3. 正反饋回路的根軌跡,(4)開環(huán)極點-1j的出射角,(5)分離點 由dK*/ds=0，可求出s1=-1。,根軌跡圖,4.3 廣義根軌跡,3. 正反饋回路的根軌跡,例 設一非最小相位系統(tǒng)如圖所示，試繪制其根軌跡。,解 將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成標準形式,根軌跡方程,該系統(tǒng)的根軌跡必須按零度根軌跡的繪制法則進行繪制。系統(tǒng)的根軌跡圖

19、如圖所示。,4.3 廣義根軌跡,3. 正反饋回路的根軌跡,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,1. 閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響,2. 暫態(tài)響應性能分析,3. 增加開環(huán)零極點對根軌跡形狀的影響,4.4 .1 閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響,利用根軌跡得到閉環(huán)零極點在s平面的分布情況，就可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，進行系統(tǒng)性能分析。下面以系統(tǒng)的單位階躍響應為例，考查閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,1. 閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響,單位階躍響應,單位階躍響應,其中，A0、Ai取決于系統(tǒng)閉環(huán)零極點的分布。,閉環(huán)傳遞函數(shù),4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析

20、中的應用,1. 閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響,(1)穩(wěn)定性 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定工作，系統(tǒng)的根軌跡必須位于s平面的左半部。,(2)運動形態(tài) 設系統(tǒng)不存在閉環(huán)偶極子，閉環(huán)實極點對應的根軌跡位于實軸上，則對應的時間響應一定是單調(diào)的；閉環(huán)復數(shù)極點對應的時間響應是有振蕩的。,(3)平穩(wěn)性 欲使系統(tǒng)響應平穩(wěn)，系統(tǒng)的閉環(huán)復數(shù)極點的阻尼角應盡可能地小。兼顧系統(tǒng)響應的快速性，閉環(huán)主導極點的阻尼角一般取45o左右。,(4)快速性 欲使系統(tǒng)具有好的響應快速性，閉環(huán)極點應遠離虛軸，或用閉環(huán)零點與虛軸附近的閉環(huán)極點構成閉環(huán)偶極子。,4.4.2 暫態(tài)響應性能分析,閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)響應的性能由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點確定，而閉環(huán)系統(tǒng)

21、的零極點可由根軌跡法確定。當系統(tǒng)存在一對主導極點時，可以用低階系統(tǒng)來近似估算高階系統(tǒng)的暫態(tài)性能。,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,例 4.15 已知某天線伺服系統(tǒng)結構圖如圖4.25所示，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能。,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,(1) 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,解 作根軌跡圖如圖所示。,(2) 系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標,當Kf=80時，由根軌跡圖可得系統(tǒng)閉環(huán)極點。設s11=-1.53+jd,利用幅值條件，通過試探法求得閉環(huán)極點為,s11=-1.53+j8.35,s12=-1.53-j8.35,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中

22、的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,s11=-1.53+j8.35,s12=-1.53-j8.35,計算出性能指標為,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,要求阻尼比=0.32，試求放大器增益與性能指標。,sys3=tf(1,1 5 8 6 0); rlocus(sys3),4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,例 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試繪制系統(tǒng)的根軌跡，并分析K*=4時系統(tǒng)的性能。,解 (1)作根軌跡圖如圖所示。,(2)根據(jù)幅值條件確定系統(tǒng)的零極點分布。,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,根據(jù)根軌跡的一些特殊點(如分離

23、點、與虛軸交點)確定試探范圍。,當K*=4時，用試探法求得：,s1=-2,s2=-2.52,當K*=4時，系統(tǒng)有兩個閉環(huán)極點為負實數(shù)，而另兩個則為共軛復數(shù)。,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,特征多項式為,用長除法得,由s2+0.48s+0.79=0解得另兩個閉環(huán)復數(shù)極點為：,S3, 4=-0.24j0.86,(3)分析系統(tǒng)性能,暫態(tài)性能,s1 和s2的實部分別為復數(shù)極點實部的8.3倍和10.5倍，則系統(tǒng)可簡化為由主導極點S3,4所決定的二階系統(tǒng)。,4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,開環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,(傳遞系數(shù)不變),4.4 根軌跡在系統(tǒng)分析中的應用,2. 暫態(tài)響應性能分析,式中：n=0.89rad/s，=0.27。,系統(tǒng)的單位階躍響應為：,超調(diào)量,峰值時間,調(diào)節(jié)時間,4.4 根軌