2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.4 數(shù)列求和學(xué)案 理 北師大版

1、6.4數(shù)列求和最新考綱考情考向分析1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.本節(jié)以考查分組法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和為主，識(shí)別出等差(比)數(shù)列，直接用公式法也是考查的熱點(diǎn)題型以解答題的形式為主，難度中等或稍難一般第一問(wèn)考查求通項(xiàng)，第二問(wèn)考查求和，并與不等式、函數(shù)、最值等問(wèn)題綜合.1等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Snna1d.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn3一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(1)1234n.(2)13572n1n2.(3)24682nn(n1)(4)1222n2.知識(shí)拓展數(shù)列求和的常用方法(1)公式法直接利用等差、等比數(shù)列

2、的求和公式求和(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)常見的裂項(xiàng)公式；.(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn.()(2)當(dāng)n2時(shí)，.()(3)求Sna2a

3、23a3nan之和時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得()(4)數(shù)列的前n項(xiàng)和為n2.()(5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin21sin22sin23sin288sin28944.5.()(6)如果數(shù)列an是周期為k的周期數(shù)列，那么SkmmSk(m，k為大于1的正整數(shù))()題組二教材改編2一個(gè)球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是()A100200(129) B100100(129)C200(129) D100(129)答案A解析第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為1002(502510029

4、)1002100(212229)100200100200(129)312x3x2nxn1_.(x0且x1)答案解析設(shè)Sn12x3x2nxn1，則xSnx2x23x3nxn，得(1x)Sn1xx2xn1nxnnxn，Sn.題組三易錯(cuò)自糾4(2017濰坊調(diào)研)設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列，a12，且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則an的前n項(xiàng)和Sn等于()A. B.C. Dn2n答案A解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a12，a322d，a625d.又a1，a3，a6成等比數(shù)列，aa1a6.即(22d)22(25d)，整理得2d2d0.d0，d.Snna1dn.5(2018日照質(zhì)檢)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a

5、n(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A200 B200C400 D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.6數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anncos ，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 017_.答案1 008解析因?yàn)閿?shù)列anncos 呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1a2a3a42.a50，a66，a70，a88，故a5a6a7a82，周期T4.S2 017S2 016a2 01722 017cos 1 008.題型一分組轉(zhuǎn)化法求和典例 (2018合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列

6、an的前n項(xiàng)和Sn，nN.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn2an(1)nan，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和解(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n.a1也滿足ann，故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.記數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n，B12342n，則A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2nAB22n1n2.引申探究本例(2)中，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解由(1)知bn2n(1)nn.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn(21222n)1234(n1)n

7、2n12；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn思維升華 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和提醒：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論跟蹤訓(xùn)練 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，滿足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn設(shè)數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，

8、求T2n.解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由得解得an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，則cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)題型二錯(cuò)位相減法求和典例 (2017天津)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN)解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q

9、60.又因?yàn)閝0，解得q2，所以bn2n.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n.(2)設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18，得Tn4n1.所以數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為4n1.思維升華 錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)

10、(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá)式(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解跟蹤訓(xùn)練 (2018阜陽(yáng)調(diào)研)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意得即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.題

11、型三裂項(xiàng)相消法求和命題點(diǎn)1形如an型典例 (2017鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，且滿足Snan1n1(nN)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnlog3(an1)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.(1)解由Snan1n1(nN)，得Sn1ann(n2，nN)，兩式相減，并化簡(jiǎn)，得an13an2，即an113(an1)，又a112130，所以an1是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an1(3)3n13n.故an3n1.(2)證明由bnlog3(an1)log33nn，得，所以Tn0,6Sna3an，nN，bn，若任意nN，kTn恒成立，則k的最小值是()A. B. C49 D.答案B解析當(dāng)n1時(shí)，6a1a3a1，解得a13或a10.由an0，得a13.由6Sna3an，得6Sn1a3an1.兩式相減得6an1aa3an13an.所以(an1an)(an1an3)0.因?yàn)閍n0，所以an1an0，an1an3.即數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以an33(n1)3n.所以bn.所以TnTn恒成立，只需k.故選B.16(2018南昌調(diào)研)已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，任意nN，2Snaan.令bn，設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Tn，則在T1，T2，T3，T100中有理數(shù)的個(gè)數(shù)為_答案9解析2Snaan，2Sn1aan1，得2an1aa