2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案理北師大版

1、第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值考綱傳真(教師用書獨具)1.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義.2.會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)(對應(yīng)學(xué)生用書第10頁)基礎(chǔ)知識填充1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2A當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是增加的當(dāng)x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間A上是減少的圖像描述自左向右看圖像是上升的自左向右看圖像是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間A上是增加的或減少的，那么稱A為單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前

2、提函數(shù)yf(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的xD，都有f(x)M；(2)存在x0D，使得f(x0)M(3)對于任意的xD，都有f(x)M；(4)存在x0D，使得f(x0)M結(jié)論M為函數(shù)yf(x)的最大值，記作ymaxf(x0)M為函數(shù)yf(x)的最小值，記作yminf(x0)知識拓展函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)對任意x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函數(shù)，0f(x)在D上是減函數(shù)，即x與y同號增，異號減(2)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)(3)函數(shù)f(g(x)的單調(diào)性與函數(shù)yf(u)和ug(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”(4)

3、函數(shù)f(g(x)的單調(diào)性與函數(shù)yf(u)和ug(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”(5)f(x)x(a0)的單調(diào)性，如圖221可知，(0，減，)增，0)減，(，增圖221基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)對于函數(shù)f(x)，xD，若對任意x1，x2D，x1x2且(x1x2)f(x1)f(x2)0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)()(2)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(3)若定義在R上的函數(shù)f(x)有f(1)f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)()(4)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，)()(5)如果一個函數(shù)在

4、定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在定義域上是增函數(shù)()(6)所有的單調(diào)函數(shù)都有最值()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()Ay|x|By3xCyDyx24Ay3x在R上遞減，y在(0，)上遞減，yx24在(0，)上遞減，故選A.3設(shè)定義在1,7上的函數(shù)yf(x)的圖像如圖222所示，則函數(shù)yf(x)的增區(qū)間為_圖222答案1,1，5,74函數(shù)y(2k1)xb在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是_由題意知2k10，得k.5(教材改編)已知f(x)，x2,6，則f(x)的最大值為_，最小值為_2易知函數(shù)f(x)在x2,6上為減函數(shù)，故f

5、(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).(對應(yīng)學(xué)生用書第11頁)確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)(1)(2017全國卷)函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)(2)試討論函數(shù)f(x)x(k0)的單調(diào)性(1)D由x22x80，得x4或x2.設(shè)tx22x8，則yln t為增函數(shù)要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx22x8的單調(diào)遞增區(qū)間函數(shù)tx22x8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，)故選D.(2)法一：(導(dǎo)數(shù)法)f(x)1.令f(x)0得x2k，即x(，)或x(，)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(，)和(，)令f(x)

6、0得x2k，即x(，0)或x(0，)，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)和(0，)故函數(shù)f(x)在(，)和(，)上單調(diào)遞增，在(，0)和(0，)上單調(diào)遞減法二：(定義法)由解析式可知，函數(shù)的定義域是(，0)(0，)在(0，)內(nèi)任取x1，x2，令0x1x2，那么f(x2)f(x1)(x2x1)k(x2x1).因為0x1x2，所以x2x10，x1x20.故當(dāng)x1，x2(，)時，f(x1)f(x2)，即函數(shù)在(，)上單調(diào)遞增當(dāng)x1，x2(0，)時，f(x1)f(x2)，即函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減考慮到函數(shù)f(x)x(k0)是奇函數(shù)，在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，故在(，)上單調(diào)遞增，在(，0)上

7、單調(diào)遞減綜上，函數(shù)f(x)在(，)和(，)上單調(diào)遞增，在(，0)和(0，)上單調(diào)遞減規(guī)律方法1.對于選擇題，填空題可用下面四種方法判斷函數(shù)單調(diào)性(1)定義法：取值、作差、變形(因式分解、配方、有理化、通分)、定號、下結(jié)論.(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時為增函數(shù)，不同時為減函數(shù).(3)圖像法：如果f(x)是以圖像形式給出的，或者f(x)的圖像易作出，可由圖像的直觀性判斷函數(shù)單調(diào)性.(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性.2.證明函數(shù)的單調(diào)性有定義法、導(dǎo)數(shù)法.但在高考中，見到有解析式，盡量用導(dǎo)數(shù)法.易錯警示：(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.(2)

8、如有多個單調(diào)增(減)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用“”聯(lián)結(jié).跟蹤訓(xùn)練(1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)的是()AyBycos xCyln(x1)Dy2x(2)yx22|x|3的單調(diào)遞增區(qū)間為_. 【導(dǎo)學(xué)號：】(1)D(2)(，1，0,1(1)選項A中，y在(，1)和(1，)上為增函數(shù)，故y在(1,1)上為增函數(shù)；選項B中，ycos x在(1,1)上先增后減；選項C中，yln(x1)在(1，)上為增函數(shù)，故yln(x1)在(1,1)上為增函數(shù)；選項D中，y2x在R上為減函數(shù)，故y2x在(1,1)上是減函數(shù)(2)由題意知，當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24；當(dāng)x0時，yx22x3(x1)24，二次

9、函數(shù)的圖像如圖由圖像可知，函數(shù)yx22|x|3在(，1，0,1上是增函數(shù)求函數(shù)的最值(1)函數(shù)yx的最小值為_；(2)函數(shù)f(x)(x2)的最大值為_(1)1(2)2(1)令t，則t0，xt21，yt2t1，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t0時，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)t0時，ymin1.(2)法一：f(x)，x2時，f(x)0恒成立，f(x)在2，)上單調(diào)遞減，f(x)在2，)上的最大值為f(2)2.法二：f(x)1，f(x)的圖像是將y的圖像向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的y在1，)上單調(diào)遞減，f(x)在2，)上單調(diào)遞減，故f(x)在2，)上的最大值為f(2)2.法三：由題意可得f(x)1.x

10、2，x11，01，112，即12.故f(x)在2，)上的最大值為2.規(guī)律方法求函數(shù)最值的常用方法(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖像法：先作出函數(shù)的圖像，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.跟蹤訓(xùn)練(1)函數(shù)f(x)的最大值是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】(2)(2017浙江高考)若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0,1上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，但與b無關(guān)C與a無關(guān)，且與b無關(guān)D與a無關(guān)，但與b有關(guān)(1)2(2)B(1)當(dāng)x1時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以f(

11、x)在x1處取得最大值，為f(1)1；當(dāng)x1時，易知函數(shù)f(x)x22在x0處取得最大值，為f(0)2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.(2)法一：設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在0,1上的最小值點與最大值點，則mxax1b，Mxax2b.Mmxxa(x2x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無關(guān)故選B.法二：由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖像的形狀一定隨著b的變動，相當(dāng)于圖像上下移動，若b增大k個單位，則最大值與最小值分別變?yōu)镸k，mk，而(Mk)(mk)Mm，故與b無關(guān)隨著a的變動，相當(dāng)于圖像左右移動，故函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1的最大值M和最小值m變化，則Mm的值在變化，故與

12、a有關(guān)故選B.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度1比較大小已知函數(shù)f(x)的圖像向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x2x11時，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，設(shè)af，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()AcabBcbaCacbDbacD根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x1對稱，且在(1，)上是減函數(shù)所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.角度2解抽象不等式f(x)是定義在(0，)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，則不等式f(x)f(x8)2的解集為_(8,9因為211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(

13、9)，f(x)是定義在(0，)上的增函數(shù)，所以有解得8x9.角度3求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)f(x)若f(x)在(，)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為_(2,3要使函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則有即解得2a3，即實數(shù)a的取值范圍是(2,3規(guī)律方法函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略,(1)比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).易錯警示：(1)若函數(shù)在區(qū)間a，b上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.跟蹤訓(xùn)練(1)若函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是()A. B.C