二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制.ppt

1、第十章 二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制,在實(shí)際工程問題中，二次型性能指標(biāo)的線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題具有特別重要的意義。這是由于：二次型性能指標(biāo)具有鮮明的物理意義，它代表了大量工程實(shí)際問題中提出的性能指標(biāo)要求；在數(shù)學(xué)處理上比較簡(jiǎn)單，可求得最優(yōu)控制的統(tǒng)一解析表示式；特別可貴的是可得到狀態(tài)線性反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，這一點(diǎn)在工程實(shí)現(xiàn)上具有重要意義。,因此二次型性能指標(biāo)的線形系統(tǒng)最優(yōu)控制問題被廣泛應(yīng)用到各種工程實(shí)際中，例如：導(dǎo)彈的角度控制、電冰箱的溫度控制等。,電冰箱溫度控制,導(dǎo)彈角度控制,二次型性能指標(biāo)線性系統(tǒng)最優(yōu)控制問題可以描述如下：,這里，權(quán)函數(shù) ， 為正半定矩陣， 為正定矩陣。

2、假定 固定。要求尋找最優(yōu)控制 ，使性能指標(biāo) 為最小。,這里，被積函數(shù)的第一項(xiàng) 代表整個(gè)過程中誤差 的大小。由于 的正半定性，決定了這一項(xiàng)的非負(fù)性；被積函數(shù)的第二項(xiàng) 代表控制功率的消耗，其積分表示整個(gè)過程中控制能量的消耗。由于 的正定性，決定了這一項(xiàng)總為正，由于這個(gè)原因，對(duì) 往往不需再疑義約束，而常設(shè) 為自由的；指標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng) 表示終值誤差。從理論上講，被積函數(shù)的第一項(xiàng)已經(jīng)包括了終端誤差的萬分，但如需特別強(qiáng)調(diào)終值誤差，則可加上此項(xiàng)。,矩陣 則是用來權(quán)衡各個(gè)誤差成分及控制分量相對(duì)重要程度的加權(quán)陣。這里， 及 可以是時(shí)間函數(shù)，以表示在不同時(shí)刻的不以加權(quán)。,因此，二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題實(shí)質(zhì)上是

3、：要求用較小的控制能量來獲得較小誤差的最優(yōu)控制。,下面，我們將分別討論幾種特殊情況：, 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。它對(duì)應(yīng)于 及 的情況。這時(shí)要求用不大的控制能量以保持狀態(tài)在零值附近。, 輸出調(diào)節(jié)器問題。它對(duì)應(yīng)于 的情況。這時(shí)要求用不大的控制能量以保持輸出在零值附近。, 跟蹤器問題。這時(shí) ，它要墳用不大的控制能量使輸出量 跟蹤 。,第一節(jié) 線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,下面對(duì)以上結(jié)論作幾點(diǎn)說明：, 優(yōu)控制規(guī)律是一個(gè)狀態(tài)線性反饋規(guī)律，它能方便地實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。這一點(diǎn)在工程上具有十分重要的意義。閉環(huán)最優(yōu)控制的結(jié)構(gòu)原理圖如圖10-1。,圖10-1 閉環(huán)最優(yōu)控制結(jié)構(gòu)圖, 可以證明（略）， 是一個(gè)對(duì)稱陣。由于它是非

4、線性微分方程之解，通常情況下難求得解析解，一般都需由計(jì)算機(jī)求出其數(shù)值解，并且由于具邊界條件在終端處。因此需要逆時(shí)間方向求解，并且必須在過程開始之前就將 解出，存入計(jì)算機(jī)以供過程中使用。由于黎卡提微分方程與狀態(tài)及控制變量無關(guān)，因此在定常系統(tǒng)情況下，預(yù)先算出可能的。, 是時(shí)間函數(shù)，由此得出結(jié)論，即使線性系統(tǒng)是時(shí)不變的，為了實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，反饋增益應(yīng)該是時(shí)變的，而不是常值反饋增益。這一點(diǎn)與經(jīng)典控制方法的結(jié)論具有本質(zhì)的區(qū)別。,解: 本例相應(yīng)的具有關(guān)矩陣為：,設(shè)：,將 代入式,根據(jù)等號(hào)兩邊矩陣的對(duì)應(yīng)元素就相等，可得下列方程：,已知為 對(duì)稱矩陣，故 ，上式可變成：,已知 ，上列方程的終端邊界條件為：,上式的

5、求解一般由計(jì)算機(jī)進(jìn)行，將 的解代入式（10-23）可得最優(yōu)控制為：,第二節(jié) 時(shí)線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題,為常值矩陣，并滿足 為正半定的， 為正定的。求最優(yōu)點(diǎn)控制 ，使性能指標(biāo) 為最小。,這里討論的問題與第二節(jié)相比，有以下幾點(diǎn)不同：,系統(tǒng)是時(shí)不變的，性能指標(biāo)的權(quán)矩陣為常值矩陣。,2.端時(shí)刻 。在前節(jié)討論已知，即使線性系統(tǒng)是時(shí)不變的，求得的反饋增益矩陣是時(shí)變的，這使系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)大為復(fù)雜。終端時(shí)刻 取作無窮大，目的是期望能得到一個(gè)常值反饋增益矩陣。,3. 終值權(quán)矩陣 ，即沒有終端性能指標(biāo)。這是因?yàn)槿藗兛傇陉P(guān)注系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)的響應(yīng)，當(dāng) 時(shí)，這時(shí)的終值性能指標(biāo)就沒有多大實(shí)際意義了，并且終端狀態(tài)容許

6、出現(xiàn)任何非零值時(shí)，由于積分限為 ，都會(huì)引起必須指標(biāo)趨于無窮。,4.要求受控制系統(tǒng)完全可控，以保證最優(yōu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在前節(jié)討論控制區(qū)間 為有限時(shí)，即使出現(xiàn)某些狀態(tài)的不可控制情況，其以性能指標(biāo)的影響通?？偸怯邢薜?，因此最優(yōu)控制仍然可以存在。但是，當(dāng)控制區(qū)間為無限時(shí)，如果出現(xiàn)狀態(tài)不可控，則不論采取什么控制，都將使性能指標(biāo)趨于無窮大，也就無法比較各種控制的優(yōu)劣了。,在注意到以上幾點(diǎn)差別后，就可按照前節(jié)所述方法來求解最優(yōu)控制了，可以得到相似的結(jié)果如下：,下面，著重討論一個(gè)黎卡提微分方程解的性質(zhì)。一般情況下， 曲線的形狀大致如圖10-2所示?？赡芸吹?， 曲線具有以下性質(zhì)：,圖10-2 曲線大致形狀,2.

7、在接近終端時(shí)變化比較劇烈。,3.但在遠(yuǎn)離終端時(shí)， 慢慢趨于某個(gè)常值 。,1. 時(shí)， 。,上式稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。這是一個(gè)非線性代數(shù)方程，求解式（10-30）可得穩(wěn)態(tài)值 。這了保證最優(yōu)系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 必須是正定的（證明略）。這樣，得到了所期望的結(jié)果，即：最優(yōu)控制為狀態(tài)線性反饋，并且反饋增益為常值。由此可以構(gòu)成線性時(shí)不變的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，使結(jié)構(gòu)大為簡(jiǎn)化，這一點(diǎn)在工程實(shí)現(xiàn)上具有很大實(shí)用意義。閉環(huán)最優(yōu)控制的結(jié)構(gòu)圖如圖10-3所示。,圖10-3 最優(yōu)控制的結(jié)構(gòu)圖,解: 本例的有關(guān)矩陣為：,首先由黎卡提代數(shù)方程求解,上式給出方程：,由此解得：,為了保證 的正定性要求，最后解得,第三節(jié) 線線連續(xù)系統(tǒng)輸出調(diào)節(jié)

8、器問題,式中 為正半定矩陣， 為正定矩陣，要求最優(yōu)控制 ，使性能指標(biāo) 為最小。,這類問題可以首先把它轉(zhuǎn)化成等效的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，然后利用第三節(jié)的結(jié)果來求最優(yōu)控制規(guī)律。將 代入性能指標(biāo)，得：,(10-33),與狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題相比，可以發(fā)現(xiàn)其唯一差別是：在指標(biāo)函數(shù)中的權(quán)函數(shù)有了變換，即由 分別替換了 及 。因此，只要這種變換成立，則狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的所有結(jié)果在這里都能適用。在狀態(tài)調(diào)節(jié)器的討論中已知，為使最優(yōu)控制存在，要求權(quán)矩陣 ， 對(duì)稱并為正半定的。 對(duì)稱并為正定的。,目前情況下， 陣未變，因此為使最優(yōu)控制存在，相應(yīng)地要求矩陣 為對(duì)稱并為正半定的，這就是變換成立的條件。為此，我們引入以下定理。,定理

9、：如果 及 為正半定的，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)（831）為完全可觀測(cè)時(shí)，矩陣 是正半定的。,證明：如果系統(tǒng)完全可觀測(cè)，則滿足,即以上矩陣包含 個(gè)線性無關(guān)的列向量。于是 ，即任一狀態(tài)向量唯一地與輸出向量 相對(duì)應(yīng)。,已知 為正半定的，則 ，將 代入，故 ，該式表明，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)為完全可觀測(cè)時(shí)，對(duì)任何 均成立，由此可知， 亦是正半定的。同理可證得 亦是正半定的。,利用狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的結(jié)果得出的輸出調(diào)節(jié)器問題的結(jié)論如下：,幾點(diǎn)說明：, 輸出調(diào)節(jié)呂的最優(yōu)控制規(guī)律，并不是輸出量 的線性反饋，而仍是狀態(tài) 的線性反饋，此點(diǎn)反映了一個(gè)本質(zhì)問題，即構(gòu)成最優(yōu)控制需要的是全部狀態(tài)信息，輸出量?jī)H僅反映了狀態(tài)各分量的線性組合，但是

10、它無法提供各個(gè)狀態(tài)分量全部信息，因此從原理上講，僅由輸出反饋時(shí)，沒有充分利用全部信息，從而不能構(gòu)成最優(yōu)控制。, 當(dāng) 并系統(tǒng)為定常時(shí)的輸出調(diào)節(jié)器問題，只要系統(tǒng)是完全可控并可觀的，可以類似地利用 時(shí)的定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結(jié)果，即：最優(yōu)控制存在并唯一，其形式為：,為以下黎卡提代數(shù)方程,解: 顯然，系統(tǒng)是可控及可觀測(cè)的。并 ，滿足正定要求。將以上系統(tǒng)數(shù)代黎卡提代數(shù)方程：,解得：,為保證 的正定性，取,最后得最優(yōu)控制為：,第四節(jié) 線性連續(xù)系統(tǒng)跟蹤器問題,跟蹤器的任務(wù)是消耗不大的控制能量的情況下，能使 準(zhǔn)確地跟蹤 。,則得正則方程為：,其邊界條件為：,下面，對(duì)式（10-54）和式（10-55）作一些討論。式（

11、10-54）與輸出調(diào)節(jié)器中所得的黎卡提微分方程完全一樣。式（10-55）是以 作為輸入的一階線性微分方程。由于其邊界條件是終端值 ，需要逆時(shí)間方向求角，又因它為非齊次方程，因此要求預(yù)先 知道的全部信息。但是，在很多實(shí)際工程問題中，這往往是做不到的，這是一個(gè)過于苛刻的要求，正由于這一點(diǎn)，跟蹤器的應(yīng)用范圍受到了限制。,由式（10-54）、式（10-55）解得 及 ，代入式（10-52），即可求得最優(yōu)控制 ，它包括了兩部分，一部分為狀態(tài)的線性函數(shù)，它與輸出調(diào)節(jié)器中完全一樣。另一部分則為 的線性函數(shù)，它由給定的 所形成。,對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，當(dāng)理想輸出 為常值、終端時(shí)刻 極大但不等于無窮大時(shí)，可以導(dǎo)出一個(gè)近似的最優(yōu)控制規(guī)律，它是有很大的實(shí)用意義。雖然這個(gè)近似規(guī)律對(duì)于