金融數(shù)學(xué)().ppt

1、2020/7/31,1,金融數(shù)學(xué),方先明 南京大學(xué)金融與保險(xiǎn)學(xué)系 E-mail:,2020/7/31,2,導(dǎo)論 第一章金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 第二章金融市場(chǎng) 第三章資產(chǎn)組合復(fù)制和套利 第四章股票與期權(quán)的二叉樹(shù)模型 第五章連續(xù)時(shí)間模型和Black-Scholes公式 第六章Black-Scholes模型的解析方法 第七章對(duì)沖 第八章互換 第九章債券模型,金融數(shù)學(xué),2020/7/31,3,導(dǎo) 論,在人類發(fā)展史上，伴隨著第一張借據(jù)的出現(xiàn)，金融（finance）就產(chǎn)生了。時(shí)至今日，金融學(xué)已形成了宏觀金融學(xué)和微觀金融學(xué)兩個(gè)分支，其需要解決的核心問(wèn)題是：如何在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，通過(guò)資本市場(chǎng)對(duì)

2、資源進(jìn)行跨期的（intertemporally）最優(yōu)配置（allocation）。金融發(fā)展史表明，伴隨著金融學(xué)兩個(gè)分支學(xué)科的深化與發(fā)展，金融數(shù)學(xué)（Financial Mathematics）應(yīng)運(yùn)而生。,2020/7/31,4,如何理解：在不確定（uncertainty）的環(huán)境下，對(duì)資源進(jìn)行跨期的最優(yōu)配置？ 荒島魯賓遜傳奇（Robinson Crusoe） 思路：求一個(gè)終身的跨期最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題； 工具：隨機(jī)最優(yōu)控制（Stochastic optimal control）,導(dǎo) 論,2020/7/31,5,被薩繆爾森譽(yù)為金融理論“專家中的專家”、站在眾多“巨人肩上的巨人”的莫頓(Robert C

3、Merton)曾這樣說(shuō)過(guò)： 優(yōu)美的科學(xué)不一定是實(shí)用的，實(shí)用的科學(xué)也未必給人以美感，而現(xiàn)代金融理論卻兼?zhèn)淞藘?yōu)美和實(shí)用。,導(dǎo) 論,2020/7/31,6,導(dǎo)論,一、金融與金融數(shù)學(xué) 二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程 三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架,2020/7/31,7,一、金融與金融數(shù)學(xué),金融是一個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)的概念和范疇。通常，“金”是指資金，“融”是指融通，“金融”則指資金的融通，或者說(shuō)資本的借貸，即由資金融通的工具、機(jī)構(gòu)、市場(chǎng)和制度構(gòu)成的有機(jī)系統(tǒng)，是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的重要組成部分。 金融核心：在不確定的環(huán)境下，通過(guò)資本市場(chǎng)，對(duì)資源進(jìn)行跨期（最優(yōu)）配置。 如何理解其與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別？,2020/7/31,9,微觀金融

4、分析和宏觀金融分析分別從個(gè)體和整體角度研究金融運(yùn)行規(guī)律。 金融決策分析主要研究金融主體投資決策行為及其規(guī)律，服務(wù)于決策的“金融理論由一系列概念和定量模型組成。” 金融中介分析主要研究金融中介機(jī)構(gòu)的組織、管理和經(jīng)營(yíng)。包括對(duì)金融機(jī)構(gòu)的職能和作用及其存在形態(tài)的演進(jìn)趨勢(shì)的分析；金融機(jī)構(gòu)的組織形式、經(jīng)濟(jì)效率、混業(yè)與分業(yè)、金融機(jī)構(gòu)的脆弱性、風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移和控制等。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,10,宏觀金融分析從整體角度討論金融系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律，重點(diǎn)討論貨幣供求均衡、金融經(jīng)濟(jì)關(guān)系、通貨膨脹與通貨緊縮、金融危機(jī)、金融體系與金融制度、貨幣政策與金融宏觀調(diào)控、國(guó)際金融體系等問(wèn)題。 與經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展歷程相反，金

5、融學(xué)是先有宏觀部分再有微觀部分。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,11,完整的現(xiàn)代金融學(xué)體系將以微觀金融學(xué)和宏觀金融學(xué)為理論基礎(chǔ)，擴(kuò)展到各種具體的應(yīng)用金融學(xué)學(xué)科，而數(shù)理化（同時(shí)輔助以實(shí)證計(jì)量）的研究風(fēng)格將貫穿從理論到實(shí)踐的整個(gè)過(guò)程。在現(xiàn)代金融學(xué)的發(fā)展歷程中，兩次華爾街革命產(chǎn)生了一門(mén)新興的學(xué)科，即金融數(shù)學(xué)。隨著金融市場(chǎng)的發(fā)展，金融創(chuàng)新日益涌現(xiàn)，各種金融衍生產(chǎn)品層出不窮，這給金融數(shù)學(xué)的發(fā)展提出了更高的要求，同時(shí)也為金融數(shù)學(xué)這一門(mén)學(xué)科的發(fā)展提供了廣闊的空間。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,12,金融數(shù)學(xué)是金融學(xué)自身發(fā)展而衍生出來(lái)的一個(gè)新的分支，是數(shù)學(xué)與金融學(xué)相結(jié)合而產(chǎn)生的一門(mén)新的學(xué)

6、科，是金融學(xué)由定性分析向定性分析與定量分析相結(jié)合，由規(guī)范研究向?qū)嵶C研究為主轉(zhuǎn)變，由理論闡述向理論研究與實(shí)用研究并重，金融模糊決策向精確化決策發(fā)展的結(jié)果。,一、金融與金融數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)：研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。 金融學(xué)：研究運(yùn)作“金錢”事務(wù)的科學(xué)。 金融數(shù)學(xué)：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具來(lái)定量研究金融問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科。 與其說(shuō)是一門(mén)獨(dú)立學(xué)科，還不如說(shuō)是作為一系列方法而存在 。,2020/7/31,13,金融數(shù)學(xué)是金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)化。金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要研究對(duì)象是在證券市場(chǎng)上的投資和交 易，金融數(shù)學(xué)則是通過(guò)建立證券市場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型，研究證券市場(chǎng)的運(yùn)作規(guī)律。 金融數(shù)學(xué)研究的中心問(wèn)題是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（包括衍生金融產(chǎn)品和

7、金融工具）的定價(jià)和最優(yōu)投資策略的選擇，它的主要理論有：資本資產(chǎn)定價(jià)模型，套利定價(jià)理論，期權(quán)定價(jià)理論 及動(dòng)態(tài)投資組合理論。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,14,金融數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容： 風(fēng)險(xiǎn)管理 效用優(yōu)化 金融數(shù)學(xué)的主要工具是隨機(jī)分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì) （特別是非線性時(shí)間序列分析）。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,15,一、金融與金融數(shù)學(xué),依據(jù)研究方法：,2020/7/31,16,規(guī)范金融數(shù)學(xué)： 強(qiáng)調(diào)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)、最優(yōu)化、概率論、微分方程等知識(shí)對(duì)金融原理進(jìn)行推導(dǎo)。 如：第一次華爾街革命（資產(chǎn)組合問(wèn)題、資本資產(chǎn)定價(jià)模型）；第二次華爾街革命（期權(quán)定價(jià)公式）。 實(shí)證金融數(shù)學(xué)： 強(qiáng)調(diào)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)

8、學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、時(shí)間序列分析等知識(shí)對(duì)金融原理進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，并得出一些經(jīng)驗(yàn)結(jié)論。 如：資產(chǎn)定價(jià)模型的檢驗(yàn)、行為金融學(xué)的檢驗(yàn)。,一、金融與金融數(shù)學(xué),2020/7/31,17,金融數(shù)學(xué)的研究歷程大致可分為三個(gè)時(shí)期： 第一個(gè)時(shí)期為發(fā)展初期： 代表人物有阿羅（K . A rrow ）、德布魯（G . Debreu ）、林特納（J . Lintner ）、馬柯維茨（H . M . Markowitz ）、夏普（w . Sharp ）和莫迪利亞尼（F . Modigliani ）等。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,18,盡管早在1900年，法國(guó)人L巴恰利爾(Louis Bachelier)在一

9、篇關(guān)于金融投機(jī)的論文中，已經(jīng)開(kāi)始利用隨機(jī)過(guò)程工具探索那時(shí)尚無(wú)實(shí)物的金融衍生資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題，但巴恰利爾僅是那個(gè)時(shí)代的一顆孤星，因?yàn)樵陔S后的半個(gè)世紀(jì)中，他的論文只是在幾個(gè)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家手中流傳（奠定了現(xiàn)代金融學(xué)發(fā)展的基調(diào)）。 馬科維茨(HMarkowitz)1952年發(fā)表的那篇僅有14頁(yè)的論文既是現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的發(fā)端，同時(shí)也標(biāo)志著現(xiàn)代金融理論的誕生。稍后，莫迪利亞尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次應(yīng)用無(wú)套利原理證明了以他們名字命名的M-M定理。直到今天，這也許仍然是公司金融理論中最重要的定理。同時(shí)，德布魯(Debreu，1959)和阿羅(Arrow，1964)

10、將一般均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟(jì)中，為日后金融理論的發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一的分析框架。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,19,這些基礎(chǔ)性的工作在后來(lái)的10年內(nèi)得到了兩個(gè)重要的發(fā)展：其一是，在馬科維茨組合理論的基礎(chǔ)上，夏普(Sharpe，1964)、林特納(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示，在市場(chǎng)出清狀態(tài)，所有投資者都將選擇無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與市場(chǎng)組合證券的線性組合；另一重要發(fā)展是對(duì)阿羅-德布魯理論的推廣。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)顯示了阿羅-德布魯理論在一些基本的金融理論問(wèn)題中的應(yīng)用，并在一般均衡體系中證明了M-M定理，第一次將阿羅-

11、德布魯框架與套利理論聯(lián)系起來(lái)。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,20,第二個(gè)時(shí)期為1969-1979 年： 這一時(shí)期是金融數(shù)學(xué)發(fā)展的黃金時(shí)代，主要代表人物有莫頓（R . Merton ）、布萊克（F . Black ）、斯科爾斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、羅斯（.Ross）、魯賓斯坦（M . Rubinstein ）、萊克(S.Lekoy）、盧卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,21,首先，CAPM理論得到一系列的發(fā)展。在夏普

12、-林特納-莫辛單期CAPM基礎(chǔ)上，布萊克(Black，1972)對(duì)借貸引入限制，推導(dǎo)了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不存在情況下的“CAPM”。薩繆爾森(1969)、魯賓斯坦(Rubinstein，1974，1976)、克勞斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布倫南(Brennan，1970)等將馬科維茨的靜態(tài)分析擴(kuò)充至離散時(shí)間的多期分析，得到了跨期CAPM。莫頓(Merton，1969，1971，1973a)則提供了連續(xù)時(shí)間的CAPM版本(稱為ICAPM)。羅斯(Ross，1976a)提出與CAPM競(jìng)爭(zhēng)的套利定價(jià)理論(APT)。值得強(qiáng)調(diào)的是，莫頓的這些文獻(xiàn)不僅是建立了連續(xù)時(shí)

13、間內(nèi)最優(yōu)資產(chǎn)組合模型和資產(chǎn)定價(jià)公式，而且首次將伊藤積分引入經(jīng)濟(jì)分析。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,22,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,1970年代最具革命性意義的事件無(wú)疑當(dāng)數(shù)布萊克和斯科爾斯(Black and Scholes，1973)推導(dǎo)出簡(jiǎn)單的期權(quán)定價(jià)公式，以及莫頓(Merton，1973b)對(duì)該定價(jià)公式的發(fā)展和深化。 在這個(gè)階段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)發(fā)展了證券定價(jià)鞅理論(theory of martingale pricing)，這個(gè)理論在目前也仍然是金融研究的前沿課題。 同一時(shí)期另一引人注目的發(fā)展是非對(duì)稱信息分析方法開(kāi)始使

14、用。,2020/7/31,23,金融數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個(gè)時(shí)期： 1980 年至今是金融數(shù)學(xué)發(fā)展的第三個(gè)時(shí)期，是成果頻出、不斷成熟完善的時(shí)期。該期間的代表人物有達(dá)菲（D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黃（C . F . Huang ）等。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,24,1980年代以后，資產(chǎn)定價(jià)理論和不完全信息金融市場(chǎng)分析繼續(xù)發(fā)展。在資產(chǎn)定價(jià)理論方面，各種概念被統(tǒng)一到阿羅-德布魯一般均衡框架下，顯得更為靈活和適用。鞅定價(jià)原理逐漸在資產(chǎn)定價(jià)模型中占據(jù)了中心位置，達(dá)菲和黃(Duffle and Huang，1985)等在此基

15、礎(chǔ)上大大地推廣了布萊克-斯科爾斯模型。 在非對(duì)稱信息分析方面，非合作博弈論及新產(chǎn)業(yè)組織理論的研究方法得到廣泛應(yīng)用。戴蒙德(Diamond，1984)在利蘭-派爾模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步揭示了金融中介因風(fēng)險(xiǎn)分散產(chǎn)生的規(guī)模經(jīng)濟(jì)利益，并提出了金融中介代理最終貸款者監(jiān)督借款企業(yè)的效率優(yōu)勢(shì)。戴蒙德和迪布維克(Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流動(dòng)性調(diào)節(jié)服務(wù)的銀行模型；戴蒙德(1989)、霍姆斯特龍和梯羅爾(Holmstrom and Tirole，1993)又以道德危險(xiǎn)(moral hazard)現(xiàn)象為基礎(chǔ)，解釋了直接金融和中介金融共存的理由。至此，金融中介最基本的經(jīng)濟(jì)功能得到了較為完

16、整的模型刻畫(huà)。,二、金融數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,2020/7/31,25,三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架,2020/7/31,26,第一部分是金融數(shù)學(xué)方法篇，闡述了金融數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)方法和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，重點(diǎn)講述了微積分、線性代數(shù)、概率論、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)在金融數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 第二部分是金融數(shù)學(xué)方法核心篇，闡述了資本資產(chǎn)定價(jià)模型和期權(quán)定價(jià)模型。 第三部分是金融數(shù)學(xué)應(yīng)用篇，闡述了金融數(shù)學(xué)在貨幣市場(chǎng)、外匯市場(chǎng)、證券市場(chǎng)的應(yīng)用。,三、金融數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)框架,2020/7/31,27,多多交流，多加指正!,方先明，男，管理學(xué)博士，理論經(jīng)濟(jì)學(xué)博士后流動(dòng)站出站，從事金融理論與政策及金融風(fēng)險(xiǎn)控制研究。 通信地址:南京市

17、漢口路22號(hào) 南京大學(xué)商學(xué)院 ，210093 E-mail ：,2020/7/31,28,第一章金融數(shù)學(xué)基礎(chǔ),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用 第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用 第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,29,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,一、指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 （一）連續(xù)復(fù)利和實(shí)際利率,若在任何時(shí)刻 ，某人在銀行存款總額為A(t)，計(jì)算周期為h0，則在t=h，初始的存款總額A(0)增至A(h),2020/7/31,30,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,利息,僅僅考慮利息的大小是沒(méi)有意義的，必須考慮本金和存期,稱單位時(shí)間內(nèi)的相對(duì)回報(bào)率r(h)為0,h上的利率,20

18、20/7/31,31,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,32,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,一般而言，利率r不是常數(shù)，若記rj為時(shí)間區(qū)間jh,(j+1)h上的定期存款利率，則在時(shí)刻t=kh，存款總額為：,若h=1， rj=r，則,2020/7/31,33,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,通常利率是指年利率，活期利率類似于期限為1天的定期，但它始終是單利。,在美國(guó)的利率史上，曾經(jīng)有過(guò)長(zhǎng)期利率低于短期利率的例子，這種情況會(huì)在什么情況下出現(xiàn)？ 在經(jīng)濟(jì)由高速增長(zhǎng)階段進(jìn)入衰退階段時(shí)會(huì)出現(xiàn)。,2020/7/31,34,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,對(duì)給定t0(由于r為年利率，t的單位

19、為年)，記k=t/h，則在時(shí)刻t的存款總額A(t;h)(其中對(duì)任意h大于0，A(0;h)=A(0)，,2020/7/31,35,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,A(t)稱為是由（常值）利率為r連續(xù)復(fù)利得到的存款總額。,注意：是 的一個(gè)近似，而不是相反。,2020/7/31,36,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,考慮任何一個(gè)時(shí)間區(qū)間t,t+h(h0)，則瞬時(shí)利率被定義為瞬時(shí)單位時(shí)間中的相對(duì)回報(bào)率，即,解此微分方程得,2020/7/31,37,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,只要利率是非負(fù)的，總有,即，銀行存款總額是非減的。 基于此，銀行存款是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。,2020/7/31,38,第一節(jié)微積分在數(shù)

20、理金融中的應(yīng)用,附：,2020/7/31,39,例：求100元本金，以10%復(fù)利兩年的終值 每年計(jì)算復(fù)利一次 半年計(jì)算復(fù)利一次 連續(xù)計(jì)算復(fù)利 能得出什么結(jié)論？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,40,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,41,（二）連續(xù)復(fù)利利率與名義利率,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,42,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：名義利率為10% ，期限為2 年，求： （1）半年計(jì)算復(fù)利一次的實(shí)際年利率； （2）連續(xù)計(jì)算復(fù)利的實(shí)際年利率。 能得出什么結(jié)論？,2020/7/31,43,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,

21、2020/7/31,44,（三）銀行按揭貸款,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,貸款P元，年利率為r，分n期等額償還，每期應(yīng)償還多少？,已知現(xiàn)值求年金（資金還原公式）,2020/7/31,45,例：某人貸款余額為20萬(wàn)元，年利率為6 %，計(jì)劃辦理5 年銀行按揭，每個(gè)月月未應(yīng)向銀行還款多少錢？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,46,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,47,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：汽車每輛售價(jià)100000元，成交時(shí)付款34000元，其余66000元分11個(gè)月付款，即每月6000 元，試以月息4.2 ，求其現(xiàn)值。,（四）分期付款,

22、已知年金求現(xiàn)值,2020/7/31,48,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,49,（五）銀行貼現(xiàn),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,應(yīng)得兌現(xiàn)額,實(shí)得兌現(xiàn)額,2020/7/31,50,例 面值5000元的匯票，20天后到期，銀行月息為6，求貼息額與兌現(xiàn)額。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,51,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,課后思考,應(yīng)得兌現(xiàn)額（4980.08） 應(yīng)貼利息(19.92) 實(shí)際貼息(20) 實(shí)際兌現(xiàn)額(4980),2020/7/31,52,某客戶于2010年11月1日將10萬(wàn)元存入商業(yè)銀行，選擇2年期的整存整取定期存款。2011年11月1

23、日由于急于購(gòu)買住房需要資金，鑒于定期存款未到期支取將視同活期存款計(jì)算利息，導(dǎo)致?lián)p失一部分利息收入。因此，該客戶決定不將存款取出，而是先向商業(yè)銀行申請(qǐng)1年期貸款，貸款按季計(jì)息，然后待存款到期時(shí)歸還。假設(shè)2010年11月份2年期定期存款利率為2.70%，2011年11月活期存款利率為0.72%，2011年11月份1年期貸款利率為5.58%。 問(wèn)題：在不考慮其它情況的條件下,上述決定是否合理？通過(guò)計(jì)算試闡述你的理由。(2008金融學(xué)聯(lián)考),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,53,答案： 判斷一種行為合理與否的標(biāo)準(zhǔn)是收益與成本對(duì)比原則。假定存款人不取存款，其收益為2年期定期存款的收益

24、：10000022.70%=5400元 (2分) 一年期貸款的實(shí)際利率： 。 一年期貸款的利息成本為：1000005.70%=5700元。(5分) 其收益小于成本，因此不取存款的行為不合理。(1分) 更何況，提前支取存款還可以獲得一定的活期存款的收益，這將在一定程度上降低提前支取存款的損失，也即變相降低不取款行為的收益。 假定存款人提取存款，其收益為：1000000.72%=720元。取款與不取款的凈損失為1020元。由此判斷，該客戶的選擇是不合理的，應(yīng)該提取存款。（2分）,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,54,假定某公司由于業(yè)務(wù)需要，在六個(gè)月后要借入500萬(wàn)資金，借期半年

25、，現(xiàn)行利率水平為年利6%。公司擔(dān)心六個(gè)月后利率會(huì)上漲，因此希望利用FRA鎖定借款利率。假定交易雙方商定FRA的協(xié)定利率為6.50%。六個(gè)月后，如果市場(chǎng)利率確實(shí)上漲了，譬如市場(chǎng)利率上漲為7.00%，請(qǐng)問(wèn)公司的實(shí)際借款利率為多少？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,55,FRA交易：公司在金融市場(chǎng)上買入FRA合約，交易的品種為六個(gè)月后起算的六月期FRA，交易金額等同于融資金額。 交易結(jié)果：公司作為FRA的買方，獲得FRA結(jié)算金，其數(shù)額計(jì)算如下：,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,56,由于結(jié)算金在FRA起算時(shí)收取，也就是借款期開(kāi)始之日，離借款到期歸還本金和利息尚

26、有六個(gè)月，所以公司可將這筆結(jié)算金進(jìn)行投資獲利。按當(dāng)時(shí)的市場(chǎng)利率7.00%投資六個(gè)月，獲得收益計(jì)算如下： 12077.2947%180/360 = 422.71 結(jié)算金加上結(jié)算金的投資收益，共計(jì)：12500元。 六個(gè)月后，公司所借的500萬(wàn)元到期，應(yīng)計(jì)利息為： 50000007%180/360 = 175000 從中減去FRA交易獲得的結(jié)算金和結(jié)算金投資收益： 175000 - 12500 = 162500 則公司借款的實(shí)際成本為年利： （162500/5000000）2100%=6.5%。實(shí)際借款利率與FRA協(xié)定利率相當(dāng)接近，基本達(dá)到預(yù)期的保值目標(biāo)。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/

27、7/31,57,某債券面額為1000元，5年期，票面利率為10%，現(xiàn)以950元的發(fā)行價(jià)向全社會(huì)公開(kāi)發(fā)行。（1）若投資者認(rèn)購(gòu)后持至第3年末以995元的市價(jià)出售，則持有期收益率是多少？（2）若投資者認(rèn)購(gòu)后持至期滿，則其到期收益率是多少？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,58,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（12.11%，11.58%）,2020/7/31,59,某公司當(dāng)前支付的紅利為1元/股，第一年和第二年的盈利增長(zhǎng)率和紅利增長(zhǎng)率均為20%，第三年盈利增長(zhǎng)率和紅利增長(zhǎng)率下降到15%，從第四年開(kāi)始，盈利增長(zhǎng)率和紅利增長(zhǎng)率下降到6%，并一直維持這個(gè)水平。如果該公司股票的值為1.5

28、，市場(chǎng)組合回報(bào)率12%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為4%，那么一個(gè)理性的投資者愿意為這只股票支付的最高價(jià)格是多少？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,60,理性的投資者對(duì)一項(xiàng)資產(chǎn)支付的價(jià)格不會(huì)高于該資產(chǎn)的內(nèi)在價(jià)值。 由CAPM得，該股票的必要回報(bào)率為 又由題意可知，投資者持有該股票各年所得紅利如下：,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,61,顯然，該股票從第4年開(kāi)始符合固定增長(zhǎng)率定價(jià)模式，第3年末的內(nèi)在價(jià)值為： 進(jìn)一步又可算出該股票當(dāng)期內(nèi)在價(jià)值： 14.41（元） 理性投資者愿意為這只股票支付的最高價(jià)格為14.41元。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,6

29、2,（六）利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)計(jì)算時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題 例為投資買入的土地以下面的公式增值： 在連續(xù)計(jì)算復(fù)利下貼現(xiàn)率為0.09，為使土地的現(xiàn)值最大，應(yīng)該持有該土地多久？,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,63,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,64,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,二、微分方法的運(yùn)用 （一）邊際效用函數(shù)的分析 例：已知總成本函數(shù) 利用微積分知識(shí)做出總成本、平均成本和邊際成本三者之間關(guān)系的圖形。 課后習(xí)題！,2020/7/31,65,（二）經(jīng)濟(jì)函數(shù)最優(yōu)化 例：已知一個(gè)企業(yè)的總收益水平是 總成本函數(shù)是 設(shè)，求其最大利潤(rùn),第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用

30、,2020/7/31,66,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,建立利潤(rùn)函數(shù) 一階條件 二階條件,2020/7/31,67,某個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為，其中K和L分別為資本和勞動(dòng)的投入量，資本和勞動(dòng)的價(jià)格分別為r和w。請(qǐng)寫(xiě)出該企業(yè)的成本函數(shù)C（q,r,w）的具體形式。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,68,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,由該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)可以知道，該企業(yè)必定會(huì)在K=L時(shí)組織生產(chǎn)，否則有一種要素存在浪費(fèi)現(xiàn)象。（3分） 因此，生產(chǎn)函數(shù)可以表示為（2分） 可以得到成本最小化時(shí)的（2分） 所以企業(yè)的成本（3分）,2020/7/31,69,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用

31、,三、積分方法的運(yùn)用 （一）凈投資時(shí)間積分的測(cè)度 例：給定凈投資，且當(dāng)時(shí)初始資本存量是150，求資本函數(shù)，即時(shí)間路徑,2020/7/31,70,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,為什么？,2020/7/31,71,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：邊際儲(chǔ)蓄傾向， 當(dāng)收入是25時(shí)，儲(chǔ)蓄為5。 求儲(chǔ)蓄函數(shù)。,2020/7/31,72,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,73,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余的測(cè)度 例：若市場(chǎng)所銷售商品的數(shù)量和市場(chǎng)價(jià)格是由需求函數(shù)決定的，設(shè)一個(gè)利益最大化的廠商所面臨的需求函數(shù)是 ，其邊際成本函數(shù)為 求消費(fèi)者剩余

32、。,2020/7/31,74,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,收益函數(shù)TR 邊際成本等于邊際收益 市場(chǎng)均衡價(jià)格與產(chǎn)量 消費(fèi)者剩余,2020/7/31,75,令消費(fèi)者的需求曲線為 ，、 0 ，并假定征收100t%的銷售稅。試求： （1）征稅后消費(fèi)者剩余損失； （2）政府征稅而提高的收益； （3）分析并說(shuō)明征稅后總的福利水平將下降。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,76,（1）設(shè)價(jià)格為,時(shí)，消費(fèi)的需求量為,又設(shè)價(jià)格為,時(shí)，消費(fèi)的需求量為,消費(fèi)者剩余損失,（2）政府征稅而提高的收益,（3）征稅后總的福利水平變化等于消費(fèi)者剩余損失減去政府征稅而提高的收益，兩者之差等于：,0，

33、 得證。,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,77,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,四、微分方程和差分方程的運(yùn)用 （一）運(yùn)用微分方程決定動(dòng)態(tài)平衡點(diǎn) 例：給定需求函數(shù)和供給函數(shù)，均衡價(jià)格是：。 若市場(chǎng)上價(jià)格的變化率是正的，且為關(guān)于超額需求的線性函數(shù) 分析在什么條件下，當(dāng)時(shí)，將趨近于，這個(gè)條件就是市場(chǎng)上的動(dòng)態(tài)價(jià)格穩(wěn)定的條件。,2020/7/31,78,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,79,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,80,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）運(yùn)用可分離變量微分方程求投資函數(shù) 例：若邊際儲(chǔ)蓄傾向s和邊際資本產(chǎn)出比率R

34、都是常數(shù)，計(jì)算可達(dá)到預(yù)期增長(zhǎng)所需的投資函數(shù)。,2020/7/31,81,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,82,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（三）運(yùn)用差分方程制定滯后收入決定模型,2020/7/31,83,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：給出 求解。,2020/7/31,84,第一節(jié)微積分在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,計(jì)算Y1,Y0并檢驗(yàn)。,2020/7/31,85,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（一）矩陣的運(yùn)用 對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的二部門(mén)經(jīng)濟(jì)，當(dāng)Y=C+I，商品市場(chǎng)是均衡的，當(dāng)貨幣供給（Ms）等于貨幣需求（Md）時(shí)，貨幣市場(chǎng)是均衡的，貨幣需求由貨幣的預(yù)備交易需求（M

35、t）和特殊需求（Mz）組成。 例：一個(gè)二部門(mén)經(jīng)濟(jì) 求均衡收入和均衡利率。,2020/7/31,86,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,87,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）證券組合收益率和風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度 例：某投資組合由一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合中包括兩個(gè)證券A、B，它們的預(yù)期收益率分別為10%和8%，證券A的方差為，證券B的方差為，協(xié)方差為，兩種證券權(quán)重均為0.5，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期收益率為5%，在證券組合中的權(quán)重為0.25，試計(jì)算該投資組合的總預(yù)期收益率和總風(fēng)險(xiǎn)。,2020/7/31,88,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020

36、/7/31,89,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,二、特殊行列式和矩陣的應(yīng)用 （一）雅可比(Jacobi) 行列式,對(duì)m個(gè)n（m=n）元函數(shù),2020/7/31,90,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：已知 利用雅可比行列式判斷其函數(shù)相關(guān)性。,2020/7/31,91,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,設(shè),種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求映射為,其中,為價(jià)格向量,為需求向量,就是第,種產(chǎn)品的需求函數(shù),2020/7/31,92,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,93,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,94,壟斷廠商的利潤(rùn)函數(shù)為,廠商要決定一個(gè)產(chǎn)出向量,，使利潤(rùn)最大化

37、，根據(jù)一階條件,即每種產(chǎn)品的邊際成本都等于這種產(chǎn)品的各種邊際收益之和,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,95,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,（二）海塞行列式,2020/7/31,96,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,如果|H|的所有主子式為正，則|H|為正定的， 滿足極小值的二階條件；,如果|H|的所有主子式的符號(hào)在負(fù)與正之間交替出現(xiàn)， 則|H|為負(fù)定的，滿足極大值的二階條件；,2020/7/31,97,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：已知需求函數(shù)和總成本函數(shù)為： 試求：（1）； （2）檢驗(yàn)利潤(rùn)函數(shù)的一階條件； （3）利用海塞行列式檢驗(yàn)二階條件，使利潤(rùn)最大化。,

38、2020/7/31,98,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解：,2020/7/31,99,第二節(jié)線性代數(shù)在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,100,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,一、隨機(jī)過(guò)程的含義,1. 如果對(duì)變化過(guò)程的全過(guò)程做一次觀察,得到一個(gè)位置與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)x1(t ),若再次觀察，又得到函數(shù)x2(t ), ,因而得到一族函數(shù). 2. 如果在時(shí)刻t觀察質(zhì)點(diǎn)的位置x(t ),則x(t )是一個(gè)隨機(jī)變量,這樣對(duì)于每個(gè)時(shí)刻t便得到一個(gè)隨機(jī)變量X(t ),于是就得到一族隨機(jī)變量X(t),t0（最初始時(shí)刻為t=0）,它描述了此隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.,2020/7/31,101,定義1 設(shè)E是

39、一隨機(jī)實(shí)驗(yàn),樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對(duì)每個(gè) ,總有一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)X(,t)與之對(duì)應(yīng),這樣對(duì)于所有的 ,就得到一族時(shí)間t的函數(shù), 稱此族時(shí)間t的函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程,而族中每一個(gè)函數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,102,定義2：設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對(duì)任意t T ，有一定義在上的隨機(jī)變量X(,t)與之對(duì)應(yīng),則稱X(,t),t T為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為X(t),t T 或X(t),也可記為X(t).,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,103,注釋： (1) 隨機(jī)過(guò)程X(t),t T是定義

40、在T上的二元函數(shù)，可以從兩個(gè)角度去理解, 因而有如上的兩個(gè)定義。 在理論分析往往用隨機(jī)變量族的描述方式，在實(shí)際測(cè)量和處理中往往采用樣本函數(shù)族的描述方式。 (2)通常將隨機(jī)過(guò)程X(t),t T 解釋為一個(gè)物理系統(tǒng)， X(t) 表示系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài), X(t)的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間，記為I，對(duì)于給定的t0 T，及x I,X(t0)=x 說(shuō)成是在時(shí)刻 t0，系統(tǒng)處于狀態(tài) x。 (3)從定義2的角度上看，隨機(jī)過(guò)程是有限維隨機(jī)變量的推廣。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,104,隨機(jī)變量： 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是 ,如果對(duì)其中的每一個(gè) i，總有一個(gè)實(shí)數(shù)

41、X( i)與之對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)定義在S上的單值實(shí)值函數(shù)X=X()，稱之為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量X是定義在樣本空間上的取值為實(shí)數(shù)的函數(shù)，即樣本空間中每一個(gè)點(diǎn)，也就是每個(gè)基本事件都有實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,105,利用拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)定義,此時(shí)，樣本空間,相應(yīng)的樣本函數(shù),第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,106,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,107,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,108,二、隨機(jī)過(guò)程的分類,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,1按狀態(tài)空間I和時(shí)間T是可列集還是

42、連續(xù)集分類： (1). 連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程:T是連續(xù)集,且tT,X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱過(guò)程X(t),tT為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程. (2).離散型隨機(jī)過(guò)程:T是連續(xù)集，且tT,X(t)是離散型隨機(jī)變量，則稱過(guò)程X(t),tT為離散型隨機(jī)過(guò)程。,2020/7/31,109,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,(3).連續(xù)型隨機(jī)序列: T是可列集,且tT, X(t)是連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱過(guò)程X(t),tT為連續(xù)型隨機(jī)序列. (4).離散型隨機(jī)序列:T是可列集, 且tT, X(t)為離散型隨機(jī)變量, 則稱過(guò)程X(t),tT為離散型隨機(jī)序列。 通常T取為T(mén) =0,1,2或T =0, 1，2,此時(shí)隨機(jī)序列常記

43、成Xn,n=0,1,或 Xn,n0。,2020/7/31,110,2按分布特性分類： 依照過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系分類。 獨(dú)立增量過(guò)程 馬爾可夫過(guò)程 平穩(wěn)過(guò)程 等等,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,111,1n維分布函數(shù)： 設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意整數(shù)n1及T中任意n個(gè)不同的參數(shù)t1,t2，tn，稱隨機(jī)向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函數(shù),為隨機(jī)過(guò)程X(t),tT的n維分布函數(shù).,三、隨機(jī)過(guò)程的概率分布,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,112,變化n及t1,t2，tn所得到的有限維分布函數(shù)的全體,稱為X(t),tT

44、的有限維分布函數(shù)族。,當(dāng)n=1時(shí),得到一維分布函數(shù)F(x;t)=PX(t)x, 一維分布函數(shù)的全體 F(x;t), tT稱為一維分布函數(shù)族.,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,113,2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征,為X(t),tT的均方值函數(shù).,為X(t),tT的方差函數(shù).,為X(t),tT的協(xié)方差函數(shù).,為X(t),tT的均值函數(shù).,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用, Rx(s,t)=EX(s)X(t)為X(t),tT的自相關(guān)函數(shù)， 簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù),2020/7/31,114,均值函數(shù)表示X(t),tT在各時(shí)刻擺動(dòng)的中心；方差函數(shù)表示X(t),tT在各時(shí)刻關(guān)于均值函數(shù)的平均偏離程度

45、； Rx(s,t)，Cx(s,t) 表示X(t),tT在兩個(gè)不同時(shí)刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,釋義：,2020/7/31,115,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,116,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,117,3.諸數(shù)字特征的關(guān)系,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,其中，最重要的數(shù)字特征是均值函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)。,2020/7/31,118,例: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函數(shù) x(t)和自相關(guān)

46、函數(shù)Rx(s,t)。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,119,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,解: x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint =costE(Y)+sint E(Z)=0, 因?yàn)閅與Z相互獨(dú)立,于是,2020/7/31,120,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例2: 考慮隨機(jī)過(guò)程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常數(shù)，是在（0，2）上服從均勻分布的隨機(jī)變量，通常稱此隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)相位正弦波，求隨機(jī)相位正弦波的均值函數(shù)、方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù).,2020/7/31,121,解:的概率密度為,于是,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2

47、020/7/31,122,例3: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互獨(dú)立的服從N(0,1)的隨機(jī)變量，求X(t),-t+的一，二維概率密度。 注：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,123,解: tT，由正態(tài)分布的性質(zhì)知X(t)服從正態(tài)分布: EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0 DX(t)=D(Y)+t 2 =1+t 2,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,所以一維概率密度為,2020/7/31,124,又由正態(tài)分布的性質(zhì)知，對(duì)于任意 s,tT，(X(s),X(t)服從二維正態(tài)分布而 EX

48、(s)= EX(t)=0 DX(s)=1+s2 DX(t)=1+t2,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,125,所以二維概率密度為,其中=X(t1, t2).,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,126,四、二維隨機(jī)過(guò)程 1定義： X(t)、Y(t)為定義在同一樣本空間和同一參數(shù)集T上的隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意tT， (X(t),Y(t)是二維隨機(jī)變量，則稱(X(t),Y(t),tT為二維隨機(jī)過(guò)程。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,127,2有限維分布函數(shù)和獨(dú)立性 (1) (X(t),Y(t),tT為二維隨機(jī)過(guò)程,對(duì)于任意的正整數(shù)n和m，以

49、及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT ，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,稱n+m元函數(shù),F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym為(X(t),Y(t),tT的n+m維分布函數(shù)，類似的可定義有限維分布函數(shù)族。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,128,（2）若對(duì)于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1,t2,tn；t1, t2,tmT，任意的x1,x2,xn；y1,y2,ym R,有,F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1

50、,t2,tm)=FXX(t1)x1, X(tn) xn FYY(t1) y1,Y(tm) ym,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,稱X(t)與Y(t)相互獨(dú)立，其中FX，F(xiàn)Y分別為X(t)，Y(t)的有限維分布函數(shù).,2020/7/31,129,3二維隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 (1) 互相關(guān)函數(shù): 稱 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) 為(X(t),Y(t),tT的互相關(guān)函數(shù). 若對(duì)于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,稱X(t)與Y(t)正交.,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,130,(2)互協(xié)方差函數(shù)：,若對(duì)于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 稱X(t),Y

51、(t)不相關(guān). 若X(t),Y(t)相互獨(dú)立，且二階矩存在，則X(t),Y(t)不相關(guān).,稱,為(X(t),Y(t),tT的互協(xié)方差函數(shù).,顯然,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,131,例: 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=g1(t+ )和Y(t)=g2(t + )，其中g(shù)1(t )和g2(t )都是周期為L(zhǎng)的周期函數(shù), 是在(0,L)上服從均勻分布的隨機(jī)變量.求互相關(guān)函數(shù)RXY(s，t)的表達(dá)式.,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,132,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,令v=s+x , 利用g1(t )和g2(t )的周期性，有,解:,2020/7/3

52、1,133,例: 設(shè)X(t)為信號(hào)過(guò)程,Y(t)為噪聲過(guò)程，令W(t)=X(t)+Y(t)，則 (1) W(t)的均值函數(shù)為 W(t)= X(t)+ Y(t). (2) 其自相關(guān)函數(shù)為 RW(s,t)=EX(s)+Y(s)X(t)+Y(t) =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和的自相關(guān)函數(shù)為各個(gè)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與它們的互相關(guān)函數(shù)之和。若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)均恒為零，且互不相關(guān)時(shí)，有 RW(s,t)= RX(s,t)+RY(s,t),第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,134,五、各態(tài)歷經(jīng)性,如果能對(duì)過(guò)程X(t)進(jìn)行多次重復(fù)

53、觀察從而得到多條樣本曲線，用統(tǒng)計(jì)方法可以估計(jì)其均值及自相關(guān)函數(shù),在實(shí)際中,常用如下的方法確定x及Rx()：,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,135,由于所采用的極限(收斂)的標(biāo)準(zhǔn)不同得到的遍歷性定理也不同，關(guān)于平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性主要有兩類： (1)對(duì)強(qiáng)平穩(wěn)過(guò)程在幾乎處處收斂的意義下的遍歷性定理； (2)對(duì)弱平穩(wěn)過(guò)程在均方收斂的意義下的遍歷性定理；,其中T充分大，X(t)是X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)。即：集平均（均值和自相關(guān)函數(shù)等）實(shí)際上可以用一個(gè)樣本函數(shù)在整個(gè)時(shí)間軸上的平均值代替。這樣節(jié)約了大量的工作量。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,136,平穩(wěn)過(guò)程遍

54、歷性的定義： 首先引入平穩(wěn)過(guò)程X(t)，-t+沿整個(gè)時(shí)間軸上的兩種時(shí)間平均：設(shè)X(t)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，且對(duì)固定的， X(t)X(t+) 也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程,時(shí)間相關(guān)函數(shù)：,時(shí)間均值：,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,137,1定義 (1). 設(shè)X(t)為平穩(wěn)過(guò)程，若=EX(t)=x以概率1成立，稱X(t)的均值具有均方遍歷性。 (2)若對(duì)，=EX(t)X(t+)=Rx()以概率1成立，稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有均方遍歷性。 (3)若(1)、(2)均成立，則稱該過(guò)程具有均方遍歷性，或稱為遍歷過(guò)程。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,138,均方

55、收斂的定義：設(shè)有二階矩隨機(jī)序列Xn,n=1,2,和隨機(jī)變量X,E(X2)+,若有,則稱Xn均方收斂于X,記作,均方極限的性質(zhì),第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,139,均方連續(xù) 設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過(guò)程,若對(duì)某t0T,有,稱X(t),tT在t0均方連續(xù)，若對(duì)任意tT，X(t),tT均方連續(xù)，稱X(t),tT在T上均方連續(xù)。記為,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,140,解：此過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程,即：用時(shí)間平均和集平均算得的均值和自相關(guān)函數(shù)相同。 但并不是任意一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程都是具有遍歷性的。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例：計(jì)算隨機(jī)相位正弦波 X(t)=

56、acos(t+)=acostcos-sintsin的時(shí)間平均和.,2020/7/31,141,事實(shí)上， = = =Y. 即：時(shí)間均值隨Y取不同的可能值而不同。,因Y的方差異于0，這樣就不可能以概率1等于確定函數(shù)EX(t)=EY。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,例如：平穩(wěn)過(guò)程X(t)=Y，Y是方差異于0的隨機(jī)變量，就不是遍歷的。,2020/7/31,142,平穩(wěn)過(guò)程遍歷性的充要條件 (均值遍歷性定理) ：均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程X(t)關(guān)于均值具有遍歷性,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,143,證明：由遍歷性定義，只須證：,與上式等價(jià)（方差為零）。,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中

57、的應(yīng)用,2020/7/31,144,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,其中，令,，則,2020/7/31,145,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,146,推論1. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程關(guān)于均值具有遍歷性,推論2. 均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程X(t)，若滿足 ，則它關(guān)于平均值具有均方遍歷性X=0。,證：因?yàn)?第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,147,2(自相關(guān)函數(shù)遍歷性定理) 均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程X(t)，且對(duì)給定,X(t)X(t+)也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則X(t)關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性,令=0，即得均方值遍歷性定理。 在實(shí)際問(wèn)題中，通常只考慮定義在0t+上的平穩(wěn)過(guò)程，此時(shí)上兩定理所有時(shí)間平均應(yīng)以0t+上的平均代替，相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)性如下：,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,148,1.X(t)關(guān)于均值具有遍歷性,2.X(t)關(guān)于自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,149,說(shuō)明：各態(tài)歷經(jīng)性定理的重要價(jià)值在于它從理論上給出了如下保證： 一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)，只要滿足上述兩條件，便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義，從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來(lái)確定該過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)。即：,第三節(jié)隨機(jī)過(guò)程在數(shù)理金融中的應(yīng)用,2020/7/31,