第6章 常微分方程幻燈片.ppt

1、13:54,1,第六章 常微分方程, 積分問題, 微分方程問題,推廣,13:54,2,6.1 微分方程的基本概念,微分方程的基本概念,引例,幾何問題,物理問題,13:54,3,一. 兩個(gè)例子,例6.1.1 已知一曲線過點(diǎn)A(1,3),且該曲線上任意點(diǎn)P(x,y)處的切線斜率為2x,求此曲線的方程。 例6.1.2 質(zhì)量為m的物體從空中自由落下,若略去空氣的阻力，求物體下落的距離s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系s s(t)。,13:54,4,二. 微分方程的幾個(gè)概念,1.微分方程 2. 微分方程的階 3.微分方程的解 4.微分方程的通解 5. 微分方程的特解 6. 初始條件,13:54,5,6.2一階微分方程

2、,一、可分離變量的微分方程,6.2.1 可分離變量的微分方程,13:54,6,例6.2.1 (細(xì)菌繁殖模型)在一個(gè)理想的環(huán)境中,細(xì)胞的繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比,若t0時(shí)細(xì)菌的數(shù)目為x0,求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律。,解： 設(shè)x(t)表示在t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)目,依題意有,13:54,7,例6.2.2 (自然生長模型) yy(t)表示一種生物在時(shí)間t時(shí)種群總數(shù),開始時(shí)種群總數(shù)y(0)y0, n,m分別表示該總?cè)旱某錾屎退劳雎?實(shí)踐證明nmrky,其中r0, k0,試求該總?cè)鹤匀簧L規(guī)律。,解：在t到t+t這段時(shí)間內(nèi)種群總數(shù)改變量為,采用可分離變量后,積分得,13:54,8,由y(0)y0確定常數(shù)C,可得生物

3、總?cè)鹤匀辉鲩L規(guī)律,此式稱為Logistic方程,其曲線參考圖為,13:54,9,例6.2.3 (腫瘤生長模型)設(shè)V(t)是腫瘤體積。免疫系統(tǒng)非常脆弱時(shí),V呈指數(shù)式增長,但V長大到一定程度后,因獲取的營養(yǎng)不足使其增長受限制。描述V的一種數(shù)學(xué)模型是：,確定腫瘤生長規(guī)律。,13:54,10,此為貢柏茨方程,13:54,11,二、可化為分離變量的某些方程*,1. 齊次方程 形如,則稱原方程為齊次微分方程。,13:54,12,例6.2.4 解微分方程,解:,代入原方程得,分離變量,兩邊積分,得,故原方程的通解為,( 當(dāng)C0時(shí), y0也是方程的解),13:54,13,例6.2.5 解微分方程,解:,代入原

4、方程得,13:54,14,作變換,13:54,15,例6.2.6 解微分方程,解:,13:54,16,6.2.2 一階線性微分方程,一、一階線性微分方程 定義3 如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)的最高階數(shù)是一階的,且所含未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)(微分)都是一次冪的,則稱這種方程為一階線性微分方程。,一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:,若Q(x) 0,稱為非齊次方程。,若Q(x) 0,稱為齊次方程 ;,13:54,17,1. 解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,僅表示P(x)的一個(gè)原函數(shù),13:54,18,2. 解非齊次方程,改寫為,兩邊積分,下面求h(x), 對(1)求導(dǎo), 得：,13:54,19,代入

5、標(biāo)準(zhǔn)方程,13:54,20,例6.2.7 用常數(shù)變異法求一階線性方程通解,解：齊次方程通解：,用常數(shù)變異法,將C看作h(x)：,代入原方程得,13:54,21,例6.2.8 用通解公式求一階線性方程通解,解：,13:54,22,(飲食與體重模型)某人每天從食物中獲取10500J熱量,其中5040J用于基礎(chǔ)代謝。他每天的活動強(qiáng)度，相當(dāng)于每千克體重消耗67.2J。此外,余下的熱量均以脂肪的形式儲存起來,每42000J可轉(zhuǎn)化為1kg脂肪。問：這個(gè)人的體重是怎樣隨時(shí)間變化的,會達(dá)到平衡嗎?,例6.2.9,解：設(shè)體重w是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),依題意：,活動消耗67.2/42000 0.0016kg,基礎(chǔ)代謝

6、5040/42000 0.12kg,進(jìn)食增加10500/42000 0.25kg,13:54,23,假定w(0) w0,代入上式：C w081.25,當(dāng)t時(shí), w81.25,13:54,24,(藥代動力學(xué)模型)假定藥物以恒定速率K0向一個(gè)同質(zhì)單元進(jìn)行靜脈滴注,K0的單位為單位時(shí)間的藥量,并且藥物在同質(zhì)單元內(nèi)按一級消除速率常數(shù)K的過程消除。K的單位為時(shí)間的倒數(shù)。試求此系統(tǒng)藥物隨時(shí)間變化規(guī)律。,例6.2.10,解：設(shè)靜脈滴注t時(shí)刻的系統(tǒng)藥量為x(t),依題意單位時(shí)間內(nèi)藥物變化率應(yīng)該等于輸入與輸出之差,13:54,25,(細(xì)菌繁殖非理想環(huán)境模型)除系統(tǒng)本身的繁殖外有的細(xì)菌向系統(tǒng)外遷移,其遷移速率是時(shí)

7、間t的線性函數(shù),即AtB,系統(tǒng)內(nèi)繁殖率與細(xì)菌的數(shù)目成正比,并假定t0時(shí),測得的細(xì)菌的數(shù)目為x0,求系統(tǒng)的細(xì)菌繁殖規(guī)律。,例6.2.11,解：設(shè)x(t)為t時(shí)刻細(xì)菌數(shù)目,則,13:54,26,二、伯努利(Bernoulli)方程*,解法：兩端同乘以yn,令zy1n,代入上式,得,13:54,27,例6.2.12 求微分方程的通解,解：,13:54,28,6.3 二階微分方程,6.3.1 幾種可降階的二階微分方程,13:54,29,例6.3.1 求微分方程的通解,解:兩邊積分得,13:54,30,例6.3.2 求微分方程的通解,解：設(shè)yP,原方程化為,13:54,31,例6.3.3 求微分方程的通

8、解,解：,原方程化為,13:54,32,例6.3.4 求微分方程的特解。,解：,原方程化為,由初始條件：C11,由初始條件：,13:54,33,6.3.2 二階線性常系數(shù)齊次方程,定義5 如果方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)是二階的，且所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)(或微分)都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一般形式為： A(x)yB(x)yC(x)y f (x) 其中A(x),B(x),C(x)均為x的函數(shù), A(x)0。 若f (x) 0,稱為二階線性齊次微分方程。 若f (x) 0,稱為二階線性非齊次微分方程。,13:54,34,對以下方程： aybycy f (x) 其中

9、a,b,c均為常數(shù), a 0。 若f (x) 0,稱為二階線性常系數(shù)齊次微分方程。 若f (x) 0,稱為二階線性常系數(shù)非齊次微分方程。,13:54,35,二階線性常系數(shù)微分方程的性質(zhì),aybycy f (x)(1) aybycy 0(2) 定理1(疊加原理)若y1(x), y2(x)是(2)的兩個(gè)解,則它們的線性組合yC1 y1(x) C2 y2(x)也是(2)的解。 線性無關(guān)，線性相關(guān) 定理2 若y1(x), y2(x)是(2)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則：yC1 y1(x)C2 y2(x) 是(2)的通解。 定理3 設(shè)y*是(1)的一個(gè)特解, y1是(2)的通解, 則yy*y1是(1)的通解

10、。,13:54,36,二階線性常系數(shù)齊次微分方程的解法,aybycy 0(2) 因?yàn)閞為常數(shù)時(shí),函數(shù)erx和它的導(dǎo)數(shù)只相差一個(gè)因子,所以令(2)解為yerx (r為待定常數(shù)),代入(2)得：erx(ar2brc)0 ar2brc0(3) 稱(3)為(2)的特征方程。,其根稱為(2)的特征根。,13:54,37,1. b24ac0,有兩個(gè)相異實(shí)根：r1 r2 , 則微分方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解,因此方程的通解為,13:54,38,2. b24ac 0,特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根：r1r2 , 則微分方程有一個(gè)特解,代入方程,得：,13:54,39,3. b24ac0,特征方程有一對共軛復(fù)根：r1,2

11、i,這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解,利用歐拉公式：eixcosxisinx 有：,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解：,因此原方程的通解為,13:54,40,例6.3.5 求通解： y4y3y 0,解：,所求通解是,13:54,41,例6.3.6 求通解 y2y2y 0,解：,所求通解是,13:54,42,例6.3.7 求特解 y6y9y 0 , y(0) 0 , y(0) 1,解：,所求通解是,由初始條件：y(0)0 , y(0)1,得：C10, C21,所求特解是,13:54,43,二階線性常系數(shù)非齊次微分方程的解法*,通解為 y(x) Y(x)y*, 找出 y* 即可。 某些方程，觀察

12、即可找到特解。 y3y4y 4 ，y* 1 yyy x1，y* x 特解y*的形式： (1) f (x) Pn(x)ex, 可設(shè) y* xkQn(x)ex。 不是特征方程的根時(shí)取k 0； 是特征方程的單根時(shí)取k 1； 是特征方程的重根時(shí)取k 2。,13:54,44,例1 求微分方程 y 3y2y e2x 的通解。,解：相應(yīng)的齊次方程為： y 3y2y 0 其特征方程為：r2 3r2 0 特征根：r1 1 , r2 2 齊次方程的通解為：Y c1e2xc2ex Pn(x) 1, 2。 取Qn(x) A , k 1 。有 y* Axe2x 是原方程的解，代入原方程，得到：A 1。即： y* xe2

13、x 原方程的通解為：y c1e2xc2exxe2x,13:54,45,例2 求微分方程 y2y2y x 的通解。,解：相應(yīng)的齊次方程為： y2y2y 0 其特征方程為：r22r2 0 特征根：r1,2 1 i 齊次方程的通解為：Y ex(c1cos xc2sin x) Pn(x) x, 0。 取Qn(x)AxB, k0。有y*AxB 是原方程的解,代入原方程,得到：2A2(AxB) x。即： 2A 1 , 2(AB) 0,13:54,46,例3 求微分方程 y2yy (6x2)ex 的通解。,解：相應(yīng)的齊次方程為： y2yy 0 其特征方程為：r22r1 0 特征根：r1,2 1 齊次方程的通

14、解為：Y (c1c2 x)ex Pn(x) (6x2), 1。 取Qn(x)AxB, k2。有y*x2(AxB )ex是原方程的解，代入原方程，得到： 6Ax2B 6x2。 即：A 1 , B 1 。y* ( x3x2 ) ex 原方程的通解為：y (c1c2 x)ex ( x3x2 )ex,13:54,47,(2) f (x) exPn(x)cosxQm(x)sinx 可設(shè)： y* xk exRl(x)cosxGl(x)sinx,l maxn,m; i不是特征方程的根時(shí)取 k 0; i是特征方程的根時(shí)取 k 1。,13:54,48,例4 求微分方程 y 2y2y ex sinx 的通解。,解

15、：相應(yīng)的齊次方程為： y2y2y 0 其特征方程為：r2 2r2 0 特征根：r1,2 1 i 齊次方程的通解為：Y ex (c1cosxc2sinx) Pn(x) 0, Qm(x) 1, 1, 1。 取 l 0, Rl(x) A, Gl(x) B, k 1, 得： y* xex(AcosxBsinx), 代入原方程。 ex(2Acosx2Bsinx) exsinx 2Acosx2Bsinx sinx,13:54,49,例5 求方程 y9y(24x6)cos3x2sin3x的通解。,解：相應(yīng)的齊次方程為： y9y 0 其特征方程為：r29 0 特征根：r1,2 3i 齊次方程的通解為：Y c1cos3xc2sin3x Pn(x) 24x6, Qm(x) 2, 0, 3。 取 l1, Rl(x)AxB, Gl(x)CxD, k1, 得： y* x(AxB)cos3x(CxD)sin3x, 代入原方程。,13:54,50,(12Cx6D2A)cos3x(12Ax6B2C)sin3x (24x6)cos3x2sin3x,y* xcos3x (2x