高考熱點題型圓錐曲線中的探索性問題.doc

1、高考熱點題型圓錐曲線中的探索性問題【必備知識】1將直線代入橢圓方程，化為關(guān)于的二次方程，即為，亦即2將直線代入拋物線方程，得 ，注意對分（對應(yīng)于直線與對稱軸平行）與（對應(yīng)于直線與對稱軸不平行）兩類進(jìn)行討論3過點的直線斜率為4點到直線的距離為5直線：與圓錐曲線相交所得弦長【技巧點撥】解答圓錐曲線中探索性問題，一般可分為以下步驟：（1）假設(shè)結(jié)論成立；（2）以假設(shè)為條件，進(jìn)行推理求解；（3）明確規(guī)范結(jié)論，若能推出合理結(jié)論，經(jīng)驗證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè)；（4）回顧反思解題過程【典例展示】【題型一】探索直線、曲線間的位置關(guān)系問題【例1】已知橢圓，過點且不過點的直線與橢圓交于，兩點，直線

2、與直線交于點（）若垂直于軸，求直線的斜率；（）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由【解析】（）因為過點且垂直于軸，所以可設(shè)，直線的方程為令，得所以直線的斜率（）直線與直線平行證明如下：當(dāng)直線的斜率不存在時，由（）可知又因為直線的斜率，所以當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為設(shè)，則直線的方程為令，得點由，得直線的斜率因為，所以所以綜上可知，直線與直線平行【思維導(dǎo)圖】（）由條件設(shè)出坐標(biāo)寫出直線方程聯(lián)立求得點的坐標(biāo)求的斜率；（）作圖預(yù)判分與軸是否垂直解答與軸垂直時在（）基礎(chǔ)上可證與軸垂直時，設(shè)出直線方程與兩點坐標(biāo)確定方程并與聯(lián)立得點的坐標(biāo)直線方程代入橢圓方程得二次方程結(jié)合韋達(dá)定理求的斜率判斷結(jié)果【特別點

3、撥】圍繞點的坐標(biāo)確定是解答本題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練：1已知圓的圓心為，半徑為，圓與橢圓 有一個交點為，分別是橢圓的左、右焦點（）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若點的坐標(biāo)為，試探究斜率為的直線與圓能否相切，若能，求出橢圓和直線的方程；若不能，請說明理由1【解析】（1）由已知可設(shè)圓的方程為，將點A的坐標(biāo)代入圓的方程，得，即，解得或. ，圓的方程為. (2)依題意，可得直線的方程為，即. 若直線與圓相切，則 ，解得或 . 當(dāng)時，直線與軸的交點橫坐標(biāo)為，不合題意，舍去當(dāng)時，直線與軸的交點橫坐標(biāo)為4， ，由橢圓的定義得，即，直線能與圓相切，直線的方程為，橢圓E的方程為 【題型二】探索與平面圖形形狀相關(guān)的問題【例2】設(shè)橢

4、圓的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點，且恰是的中點，若過三點的圓恰好與直線相切（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由為線段中點，所以三點圓的圓心為，半徑為又因為該圓與直線相切，所以所以，故所求橢圓方程為；（2）將直線代入得設(shè)，則，的中點，由于菱形對角線互相垂直，則，解得即存在滿足題意的點，且的值為【思維導(dǎo)圖】（1）由條件知在中可得由直線與圓相切可得的值求得橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得二次方程結(jié)合韋達(dá)定理求的中點坐標(biāo)由菱形對角線

5、互相垂直利用斜率關(guān)系求得的值變式訓(xùn)練：3已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于兩點（）求橢圓的方程；（）當(dāng)直線的斜率為1時，求的面積；（）在線段上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由3【解析】（）由已知，橢圓方程可設(shè)為因為兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，所以所求橢圓方程為（）因為直線過橢圓右焦點，且斜率為1，所以直線的方程為設(shè)由得，解得，所以（）假設(shè)在線段OF上存在點，使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形因為直線與x軸不垂直

6、，所以設(shè)直線的方程為由可得，因為，所以設(shè)的中點為，所以，因為以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，所以MNPQ，所以，整理得，所以，所以【題型三】探索與平面圖形面積相關(guān)的問題【例3】已知橢圓的離心率為，短軸長為（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的兩個動點，為坐標(biāo)原點，的斜率分別為，問是否存在非零常數(shù)使時，的面積為定值？若存在，求的值；否則說明理由【解析】（1），橢圓的方程為：；（2）假設(shè)存在這樣的常數(shù)使時為定值，設(shè)直線的方程為： 且與的交點坐標(biāo)為因為所以，化為將代入，消去得：由韋達(dá)定理得：，可化為因為點到直線的距離為，所以，要使上式為定值，只需，得，此時，即，故存在非零常數(shù)，此時【思維導(dǎo)圖】

7、（1）由離心率與短軸長求得寫出橢圓方程；（2）假設(shè)存在這樣的常數(shù)使時為定值設(shè)出直線的方程代入橢圓方程聯(lián)立得二次方程由結(jié)合韋達(dá)定理得的關(guān)系點到直線距離公式求得的高求的面積的表達(dá)式分析表達(dá)式建立等式解方程得出結(jié)果變式訓(xùn)練：3已知平面直角坐標(biāo)系上一動點到點的距離是點到點的距離的倍（1）求點的軌跡方程；（2）過點的直線與點的軌跡相交于兩點，點，則是否存在直線，使取得最大值，若存在，求出此時的方程，若不存在，請說明理由3【解析】（1）由已知，即，（2）由題意知的斜率一定存在，不妨假設(shè)存直線的斜率為k，且。則，聯(lián)立方程：，又直線不經(jīng)過點，則點到直線的距離，當(dāng)時，取得最大值2，此時，直線的方程為。【題型四】

8、探索與直線斜率相關(guān)的問題【例4】如圖，橢圓：經(jīng)過點，離心率，直線的方程為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓右焦點的直線與直線相交于點，記直線的斜率分別為，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【解析】（1）由在橢圓上，得，又，得，由，得，故橢圓的方程為（2）設(shè)直線的方程為由，又將代入得，故存在常數(shù)符合題意【思維導(dǎo)圖】（1）根據(jù)橢圓過點與離心率建立方程組解方程得的值寫出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程與點坐標(biāo)由直線方程與橢圓方程消去得二次方程結(jié)合韋達(dá)定理計算（的表達(dá)式）根據(jù)直線方程與求得坐標(biāo)計算斜率求得的值變式訓(xùn)練：4橢圓與的中心在原點，焦點分別在軸與軸上，它們有相同的離心率，

9、并且的短軸為的長軸，與的四個焦點構(gòu)成的四邊形面積是（）求橢圓與的方程；（）設(shè)是橢圓上非頂點的動點，與橢圓長軸兩個頂點，的連線，分別與橢圓交于點，（1）求證：直線，斜率之積為常數(shù)；（2）直線與直線的斜率之積是否為常數(shù)？若是，求出該值；若不是，說明理由4【解析】（）依題意，設(shè)：，：由對稱性，四個焦點構(gòu)成的四邊形為菱形，且面積，解得：，所以橢圓：，：（）（1）設(shè)，則，所以：，直線，斜率之積為常數(shù)（2）設(shè)，則，所以：，同理：，所以：，由，結(jié)合（1）有【題型五】探索與距離相關(guān)的問題【例2】已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于

10、OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由【解析】（1）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.（2）假設(shè)存在符合題意的直線l，設(shè)其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在【思維導(dǎo)圖】（1）根據(jù)焦點求得利用定義求得結(jié)合求得寫出橢圓方程；（2）假設(shè)存在符號條件的直線設(shè)出直線的方程yxt

11、代入橢圓方程得二次方程由0求得的取值范圍利用點到直線的距離建立的方程求得判定結(jié)論變式訓(xùn)練：5已知點分別是橢圓：的左、右焦點，點在橢圓上（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線：，：，若、均與橢圓相切，試探究在軸上是否存在定點，點到、的距離之積恒為1？若存在，請求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由5【解析】（1）由，得，橢圓的方程為（2）把的方程代入橢圓方程得直線與橢圓相切，化簡得同理把的方程代入橢圓方程也得設(shè)在軸上存在點，點到直線、的距離之積為1，則，即，把代入并去絕對值整理，或前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的恒成立，則，解得；綜上所述，滿足題意的定點存在，其坐標(biāo)為【題型六】探索與圓相關(guān)的問題【

12、例6】已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形. （1）求橢圓的方程；（2）若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結(jié)，交橢圓于點.證明：為定值；（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）由題意得，所求的橢圓方程為.（2）由（1）知，由題意可設(shè)：,，由整理得，所以，即為定值（3）設(shè)，則若以為直徑的圓恒過的交點，則，恒成立由（2）可知，即恒成立，存在使得以為直徑的圓恒過直線的交點【思維導(dǎo)圖】（1）根據(jù)題意求得的值求出的值求出橢圓方程；（2）求出的坐標(biāo)設(shè)出直線方

13、程令得點的坐標(biāo)直線方程與橢圓方程聯(lián)立得二次方程利用韋達(dá)定理得出點的坐標(biāo)利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式使問題得證；（3）先假設(shè)存在利用直徑所對的角為直角知垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化向量的數(shù)量積由（2）可求得向量建立關(guān)于的等式確定點坐標(biāo)變式訓(xùn)練：6已知橢圓的離心率，且過點 ()求橢圓的方程；()橢圓長軸兩端點分別為、，點為橢圓上異于、的動點，定直線與直線、分別交于、兩點，又，過 、三點的圓是否過軸上不同于點的定點？若經(jīng)過，求出定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由6【解析】()e=a=2c，a2=b2+c2b2=a2，橢圓的方程為+=1)在橢圓上，所求橢圓的方程為()設(shè)的斜率分別為k1、k2，則，則：，則，：，則，設(shè)圓過定點，

14、則，則或(舍)故過點三點的圓是以MN為直徑的圓過點【題型七】探索與平面向量相關(guān)的問題【例7】已知分別為橢圓：的兩個焦點，是橢圓上一點，且成等差數(shù)列（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知動直線過點，且與橢圓交于兩點，試問軸上是否存在定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解析】（1）因為成等差數(shù)列，所以，將，代入化簡，得，所以，由，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）假設(shè)在軸上存在點，使得恒成立當(dāng)直線的斜率不存在時，由于，解得或；當(dāng)直線的斜率為0時，則，解得，由可得.下面證明時，恒成立，當(dāng)直線的斜率為0時，結(jié)論成立；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為由及，得，所以，綜上所述，在軸上存在點使得恒成立【思維導(dǎo)圖】（1）由等差數(shù)列條件結(jié)合橢圓定義得結(jié)合已知坐標(biāo)建立方程組解方程組可求得寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)存在滿足條件的存在先利用特殊位置猜想點的坐標(biāo)直線的斜率不存在確定出可能的坐標(biāo)直線的斜率為0確定出可能的坐標(biāo)猜想點的坐標(biāo)然后證明對一般性結(jié)論設(shè)直線的方程為與坐標(biāo)代入橢圓方程得二次方程根據(jù)數(shù)量積計算的值判斷結(jié)論變式訓(xùn)練：7設(shè)橢圓過兩點，為坐標(biāo)原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且？若存在，寫出該圓的方程，若