高中立體幾何知識點總結及例題(上).ppt

1、數(shù)學,立體幾何,一、空間多邊形及一些基本定義,1、.空間多邊形不在同一平面內(nèi)的若干線段首尾相接所成的圖形叫做空間折線. 2、若空間折線的最后一條線段的尾端與最初一條線段的首端重合，則叫做封閉的空間折線. 3、若封閉的空間折線各線段彼此不相交，則叫做這空間多邊形平面，平面是一個不定義的概念，幾何里的平面是無限伸展的. 4、平面通常用一個平行四邊形來表示. 5、平面常用希臘字母、或拉丁字母M、N、P來表示，也可用表示平行四邊形的兩個相對頂點字母表示，如平面AC.,6、在立體幾何中，大寫字母A，B，C，表示點，小寫字母，a,b,c,l,m,n,表示直線，且把直線和平面看成點的集合，因而能借用集合論中

2、的符號表示它們之間的關系，例如： Al點A在直線l上；A點A不在平面內(nèi)； l屬于直線l在平面內(nèi)； a不屬于直線a不在平面內(nèi)； lm=A直線l與直線m相交于A點； l=A平面與直線l交于A點； =l平面與平面相交于直線l.shu,二.平面的基本性質(zhì),公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi). 公理2 如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線. 公理3 經(jīng)過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面. 根據(jù)上面的公理，可得以下推論. 推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面. 推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

3、推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.,三.空間線面的位置關系,共面 平行沒有公共點 (1)直線與直線 相交有且只有一個公共點 異面(既不平行，又不相交) 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 (2)直線和平面 直線不在平面內(nèi) 平行沒有公共點 相交有且只有一公共點 (3)平面與平面 相交有一條公共直線(無數(shù)個公共點) 平行沒有公共點,、,四.異面直線的判定,證明兩條直線是異面直線通常采用反證法. 有時也可用定理“平面內(nèi)一點與平面外一點的連線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線”.,五.線面平行與垂直的判定,(1)兩直線平行的判定 定義：在同一個平面內(nèi)，且沒有公共點的兩條直線平行. 如果一條直線和一

4、個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行，即若a,a，=b,則ab. 平行于同一直線的兩直線平行，即若ab,bc,則ac. 垂直于同一平面的兩直線平行，即若a，b，則ab 兩平行平面與同一個平面相交，那么兩條交線平行，即若,=b,則ab 如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線與這兩個平面的交線平行，即若=b,a,a，則ab.,例1、,已知四邊形是ABCD空間四邊形，E、F、G、H分別是四邊的中點 求證：EFGH是平行四邊形,(2)兩直線垂直的判定 定義：若兩直線成90角，則這兩直線互相垂直. 一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若bc,a

5、b,則ac 一條直線垂直于一個平面，則垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直線.即若a,b，ab. 三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直. 如果一條直線與一個平面平行，那么這條直線與這個平面的垂線垂直.即若a,b,則ab. 三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若,，,且=a,=b,=c，則ab,bc,ca.,例2、,如圖P是 所在平面外一點， 平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點， （1）求證： ； （2）當 ， 時，求MN的長。,(3)直線與平面平行的判定 定義：若一條直線和平面沒有公共點，則這直線與這個平面平行. 如果平面外一條直線

6、和這個平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行.即若a,b，ab,則a. 兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面，即若,l，則l. 如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.即若,l，l，則l. 在一個平面同側(cè)的兩個點，如果它們與這個平面的距離相等，那么過這兩個點的直線與這個平面平行，即若A，B，A、B在同側(cè)，且A、B到等距，則AB. 兩個平行平面外的一條直線與其中一個平面平行，也與另一個平面平行，即若,a，a，a，則. 如果一條直線與一個平面垂直，則平面外與這條直線垂直的直線與該平面平行，即若a,b，ba，則b. 如果兩條平行直線中的一條平

7、行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面(或在這個平面內(nèi))，即若ab,a,b(或b),例3、,如圖，在正方體中 ，E是AA1的中點， 求證： 平面BDE。,例4、,已知正方體 ， O是底 對角線的交點. 求證：() C1O面 （2） 面,例5、,如圖，在正方體 中，E是AA1的中點. （1）求證： 平面BDE；,(4)直線與平面垂直的判定 定義：若一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直. 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.即若m，n，mn=B,lm,ln,則l. 如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若la,a,則l. 一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面，即若,l，則l. 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面，即若,a=，l，la,則l. 如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面，即若,且a=,則a.,例6、,如圖，已知空間四邊形ABCD中， ，E是AB的中點。 求證：（1） 平面CDE;,例7、,已知 中 , 面ABC, , 求證： 面 SBC ,例8、,已知正方體 ，O是底ABCD對角線的交點. 求證：() C1O面 AB1D1 ；(2) 面 AB1D