現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法4-2+桿有限元分析.ppt

1、4.2 彈性力學(xué)平面問題的有限元法,有 限 元 求 解 基 本 原 理,彈性力學(xué)的有限元分析計(jì)算可分為三個(gè)步驟: 1 結(jié)構(gòu)離散化 這是有限元法的基礎(chǔ)，用由有限個(gè)方位不同但幾何性質(zhì)及物理性質(zhì)均相似的單元組成的集合體來代替原來的連續(xù)體或結(jié)構(gòu)。每個(gè)單元僅在節(jié)點(diǎn)處和其他單元及外部有聯(lián)系。對于不同的問題，根據(jù)自身的特點(diǎn)，可選用不同類型的單元。對同一問題也可以分別或同時(shí)選用多種單元。,4.2 彈性力學(xué)平面問題的有限元法,例：一個(gè)受載的懸臂梁和用三角形單元離散化的模型,真實(shí)系統(tǒng),有限元模型,離散,有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。,注意：1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，

2、有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別； 2）節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別,單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域 節(jié)點(diǎn)：單元與單元間的連接點(diǎn)。 節(jié)點(diǎn)力：單元與單元間通過節(jié)點(diǎn)的相互作用力。 節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載。 節(jié)點(diǎn)自由度(DOFs) ：用于描述一個(gè)物理場的響應(yīng)特性。,分離但節(jié)點(diǎn)重疊的單元A和B之間沒有信息傳遞（需進(jìn)行節(jié)點(diǎn)合并處理）,信息是通過單元之間的公共節(jié)點(diǎn)傳遞的。,具有公共節(jié)點(diǎn)的單元之間存在信息傳遞,非法結(jié)構(gòu)離散,不同材料,節(jié)點(diǎn)不合法,典型單元類型,2.單元分析,主要內(nèi)容：由節(jié)點(diǎn)位移求內(nèi)部任意點(diǎn)的位移，由

3、節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)變，應(yīng)力和節(jié)點(diǎn)力。 3.整體分析 (1) 由節(jié)點(diǎn)平衡方程，建立以整體剛度矩陣K為系數(shù)的，整體節(jié)點(diǎn)位移d 和外載R的關(guān)系式整體平衡方程。 (2) 考慮幾何邊界條件，修改總體剛度矩陣，求解全部未知位移分量。,a)受拉階梯桿示意圖,二. 有 限 元 求 解 基 本 原 理(一維問題),引例:用有限元法求圖1所示受拉階梯桿的位移和應(yīng)力。已知桿截面面積A(1)=210-4m2，A(2)=110-4m2，各段桿長l(1)=l(2)=0.1m；材料彈性模量E(1)=E(2)=2107Pa，作用于桿端的拉力F3=10N。,1.單元?jiǎng)澐?根據(jù)材料力學(xué)的平面假設(shè)，等截面受拉桿的同一截面可認(rèn)為具有相

4、同的位移和應(yīng)力，即位移只與截面的軸向坐標(biāo)(x) 有關(guān)，所以可將階梯桿看作由兩個(gè)“一維單元”組成，同一個(gè)單元內(nèi)截面面積及材料特性不變。最簡單的情況是，每一個(gè)單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，他們分別位于單元兩端。相鄰兩單元靠公共節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)。受拉階梯桿就簡化為由兩個(gè)一維單元和三個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的有限單元模型。圖中和是單元號，1,2,3是節(jié)點(diǎn)號。取節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，應(yīng)力由求得的節(jié)點(diǎn)位移算出。,c)單元圖,b)有限元模型,圖5-6,2.確定單元插值函數(shù)(形函數(shù)),有限元法將整個(gè)求解域離散為一系列僅靠公共節(jié)點(diǎn)聯(lián)結(jié)的單元，而每一個(gè)單元本身卻視為光滑連續(xù)體。單元內(nèi)任一點(diǎn)的場變量(如位移)可由本單元的節(jié)點(diǎn)值根據(jù)場變量在單元中的假

5、定分布規(guī)律(插值函數(shù))插值求得。 本例中，每單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，采用線性插值。圖c是一典型單元圖，兩節(jié)點(diǎn)分別為i和j，節(jié)點(diǎn)場變量值分別記為ui和uj 。設(shè)單元中坐標(biāo)為x處的場變量為u(x) 。,單元的位移場為u(x)， 由兩個(gè)端點(diǎn)的位移來進(jìn)行線形插值確定，設(shè)u(x) 為：,(1.a),則,其中N(x)叫做形狀函數(shù)矩陣(shape function matrix),為,qe叫做節(jié)點(diǎn)位移列陣(nodal displacement vector),即,(2),形函數(shù)矩陣的分量數(shù)目應(yīng)與單元自由度數(shù)目相等,3.單元方程(單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系),由等截面桿變形與拉力的關(guān)系(虎克定律)得到 (3) 式中，

6、 Pi和Pj分別為作用于單元e的節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的節(jié)點(diǎn)力。,式(3)寫成矩陣形式為： (4) 或簡記為： ke qe = Pe (5) ke常稱為單元?jiǎng)偠染仃?stiffness matrix of element)，簡稱單元?jiǎng)傟? P e=Pi PjT 稱為單元節(jié)點(diǎn)力列陣(nodal force vector)。 式(5)稱為單元方程。,到目前為止，單元方程(4)或(5)尚不能求解，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)力列陣Pe尚屬未知。 Pe的分量Pi和Pj為相鄰單元作用于單元e的節(jié)點(diǎn)i和j的力，即屬于單元之間的作用力。只有將具有公共節(jié)點(diǎn)的單元“組 集”在一起才能確定上述節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)外載荷之間的關(guān)系。,4.單元組集,建

7、立總體方程組為獲得總體方程組，必須先將單元方程按照局部自由度(ui和uj)和總體自由度(u1、u2和u3)的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行擴(kuò)展。,(6) 式中，各項(xiàng)上角碼表示單元序號；下角碼表示自由 度總體序號。,具體來說，單元1的擴(kuò)展方程為：,(7) 由于相鄰兩單元公共節(jié)點(diǎn)上的基本場變量（位移）相同，所以可將擴(kuò)展后的各單元方程相加。,單元2的擴(kuò)展方程為：,(8),將式(6)和式(7)相加得：,(9) 組集后的結(jié)果簡記為：Kq = P 式中，K稱為總體特性矩陣(常稱為總體剛度矩陣和總剛陣)，P稱為總體節(jié)點(diǎn)載荷列陣。需指出的是，對單元的一個(gè)公共節(jié)點(diǎn)而言，除了有相鄰單元作用于該節(jié)點(diǎn)的力之外，還可能有做用于該節(jié)點(diǎn)的外

8、載荷。若一節(jié)點(diǎn)上無外載荷作用(如本例中節(jié)點(diǎn)2)，則說明各相鄰單元作用于該節(jié)點(diǎn)的力是平衡的，即該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)合力為零。,上述組集過程可記為：,有限元模型單元總數(shù),若某節(jié)點(diǎn)上有外載荷作用(如節(jié)點(diǎn)3)，則各單元作用于該節(jié)點(diǎn)的內(nèi)力和(即方程(8)中第3式左端項(xiàng)的負(fù)值)與該節(jié)點(diǎn)的外載荷(F3)相平衡，即： (10) 即，列陣F 各分量的含義是作用于相應(yīng)自由度(節(jié)點(diǎn)位移)上的節(jié)點(diǎn)外載荷。將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入式(8)得： (11),上式即為本題的總體線性代數(shù)方程組，但不能獲得唯一解，因?yàn)樯鲜街械木仃囀瞧娈惖?。這種奇異性不是因數(shù)據(jù)巧合造成的，而是有其必然性。原因在于總體方程組式(8)只考慮了力平衡條件，而只根據(jù)力平衡

9、不能唯一地確定系統(tǒng)的位移，因?yàn)橄到y(tǒng)在有任意剛性位移的情況下仍可處于力平衡狀態(tài)。為獲得各節(jié)點(diǎn)位移的唯一解，必須消除可能產(chǎn)生的剛體位移，即必須計(jì)入位移邊界條件。,本題的位移邊界條件為u1=0,那么，式(11)中只剩下兩個(gè)待求的自由度u2和u3。也就是說，可從式(11)中消去一個(gè)方程。譬如，舍去第一個(gè)方程并將u1= 0代入后得： (12) 解得： u2=2.510-4m ；u3=7.510-4m。 q = u1 u2 u3T = 0 2.510-4 7.510-4T m. 這與材料力學(xué)求得的結(jié)果相同。,5.計(jì)入邊界條件，解方程組,應(yīng)變的表達(dá) 由幾何方程得知，1D單元中任一點(diǎn)的應(yīng)變 (13) 其中 (14) B(x)稱為單元應(yīng)變矩陣，或稱為幾何函數(shù)矩陣(strain-displacement matrix).,6.計(jì)算單元應(yīng)變和應(yīng)力,(15) 其中 (16) S(x)叫做應(yīng)力矩陣 (stress-displacement matrix).,應(yīng)力的表達(dá),對于單元1 對于單元2,7. 求支反力,具體對單元，有 (17) 其中R1為節(jié)點(diǎn)1的外力，即為支反力，P2為單元的節(jié)點(diǎn)2所受的力，將u1和u2的值帶入式(17)，有,作業(yè),用有限元法求圖示受拉階梯桿的