第三章 內(nèi)積空間,正規(guī)矩陣與H-矩陣.ppt

1、第三章 內(nèi)積空間，正規(guī)矩陣與H-矩陣 定義： 設(shè) 是實(shí)數(shù)域 上的 維線性空間，對(duì)于 中的任意兩個(gè)向量 按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)稱為 與 的內(nèi)積，記為 ，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：,這里 是 中任意向量， 為任意實(shí)數(shù), 只有當(dāng) 時(shí) ，我們稱帶有這樣內(nèi)積的 維線性空間 為歐氏空間。 例1 在 中，對(duì)于 規(guī)定 容易驗(yàn)證 是 上的一個(gè)內(nèi)積，從而 成為一個(gè)歐氏空間。如果規(guī)定,容易驗(yàn)證 也是 上的一個(gè)內(nèi)積, 這樣 又成為另外一個(gè)歐氏空間。,例2 在 維線性空間 中，規(guī)定 容易驗(yàn)證這是 上的一個(gè)內(nèi)積，這樣 對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。 例3 在線性空間 中，規(guī)定,容易驗(yàn)證 是 上的一個(gè)

2、內(nèi)積，這樣 對(duì)于這個(gè)內(nèi)積成為一個(gè)歐氏空間。 定義： 設(shè) 是復(fù)數(shù)域 上的 維線性空間，對(duì)于 中的任意兩個(gè)向量 按照某一確定法則對(duì)應(yīng)著一個(gè)復(fù)數(shù)，這個(gè)復(fù)數(shù)稱為 與 的內(nèi)積，記為 ，并且要求內(nèi)積滿足下列運(yùn)算條件：,這里 是 中任意向量， 為任意復(fù)數(shù), 只有當(dāng) 時(shí) ，我們稱帶有這樣內(nèi)積的 維線性空間 為酉空間。歐氏空間與酉空間通稱為內(nèi)積空間。 例1 設(shè) 是 維復(fù)向量空間，任取,規(guī)定 容易驗(yàn)證 是 上的一個(gè)內(nèi)積，從而 成為一個(gè)酉空間。 例2 設(shè) 表示閉區(qū)間 上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，定義,容易驗(yàn)證 是 上的一個(gè)內(nèi)積，于是 便成為一個(gè)酉空間。 例3 在 維線性空間 中，規(guī)定 其中 表示 中所有元素

3、取共軛復(fù)數(shù)后再轉(zhuǎn)置，容易驗(yàn)證 是 上的一個(gè)內(nèi)積，從而 連同這個(gè)內(nèi)積一起成為酉空間。 內(nèi)積空間的基本性質(zhì)：,歐氏空間的性質(zhì)：,酉空間的性質(zhì)：,定義：設(shè) 是 維酉空間， 為其一組基底，對(duì)于 中的任意兩個(gè)向量 那么 與 的內(nèi)積,令,稱 為基底 的度量矩陣，而且 定義：設(shè) ，用 表示以 的元素的共軛復(fù)數(shù)為元素組成的矩陣，記,則稱 為 的復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣。不難驗(yàn)證復(fù)共軛轉(zhuǎn)置矩陣滿足下列性質(zhì)：,定義：設(shè) ,如果 ，那么稱 為Hermite矩陣；如果 ，那么稱 為反Hermite矩陣。 例 判斷下列矩陣是H-陣還是反H-陣。,熟悉下列概念: （1） 實(shí)對(duì)稱矩陣 （2） 反實(shí)對(duì)稱矩陣 （3） 歐氏空間的度量矩陣

4、 （4） 酉空間的度量矩陣 內(nèi)積空間的度量 定義：設(shè) 為酉（歐氏）空間，向量 的長(zhǎng)度定義為非負(fù)實(shí)數(shù) 例 在 中求下列向量的長(zhǎng)度,解： 根據(jù)上面的公式可知 一般地，我們有: 對(duì)于 中的任意向量 其長(zhǎng)度為,這里 表示復(fù)數(shù) 的模。 定理：向量長(zhǎng)度具有如下性質(zhì) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，,例1： 在線性空間 中，證明 例2 設(shè) 表示閉區(qū)間 上的所有連續(xù)復(fù)值函數(shù)組成的線性空間，證明：對(duì)于任意的 ，我們有,定義：設(shè) 為歐氏空間，兩個(gè)非零向量 的夾角定義為 于是有 定理：,因此我們引入下面的概念; 定義：在酉空間 中，如果 ，則稱 與 正交。 定義： 長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量，對(duì)于任何一個(gè)非零的向量 ，向量 總是單位

5、向量，稱此過(guò)程為單位化。,標(biāo)準(zhǔn)正交基底與Schmidt正交化方法 定義 設(shè) 為一組不含有零向量的向量組，如果 內(nèi)的任意兩個(gè)向量彼此正交，則稱其為正交的向量組。 定義 如果一個(gè)正交向量組中任何一個(gè)向量都是單位向量，則稱此向量組為標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。 例 在 中向量組,與向量組 都是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,定義：在 維內(nèi)積空間中，由 個(gè)正交向量組成的基底稱為正交基底；由 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組成的基底稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基底。 注意：標(biāo)準(zhǔn)正交基底不唯一。在上面的例題中可以發(fā)現(xiàn)這一問(wèn)題。 定理：向量組 為正交向量組的充分必要條件是 向量組 為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的充分必要條件是,定理：正交的向量組是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組。反之

6、，由一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組出發(fā)可以構(gòu)造一個(gè)正交向量組，甚至是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 Schmidt正交化與單位化過(guò)程: 設(shè) 為 維內(nèi)積空間 中的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，利用這 個(gè)向量完全可以構(gòu)造一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,第一步 正交化 容易驗(yàn)證 是一個(gè)正交向量組.,第二步 單位化 顯然 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的正交向量組。 例1 運(yùn)用正交化與單位化過(guò)程將向量組 化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 解：先正交化,再單位化,那么 即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 例2 求下面齊次線性方程組,其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。 解： 先求出其一個(gè)基礎(chǔ)解系 下面對(duì) 進(jìn)行正交化與單位化：,即為其解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底。,酉變換與正交變換 定義：設(shè) 為

7、一個(gè) 階復(fù)矩陣，如果其滿足 則稱 是酉矩陣，一般記為 設(shè) 為一個(gè) 階實(shí)矩陣，如果其滿足 則稱 是正交矩陣，一般記為,例：,是一個(gè)正交矩陣,是一個(gè)正交矩陣,是一個(gè)正交矩陣,（5）設(shè) 且 ，如果 則 是一個(gè)酉矩陣。通常稱為Householder矩陣。,是一個(gè)酉矩陣,酉矩陣與正交矩陣的性質(zhì)： 設(shè) ，那么 設(shè) ，那么,定理： 設(shè) ， 是一個(gè)酉矩陣的充分必要條件為 的 個(gè)列（或行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。 定義： 設(shè) 是一個(gè) 維酉空間， 是 的一個(gè)線性變換，如果對(duì)任意的 都有,則稱 是 的一個(gè)酉變換。 定理：設(shè) 是一個(gè) 維酉空間， 是 的一個(gè)線性變換，那么下列陳述等價(jià)： （1） 是酉變換； （3）將 的

8、標(biāo)準(zhǔn)正交基底變成標(biāo)準(zhǔn)正交基底； （4）酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣表示為酉矩陣。 注意：關(guān)于正交變換也有類似的刻劃。,冪等矩陣 定義：設(shè) ，如果 滿足 則稱 是一個(gè)冪等矩陣。 例 是一個(gè)分塊冪等矩陣。,冪等矩陣的一些性質(zhì)：設(shè) 是冪等矩陣，那么有 （1） 都是冪等矩陣； （2） （3） （4） 的充分必要條件是 （5）,定理：設(shè) 是一個(gè)秩為 的 階矩陣，那么 為一個(gè)冪等矩陣的充分必要條件是存在 使得 推論：設(shè) 是一個(gè) 階冪等矩陣，則有 定義：設(shè) 為一個(gè) 維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么稱 型矩陣,為一個(gè)次酉矩陣。一般地將其記為 定理： 設(shè) 為一個(gè) 階矩陣，則 的充分必要條件是存在一個(gè) 型次酉矩陣 使得 其

9、中 。 要證明定理,先看下面的引理.,引理： 的充分必要條件是 證明：設(shè) ，那么,必要性：如果 為一個(gè) 維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組，那么,充分性：設(shè) ， 那么由 ，可得,即 這表明 是一個(gè) 維標(biāo)準(zhǔn)正交列向量組。 定理的證明： 必要性：因 ，故 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，將這 個(gè)列向量用Schmidt方法得出 個(gè)兩兩正交的單位向量，以這 個(gè)向量為列構(gòu)成一個(gè) 型次酉矩陣,。注意到 的 個(gè)列向量都可以由 的 個(gè)列向量線性表出。即如果 那么可得,其中,由于向量組 的秩為 ，所以 的秩為 。,下面證明 。 由 可得 ，即 注意到 ，所以,即 因?yàn)?，所以 ，這樣得到 于是,充分性：若 ，則,Schur引理與正規(guī)矩

10、陣 定義：設(shè) ，若存在 ，使得 則稱 酉相似(或正交相似)于 定理(Schur引理)：任何一個(gè) 階復(fù)矩陣 酉相似于一個(gè)上(下)三角矩陣。,證明：用數(shù)學(xué)歸納法。 的階數(shù)為1時(shí)定理顯然成立?，F(xiàn)設(shè) 的階數(shù)為 時(shí)定理成立，考慮 的階數(shù)為 時(shí)的情況。 取 階矩陣 的一個(gè)特征值 ，對(duì)應(yīng)的單位特征向量為 ，構(gòu)造以 為第一列的 階酉矩陣 ，,因?yàn)?構(gòu)成 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，故,，因此,其中 是 階矩陣，根據(jù)歸納假設(shè)，存在 階酉矩陣 滿足,(上三角矩陣),令 那么,注意: 等號(hào)右端的三角矩陣主對(duì)角線上的元素為矩陣 的全部特征值. 定理(Schur不等式): 設(shè) 為矩陣 的特征值, 那么 例: 已知矩陣,試求酉矩陣

11、 使得 為上三角矩陣. 解: 首先求矩陣 的特征值,所以 為矩陣 的三重特征值. 當(dāng) 時(shí), 有單位特征向量 再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個(gè)單位解向量,再解與 內(nèi)積為零的方程組 求得一個(gè)單位解向量 取,計(jì)算可得,令,再求矩陣 的特征值 所以 為矩陣 的二重特征值. 當(dāng) 時(shí), 有單位特征向量,再解與其內(nèi)積為零的方程 求得一個(gè)單位解向量,取 計(jì)算可得,令 于是有,則,矩陣 即為所求的酉矩陣. 正規(guī)矩陣 定義: 設(shè) , 如果 滿足,那么稱矩陣 為一個(gè)正規(guī)矩陣. 設(shè) , 如果 同樣滿足 那么稱矩陣 為一個(gè)實(shí)正規(guī)矩陣. 例: (1) 為實(shí)正規(guī)矩陣,(2) 其中 是不全為零的實(shí)數(shù), 容易驗(yàn)證這是一個(gè)實(shí)正規(guī)

12、矩陣.,(3) 這是一個(gè)正規(guī)矩陣. (4) H-陣, 反H-陣, 正交矩陣, 酉矩陣, 對(duì)角矩陣都是正規(guī)矩陣. 正規(guī)矩陣的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)定理,引理1 : 設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣, 則與 酉相似的矩陣一定是正規(guī)矩陣. 引理2 : 設(shè) 是一個(gè)正規(guī)矩陣, 且又是三角矩陣, 則 必為對(duì)角矩陣. 證明 : 代入 后比較等式兩端矩陣第一行第一列元素，第二行第二列元素，等等，第n行第n列元素得n個(gè)等式,根據(jù) 得 。因此是對(duì)角矩陣。 由上述引理可以得到正規(guī)矩陣的結(jié)構(gòu)定理 定理 : 設(shè) , 則 是正規(guī)矩陣的充要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使得,其中 是矩陣 的特征值. 推論1 : 階正規(guī)矩陣有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .,推論

13、2 : 正規(guī)矩陣屬于不同特征值的征向量 彼此正交. 例1 : 設(shè) 求正交矩陣 使得 為對(duì)角矩陣. 解: 先計(jì)算矩陣的特征值,其特征值為 對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 現(xiàn)在將 單位化并正交化, 得到兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量,對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個(gè)單位向量,將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣,則矩陣 即為所求正交矩陣且有,例2 : 設(shè),求酉矩陣 使得 為對(duì)角矩陣.,解: 先計(jì)算矩陣的特征值 其特征值為 對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系,現(xiàn)在將 單位化, 得到一個(gè)單位向量,對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個(gè)單位向量

14、,對(duì)于特征值 解線性方程組 求得其一個(gè)基礎(chǔ)解系 將其單位化得到一個(gè)單位向量,將這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成矩陣,則矩陣 即為所求酉矩陣且有,例3 證明: (1) H-矩陣的特征值為實(shí)數(shù); H-矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反H-矩陣的特征值為零或純虛數(shù). (3) 酉矩陣的特征值模長(zhǎng)為1. 定理: 設(shè) 是正規(guī)矩陣, 則 (1) 是H-陣的充要條件是 的特征值為實(shí)數(shù) .,(2) 是反H-陣的充要條件是 的特征值的實(shí)部為零 . (3) 是U-陣的充要條件是 的特征值的模長(zhǎng)為1 . 注意: 正規(guī)矩陣絕不僅此三類. 例4 : 設(shè) 是一個(gè)反H-陣, 證明: 是U-陣. 證明: 根據(jù)U-陣的定義

15、,由于 是反H-陣, 所以 這樣 于是可得,這說(shuō)明 為酉矩陣.,例5 : 設(shè) 是一個(gè) 階正規(guī)矩陣且存在自然數(shù) 使得, 證明: 證明: 由于 是正規(guī)矩陣, 所以存在一個(gè)酉矩陣 使得,于是可得 從而 這樣,即 Hermite矩陣(簡(jiǎn)稱H-矩陣) Hermite矩陣的基本性質(zhì) 引理: 設(shè) , 則 (1) 都是H-矩陣.,(2) 是反H-陣. (3) 如果 是H-陣, 那么 也是H-陣, 為任意正整數(shù). (4) 如果 是可逆的H-陣, 那么 也是可逆的H-陣. (5) 如果 是H-陣(反H-陣), 那么 是反H-矩陣(H-陣), 這里 為虛數(shù)單位. (6) 如果 都是H-陣, 那么 也是H-陣, 這里

16、 均為實(shí)數(shù). (7) 如果 都是H-陣, 那么 也是H-陣的充分必要條件是,定理: 設(shè) , 則 (1) 是H-陣的充分必要條件是對(duì)于任意的 是實(shí)數(shù). (2) 是H-陣的充分必要條件是對(duì)于任意的 階方陣 為H-陣. H-矩陣的結(jié)構(gòu)定理 定理: 設(shè) , 則 是H-陣的充分必要條件是存在一個(gè)酉矩陣 使得,其中 , 此定理經(jīng)常敘述為: H-陣酉相似于實(shí)對(duì)角矩陣. 推論: 實(shí)對(duì)稱陣正交相似于實(shí)對(duì)角矩陣.,例 : 設(shè) 為一個(gè)冪等H-陣, 則存在酉矩陣 使得 證明: 由于 為一個(gè)H-陣, 所以存在酉矩陣 使得,又由于 為一個(gè)冪等H-陣, 從而 或 將1放在一起, 將0放在一起, 那么可找到一個(gè)酉矩陣 使得,

17、這里 為矩陣 的秩. Hermite二次型 (Hermite二次齊次多項(xiàng)式) 定義: 由 個(gè)復(fù)變量 , 系數(shù)為復(fù)數(shù)的二次齊次多項(xiàng)式,稱為Hermite二次型, 這里 如果記,那么上面的Hermite二次型可以記為 稱為Hermite二次型對(duì)應(yīng)的矩陣 , 并稱 的秩為Hermite二次型的秩. 對(duì)于Hermite二次型作可逆的線性替換 則,這里 Hermite二次型中最簡(jiǎn)單的一種是只含有純的平方項(xiàng)無(wú)交叉項(xiàng)的二次型 我們稱這種形狀的Hermite二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的Hermite二次型. 定理: 對(duì)于任意一個(gè)Hermite二次型,必存在酉線性替換 可以將Hermite二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形 其中 是H-矩

18、陣 的特征值. 進(jìn)一步, 我們有 定理: 對(duì)于Hermite二次型,必存在可逆的線性替換 可以將Hermite二次型 化為 其中 . 我們稱上面的標(biāo)準(zhǔn)形為Hermite二次型 的規(guī)范形. 例: 寫出下面Hermite二次型的矩陣表達(dá)式,并用酉線性替換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形.,解:,正定Hermite二次型與正定Hermite矩陣 定義: 對(duì)于給定的Hermite二次形 如果對(duì)于任意一組不全為零復(fù)數(shù) 都有,則稱該Hermite二次形為正定的(半正定的) , 并稱相應(yīng)的H-矩陣 為正定的(半正定的) . 例: 判斷下列Hermite二次形的類別,與正定的實(shí)二次形一樣, 關(guān)于正定的Hermite二次形我們有

19、 定理: 對(duì)于給定的Hermite二次形 下列敘述是等價(jià)的,(1) 是正定的 (2) 對(duì)于任何 階可逆矩陣 都有 為正定矩陣 (3) 的 個(gè)特征值都大于零 (4) 存在 階可逆矩陣 使得 (5) 存在 階可逆矩陣 使得 (6) 存在正線上三角矩陣 使得 , 且此分解是唯一的. 例1 : 設(shè) 是一個(gè)正定的H-陣, 且又是酉矩陣, 則 證明: 由于 是一個(gè)正定H-陣, 所以必存在,酉矩陣 使得 由于 又是酉矩陣, 所以,這樣必有 , 從而 例2 : 設(shè) 是一個(gè)正定的H-陣, 是一個(gè)反H-陣, 證明: 與 的特征值實(shí)部為零. 證明: 設(shè) 為矩陣的任意一個(gè)特征值, 那么有 . 由于 是一個(gè)正定H-陣,

20、 所以存在可逆矩陣 使得 將其代入上面的特征多項(xiàng)式有,這說(shuō)明 也是矩陣 的特征值. 另一方面注意矩陣 為反H-陣, 從而 實(shí)部為零. 同樣可以證明另一問(wèn).,例3 : 設(shè) 是一個(gè)正定的H-陣, 是一個(gè)反H-陣, 證明: 是可逆矩陣. 證明: 由于 是一個(gè)正定H-陣, 所以存在可逆矩陣 使得 這表明 是可逆的. 于是 另一方面注意矩陣 仍然為正定H-陣, 而矩陣 為反H-陣, 由上面的例題結(jié)論可知,矩陣 的特征值實(shí)部為零, 那么矩陣 的特征值中不可能有零, 從而,定理: 對(duì)于給定的Hermite二次形 下列敘述是等價(jià)的: (1) 是半正定的,(2) 對(duì)于任何 階可逆矩陣 都有 為半正定矩陣 (3)

21、 的 個(gè)特征值全是非負(fù)的 存在 階可逆矩陣 使得 (5) 存在秩為 的 階矩陣 使得,定理: 設(shè) 是正定(半正定)Hermite矩陣, 那么存在正定(半正定) Hermite矩陣 使得 例1 : 設(shè) 是一個(gè)半正定的H-陣且 , 試證明: 證明: 設(shè) 為 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以 . 于是有,例2 : 設(shè) 是一個(gè)半正定的H-陣且 是一個(gè)正定的H-陣, 證明: 證明: 由于 是一個(gè)正定的H-陣, 所以存在可逆矩陣 使得 這樣有,注意矩陣 仍然是一個(gè)半正定的H-陣, 有上面的例題可知 從而,例3 : 證明： （1） 半正定H-矩陣之和仍然是半正定的; （2） 半正定H-矩陣與正定H-陣之和和是正定的; 證明：設(shè) 都是半正定H-陣，那么二者之和 仍然是一個(gè)H-陣，其對(duì)應(yīng)的Hermite二次型為 其中,由于 都是半正定H-矩陣，所以對(duì)于任意一