西南交通大學(xué)振動力學(xué)_第 4 章 連續(xù)系統(tǒng)的振動(I).ppt

1、第4章 連續(xù)系統(tǒng)的振動（I) 李映輝 西南交通大學(xué) 2015.09,2020年8月7日,振動力學(xué),2,2020年8月7日,中國力學(xué)學(xué)會學(xué)術(shù)大會2005,2,2020年8月7日,2,聲 明,本課件可供教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中免費使用。 不可用于任何商業(yè)目的。 本課件的部分內(nèi)容參閱了上海交通大學(xué)陳國平教授和太原科技大學(xué)楊建偉教授的課件，作者在此向二位教授表示衷心感謝。如該課件無意中損害了二位教授利益，作者在此致歉。 本課件以高淑英、沈火明編著的振動力學(xué)（中國鐵道出版社，2011年）的前四章為基礎(chǔ)編寫。 感謝研究生蔣寶坤、王金梅在文字錄入方面的工作,2020年8月7日,振動力學(xué),3,教學(xué)內(nèi)容,連續(xù)系統(tǒng)的

2、振動,2020年8月7日,振動力學(xué),3,弦、桿的的振動 梁的橫向的振動 薄板的振動 連續(xù)系統(tǒng)固有特性的近似解法,2020年8月7日,振動力學(xué),4,教學(xué)內(nèi)容,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動,2020年8月7日,振動力學(xué),4,弦、桿的的振動 弦的橫向振動 弦的橫向振動方程 弦的自由振動 弦的強迫振動 桿的縱向振動 桿的縱向振動方程 桿的縱向自由振動 桿的縱向強迫振動 桿的扭轉(zhuǎn)振動 桿的扭轉(zhuǎn)振動方程 桿的扭轉(zhuǎn)自由和強迫振動,2020年8月7日,振動力學(xué),5,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,連續(xù)系統(tǒng)：具有分布質(zhì)量和分布彈性的系統(tǒng)。如柔索或弦、梁、板等。 連續(xù)系統(tǒng)的運動狀態(tài)可用時間和坐標的連續(xù)

3、函數(shù)來描述 y=f(x,t) 基本假設(shè)如下： （1）材料是均勻連續(xù)的，且各向同性； （2）線彈性，即服從胡克定律； （3）小變形。,2020年8月7日,振動力學(xué),6,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,4.1 弦、桿的振動 弦、繩索構(gòu)件： 懸索橋的索圖4.1(a)、斜拉橋的斜拉索圖4.1(b) 、懸索屋頂結(jié)構(gòu)圖4.1(c) 、高壓輸電線圖4.1(d)、小提琴、胡琴等琴弦。,2020年8月7日,振動力學(xué),7,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,4.1.1 弦橫向振動方程 兩端固定，張力T0 ，單位體積質(zhì)量，橫截面積A，長度l，如圖4.2。 開始受干擾（沖擊力或位移），干擾消失后，

4、弦將在Oxy平面內(nèi)發(fā)生橫向自由振動。,2020年8月7日,振動力學(xué),8,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,(1)離散化方法 將弦任意分割為n+1段，如圖4.3（a）。 將每段的質(zhì)量對半聚縮到兩端。各質(zhì)量點質(zhì)量為mi(i=1,2,n)，且mi= A.xi。 使連續(xù)系統(tǒng)簡化為一個n自由度的離散系統(tǒng)振動問題。,2020年8月7日,振動力學(xué),9,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,用yi表示各質(zhì)點mi偏離平衡位置的橫向位移，設(shè)各質(zhì)點mi作微振動?？疾?個相鄰質(zhì)點mi-1、mi和mi+1，mi受力如圖4.3（b）所示。,2020年8月7日,振動力學(xué),10,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/

5、弦的橫向振動,質(zhì)點mi的橫向振動方程為 式中i 、 i分別為質(zhì)點mi上兩相鄰弦段的張力T0與x軸的夾角。 對微振動，sin i tan i,sin i tan i,且 代入整理得,2020年8月7日,振動力學(xué),11,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,令yi-1=yi-yi-1,yi=yi+1-yi,代入式（4.1）得 兩邊同除以xi，得 令xi0, 離散系統(tǒng)趨近連續(xù)系統(tǒng)。 為弦橫向自由振動方程。,2020年8月7日,振動力學(xué),12,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,（2）連續(xù)化方法 在離左邊固定端x處取微段dx圖4.4a，x點的橫向位移y=y(x,t)，其質(zhì)量為dm=Adx

6、。微段受力如圖 該微段的運動方程為 對微幅振動，有,2020年8月7日,振動力學(xué),13,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,因=y/x，得,2020年8月7日,振動力學(xué),14,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,4.1.2 弦橫向自由振動 將（4.2）簡寫為 式中c2=T0/A, c為波沿弦長度方向傳播速度. 式（4.3）一般稱為一維波動方程。,2020年8月7日,振動力學(xué),15,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,設(shè)（4.3）的解為 式中,Y(x)為弦的振型,而T(t)為弦的振動方式，式（4.4）代入（4.3）得 整理得 方程中含x和t兩個變量，這種方法稱為分離變量法

7、。,2020年8月7日,振動力學(xué),16,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,因兩邊分別為x和t 的函數(shù)，兩邊必為同一常數(shù)，設(shè)為-2，得 式（4.6a）和式（4.6b）的解分別為 （4.7b）稱為振型函數(shù)，表明弦按固有頻率作簡諧振動的振動形態(tài)，即為主振型。 代入得,2020年8月7日,振動力學(xué),17,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,式中A、B、為4個待定常數(shù)，除需振動的初始條件外，還需端點條件確定。 對兩端固定弦，邊界條件為 代入（4.8）得,2020年8月7日,振動力學(xué),18,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,式（4.9）為弦振動的特征方程，也就是頻率方程，由于對

8、應(yīng)于正弦函數(shù)為零的固有頻率值應(yīng)有無限多個，即 所以 為此，對應(yīng)于無限多階的固有頻率n，就有無限多階的主振動，代入（4.8）得 式中 為主振型，即,2020年8月7日,振動力學(xué),19,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,通常稱Y(x)為特征函數(shù)。為此Yn(x)為一特征函數(shù)族，主振型也應(yīng)是一函數(shù)族。 通常，弦的自由振動為無限多階主振動的疊加， 或 式中An、n或Cn、Dn根據(jù)初始條件來決定。 設(shè)初始條件為,2020年8月7日,振動力學(xué),20,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,代入式（4.13b），有 把f1(x)、f2(x)按傅里葉級數(shù)展開，有 式中,2020年8月7日,振動力學(xué)

9、,21,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,由式（a）、（b），得 弦的自由振動響應(yīng)為 在求解弦的自由振動微分方程的過程中，要注意以下幾點： （1）方程（4.7b）的解必須滿足初始條件和邊界條件。,2020年8月7日,振動力學(xué),22,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,初始條件和邊界條件稱為定解條件，只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題稱為初值問題（或柯西問題）；沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題稱為邊值問題，兩者皆有稱為混合問題。 （2）特征方程（頻率方程）由邊界條件獲得，解由無限多的特征值組成的。 （3）特征函數(shù)族 中的An是未定振幅，故Yn(x)僅描述了振型的形狀。,2

10、020年8月7日,振動力學(xué),23,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,（4）系統(tǒng)的固有頻率 中，當n=1時， ，稱為基頻。較高次的頻率n( n =2,3,4,) 是基頻的整數(shù)倍，n與、T0、l有關(guān)?？芍呵傧揖o一些，可調(diào)高音調(diào)，松一些可調(diào)低音調(diào)。,圖4.5,2020年8月7日,振動力學(xué),24,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,3.弦的橫向強迫振動的微分方程及其解 兩端固定，長l的弦上，作用橫向分布力q(x,t)，弦線作強迫振動，如圖4.6所示。設(shè)張力T0，單位體積質(zhì)量和橫截面積A皆為常量,強迫振動方程為,2020年8月7日,振動力學(xué),25,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫

11、向振動,式中c2= T0/A ，振型函數(shù)為 振動方式Hn（t）為未知的時間函數(shù)，振型函數(shù)必須滿足邊界條件。因此，令 也必須滿足邊界條件，同時式（4.13）的解也應(yīng)滿足邊界條件，設(shè)方程（4.15）的解為,2020年8月7日,振動力學(xué),26,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,式（4.16）代入式（4.15），得 設(shè)An=1，上式兩邊乘以 ，對x在0,l上積分，根據(jù)振型函數(shù)正交性得 式中 與無阻尼單自由度系統(tǒng)在外激勵下方程形式相同，其解為：,2020年8月7日,振動力學(xué),27,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,式中 , 為待定常數(shù),由初始條件決定。分別表示廣義坐標和廣義速度的初始

12、值， 稱為廣義力。 將式（4.18）代入式（4.16）中，可得弦的強迫振動解，即得系統(tǒng)在初始條件下和任意激振的響應(yīng)。,2020年8月7日,振動力學(xué),28,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,【例4.1】在一旋轉(zhuǎn)的圓平臺上，沿直徑方向安裝了一根弦AB，弦內(nèi)初拉力為T0，弦長為l，弦的一端A離圓平臺的圓心距離為l1，弦在圓平臺上作微振動，如圖4.7（a）。在這種情況下，弦實為測量平臺旋轉(zhuǎn)角速度的敏感元件，即由測量弦振動基頻來確定平臺的角速度。試建立此弦的振動方程。,2020年8月7日,振動力學(xué),29,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,【解】平臺旋轉(zhuǎn)時，張力T(x)大小沿其長度方向

13、變化。 設(shè)分布離心力在x軸上投影為qx(x) ，則作用在dx微段上的離心力 因弦AB總伸長為0，m(x)=m0=常數(shù),有,（b）,2020年8月7日,振動力學(xué),30,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,式中，E為材料彈性模量，F(xiàn)為橫截面面積，Nq(x)為qx(x)作用引起弦的內(nèi)力,有 （c）代入（b）有,2020年8月7日,振動力學(xué),31,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,分布力離心力引起的弦內(nèi)張力為 對有初拉力為T0，弦內(nèi)總張力為 離心力q(x)在y方向的投影為,2020年8月7日,振動力學(xué),32,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,由平衡方程 整理得 此為該弦振動

14、方程。 【例4.2】兩端固定弦，長l，橫截面A, 單位體積質(zhì)量，開始時，在距O點a處把弦拉高h，然后放手，如圖4.9。設(shè)張力T0大小不變。求弦自由振動響應(yīng)和弦以第n階主振型振動時的總能量。,2020年8月7日,振動力學(xué),33,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,圖4.9,解：弦作自由振動，其響應(yīng)可由式（4.14）表為： 式中n=cn/l,f1(x)、f2(x)為初始條件。根據(jù)題意,2020年8月7日,振動力學(xué),34,將f1(x)和f2(x)代入式(a)得,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),35,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,當弦以第

15、n階主振型振動時，它的總能量公式為 將yn(x,t)代入上式得 由此可見，En將隨n值的增大而快速變小，當n=1時，它的總能量有最大值。,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,2020年8月7日,振動力學(xué),36,作業(yè),第156頁4.4,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/弦的橫向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),37

16、,2020年8月7日,振動力學(xué),37,教學(xué)內(nèi)容,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動,2020年8月7日,振動力學(xué),37,弦、桿的的振動 弦的橫向振動 弦的橫向振動方程 弦的自由振動 弦的強迫振動 桿的縱向振動 桿的縱向振動方程 桿的縱向自由振動 桿的縱向強迫振動 桿的扭轉(zhuǎn)振動 桿的扭轉(zhuǎn)振動方程 桿的扭轉(zhuǎn)自由和強迫振動,2020年8月7日,振動力學(xué),38,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,1.桿縱向振動方程 基本假設(shè)： （1）只考慮桿的縱向變形； （2）垂直于桿軸線的任一截面始終保持為平面，且始終垂 直于桿的軸線； （3）各橫截面內(nèi)各質(zhì)點只沿著桿軸線方向作相等位移，即 不計桿的橫向變形。 基

17、本參數(shù)：截面抗拉剛度EA(x)，彈性模量E，橫截面積A(x) ，單位體積質(zhì)量。,2020年8月7日,振動力學(xué),39,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,設(shè)u(x,t)為t時刻，x處截面縱向位移。微段dx受力如圖4.10（b），x處橫截面上軸力N，x+dx處橫截面上軸力、位移為,2020年8月7日,振動力學(xué),40,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,軸向應(yīng)變量 由 x=Ex及 有 由平衡方程得,2020年8月7日,振動力學(xué),41,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,整理有 （4.19）代入得 對等直桿，EA(x)為常量時，式（4.20）寫為 式中c2=E/，c為彈性縱波沿

18、桿軸線的傳播速度（材料內(nèi)聲的速率）。,2020年8月7日,振動力學(xué),42,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,2. 桿的縱向自由振動 式（4.21）與（4.3）有相同形式，是一維波動方程。用分離變量法求解。 設(shè)解u(x,t)=U(x)T(t)，得 解得,2020年8月7日,振動力學(xué),43,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,A、B、為待定常數(shù)，由初始條件和邊界條件決定。 對兩端固定桿，邊界條件為 代入式（4.23）得 得出 對應(yīng)的主振型,2020年8月7日,振動力學(xué),44,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,兩端自由桿，邊界條件為 自由端軸力為零，代入邊界條件有 則有

19、主振型為,2020年8月7日,振動力學(xué),45,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,與兩端固定桿不同處： 存在 n=0時的固有頻率n=0，表示桿順軸線方向作剛體平移。 對零頻率0=0，若取B0=1，則其主振型為,2020年8月7日,振動力學(xué),46,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,三種邊界條件下的桿縱向振動頻率方程、固有頻率及主振型,2020年8月7日,振動力學(xué),47,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,其它情況的邊界條件,2020年8月7日,振動力學(xué),48,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,桿縱向振動響應(yīng)： 由無限多階主振型的疊加得到，如對兩端固定桿 或 式

20、中An、n或Cn、Dn兩個待定常數(shù)，由初始條件決定。,2020年8月7日,振動力學(xué),49,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,【例4.3】圖中等直桿橫截面積A，單位體積質(zhì)量，彈性模量E，長l，左端固定，右端固結(jié)一質(zhì)量M 的質(zhì)量塊，計算其固有頻率,并進行正交性條件推導(dǎo)。 【解】（1）計算固有頻率 由（4.23）響應(yīng)為,2020年8月7日,振動力學(xué),50,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,邊界條件為 代入及c2=E/，得 Al/M為桿質(zhì)量和附加質(zhì)量之比。式（a）為頻率方程。 設(shè)Al/M =1，l/c=，式（a）為,2020年8月7日,振動力學(xué),51,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/

21、桿的縱向振動,tan 和1/ 的曲線如圖 由兩曲線交點 1， 2，可求得各階固有頻率。 由圖可得 1 =0.86， 2 =3.43，則,2020年8月7日,振動力學(xué),52,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,【討論】(1)當桿質(zhì)量和附加質(zhì)量比不為1，令v為質(zhì)量比，由（a）有 則（a）可簡化為 由（c），當給定質(zhì)量比時，可求出一系列的值，代入l/c=中，可得 即可求出各階固有頻率。,2020年8月7日,振動力學(xué),53,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,【討論】(2)當質(zhì)量比v在兩種極端情況，即v 和 v 0時。 a. 當v 時，由（c）知tan = ,即 將（e）代入（d）得

22、與表4.1中一端固定一端自由桿固有頻率相同。 說明此質(zhì)量塊M 的作用可以不計。,2020年8月7日,振動力學(xué),54,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,b. 當v 0時，tan ，代入（c）得 將v=Al/M 和l/c= 代入上式，得 因EA/l是桿的縱向剛度，說明（h）為略去桿質(zhì)量后，得到的單自由度系統(tǒng)固有頻率。 值得注意的是，若v= 0.1時，由數(shù)值計算可得 1=0.32，代入（d）得,2020年8月7日,振動力學(xué),55,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,若v=0.1,代入v=Al/M 中，則M =10 Al，再代入(h)，則 （j）與（i）比較，相對誤差僅1.18%。

23、為此，當v值較小時，略去桿的質(zhì)量，可得到精度較好的結(jié)果。,2020年8月7日,振動力學(xué),56,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,（2）正交性條件的推導(dǎo) 兩個不同階主振型Yn、Ym之間正交性定義為 對右端帶一質(zhì)量塊的桿主振型正交性證明如下： 設(shè)Un(x) 和Um(x)為n階和m階主振型函數(shù)，則它們滿足方程,2020年8月7日,振動力學(xué),57,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,式中c2=E/，整理得 式中m = A，將Un(x)和Um(x)代入（a），得 用Um和Un分別（b）和（c），并積分得,2020年8月7日,振動力學(xué),58,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,應(yīng)

24、用分部積分，得 兩式相減得 由將邊界條件,2020年8月7日,振動力學(xué),59,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,代入式（f）得 故有 當mn時，m2 n2，則有 上式為右端帶質(zhì)量塊的桿縱向振動主振型對質(zhì)量的正交性條件。 與無質(zhì)量塊的桿縱向振動主振型對質(zhì)量的正交性條件相比較，多了 M Un(l) Um(l) 。,2020年8月7日,振動力學(xué),60,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,當m=n時，m2 =n2， ，則有 式中，是一個任意常數(shù)。若取 =1，則振型函數(shù)即可按照下面方式規(guī)格化,2020年8月7日,振動力學(xué),61,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,3.桿的縱向強

25、迫振動微分方程的解 在兩端自由桿上作用均布軸向力Q(x,t)，如圖4.13。截面抗拉剛度為EA(x)，E為彈性模量，A(x)為橫截面面積，單位體積質(zhì)量為，桿振動方程為 式中q(x,t)= Q(x,t) / A。,2020年8月7日,振動力學(xué),62,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,設(shè)桿振動方式Tn (t)為時間函數(shù)，則必須滿足邊界條件時 設(shè)方程（4.25）的解為 代入（4.25），應(yīng)用正交性條件和規(guī)格化后，得 式中Un(x)是正則振型函數(shù)，根據(jù)杜哈美積分求得,2020年8月7日,振動力學(xué),63,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,桿的縱向強迫振動的響應(yīng)為,2020年8月7日,

26、振動力學(xué),64,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,【例4.4】圖4.14（a）為一端自由，一端固定端的細長桿。其固定端支承相對于地面按拋物線函數(shù) 作平移。設(shè)桿長l,桿截面抗拉 剛度EA，E為彈性模量，A為橫 截面面積， 為單位體積質(zhì)量。 在初瞬時，桿處于靜止。 試確定支承運動所引起的桿的 縱向振動響應(yīng)。,2020年8月7日,振動力學(xué),65,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,【解】設(shè)u(x,t)為 x處縱向位移。 X處微段dx，受力如圖4.14（b） 軸向應(yīng)變 由動靜法得,2020年8月7日,振動力學(xué),66,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,整理后得 （a）代入（b

27、）中，得 設(shè) 則有 代入式（c）中，得,2020年8月7日,振動力學(xué),67,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,令c2=E/ ，整理得 令q(x,t)= ,代入上式 式（e）和式4.25）相同。先解齊次方程： 根據(jù)邊界條件，得到固有頻率,2020年8月7日,振動力學(xué),68,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,式中，Un*(x)是規(guī)格化的正則振型函數(shù)，根據(jù)（4.28）有 由支承運動引起的桿的縱向振動響應(yīng)為 故,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué)

28、,69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,2020年8月7日,振動力學(xué),69,作業(yè),第156頁4.7,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),70,2020年8月7日,振動力學(xué),70,教學(xué)內(nèi)容,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動,2020年8月7日,振動力學(xué),70,弦、桿的的振動 弦的橫向振動 弦的橫向振動方程 弦的自由振動 弦的強迫振動 桿的縱向振動 桿的縱向振動方程 桿的縱向自由振動 桿的縱向強迫振動 桿的扭轉(zhuǎn)振動 桿

29、的扭轉(zhuǎn)振動方程 桿的扭轉(zhuǎn)自由和強迫振動,2020年8月7日,振動力學(xué),71,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,4.1.3 桿的扭轉(zhuǎn)振動 1.振動微分方程 圓截面細長直桿，單位體積質(zhì)量，截面抗扭剛度GJt(x)，G為剪切彈性模量，It(x)為截面抗扭常數(shù)，圓形截面It(x) = Ip(x) , Ip(x)為截面極慣性矩。,2020年8月7日,振動力學(xué),72,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,基本假設(shè)：桿扭轉(zhuǎn)振動時，截面翹曲可忽略不計，且始終保持截面平面繞x軸作微擺動，(x,t)表x處截面的角位移，微段dx，其受力如圖4.15（b）。則 由動量矩定理 整理后 式（4.29）代入

30、，得,2020年8月7日,振動力學(xué),73,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,對等直桿，It為一常數(shù)，上式可化簡為 式中 ，對于圓截面桿， It = Ip，則c2=G/ ，c為剪切彈性波沿x軸的傳播速度。,2020年8月7日,振動力學(xué),74,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,2.桿扭轉(zhuǎn)自由振動 式（4.30）與（4.21）形式相同，也是一維波動方程，故其解可直接寫成 式中A、B、四個待定常數(shù)，由初始條件和邊界條件來確定。,2020年8月7日,振動力學(xué),75,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,表4.3為一些常用的邊界條件。 表4.3 常用邊界條件,2020年8月7日,

31、振動力學(xué),76,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,桿扭轉(zhuǎn)自由振動通解由各主振型疊加而成，即 給定初始條件 后，則由 來決定式（4.32）中常數(shù)項An（或Bn ）和n 。,2020年8月7日,振動力學(xué),77,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,桿扭轉(zhuǎn)受迫振動式（4.28）形式相同，其解也有相同的形式。 現(xiàn)以表4.4給出弦、桿振動方程的參數(shù)對應(yīng)關(guān)系。,2020年8月7日,振動力學(xué),78,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的扭轉(zhuǎn)振動,如已知兩端固定均勻弦的固有頻率 ，正則振型表達式 ， 根據(jù)表4.4，兩端固定均勻軸固有頻率及正則振型表達式：,2020年8月7日,振動力學(xué),79,202

32、0年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,2020年8月7日,振動力學(xué),79,作業(yè),第157頁4.11,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),80,教學(xué)內(nèi)容,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動,2020年8月7日,振動力學(xué),80,梁的橫向振動 梁的橫向振動方

33、程 Euler梁的橫向振動方程 Timosheko梁的橫向振動方程 軸力作用下梁的橫向振動方程 梁的雙向橫向振動方程 梁的橫向振動解 梁的橫向自由振動 主振型的正交性 梁的橫向強迫振動 移動載荷作用下梁的橫向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),81,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,4.2 梁的橫向振動 房屋中的主梁、次梁，鋼軌、枕木，橋梁等都是梁的例子。 梁在垂直其軸線方向發(fā)生的振動，稱為梁的橫向振動或彎曲振動。,2020年8月7日,振動力學(xué),82,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,梁的三種力學(xué)模型 （1）歐拉-伯努利梁（Euler-Bernoulli beam） 只考慮梁的彎曲變形，不計剪切變形及

34、轉(zhuǎn)動慣量影響。 （2）瑞利梁（Rayleigh beam） 除考慮梁的彎曲變形外，還考慮轉(zhuǎn)動慣量影響，但不計剪切變形影響。 （3）鐵木辛科梁（Timoshenko beam） 既考慮梁的彎曲變形和轉(zhuǎn)動慣量，還考慮其剪切變形影響。,2020年8月7日,振動力學(xué),83,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,4.2.1 梁的橫向振動微分方程 1.歐拉-伯努利梁的振動方程 設(shè)y(x,t)為梁的橫向位移，如圖 4.17(a) ，它是橫截面位置x和時間t 的函數(shù)。橫截面對中心主軸的截面慣 性矩為I(x), 單位體積質(zhì)量為,橫截 面積為A(x)，作用有分布力q(x,t)。,2020年8月7日,振動力學(xué),84,連續(xù)系

35、統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,取微段dx，受力如圖4.17（b）。Q為剪力，M為彎矩, 慣性力 由 整理得 由,2020年8月7日,振動力學(xué),85,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,略去二階微量，可得 由彎矩和撓度關(guān)系有 把式(a)和(4.35)代入式(4.36)，整理得 為歐拉-伯努利梁橫向振動方程。對等直梁，EI(x)和A(x)為常量，得到,2020年8月7日,振動力學(xué),86,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,2.鐵木辛科梁的振動方程 鐵木辛科梁力學(xué)模型考 慮了梁的剪切變形和轉(zhuǎn) 動慣量。取微段dx，如 圖4.18。 梁軸線（截面）轉(zhuǎn)角由彎矩、剪力共同作用產(chǎn)生。 彎矩作用產(chǎn)生的梁軸線（截面）轉(zhuǎn)角，剪力作用

36、產(chǎn)生的梁軸線（截面）轉(zhuǎn)角，則,2020年8月7日,振動力學(xué),87,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,由彎矩M 和剪力Q關(guān)系 式(b)代入上式得 式中，k=1/k，k為取決于截面幾何形狀的常數(shù)。矩形截面k=1.2，圓形截面k=1.11，而kA為截面有效剪切面積。 由 得,2020年8月7日,振動力學(xué),88,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,整理得 式(d)代入上式得 由 ，得 略去二階微量，整理得 式中I為橫截面對中心主軸慣性矩， 為轉(zhuǎn)動慣性矩，Idx為微段轉(zhuǎn)動慣量。,2020年8月7日,振動力學(xué),89,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,式(c)、(d)代入上式，得 對等截面梁，將(e)、(f)中消去，得

37、(4.39)為鐵木辛科梁振動方程。,2020年8月7日,振動力學(xué),90,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,3. 在軸向力影響下，梁的橫向振動方程 梁除承受橫向載荷外，常還受平行于軸線的軸向力，如圖4.19。因軸向力和橫向位移相互影響，不能直接應(yīng)用橫向振動方程，需推導(dǎo)其振動方程。,2020年8月7日,振動力學(xué),91,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,設(shè)軸力N為常量，取微段dx， 受力圖如圖4.19(b)， 由 ，得 因很小，sin ，整理得 由 ，得含軸力的梁振動方程,2020年8月7日,振動力學(xué),92,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,4. 梁的雙向橫向振動方程 以上討論的梁，在振動中軸線始終在同一平面內(nèi)

38、。 若截面主方向隨x改變，在振動中軸線將不再位于同一平面內(nèi)。對每一主振動，皆包含兩個相互垂直的分量，兩個方向的橫向振動是互相耦合的。稱這種振動為梁的雙向橫向振動。 建立梁的雙向橫振動方程。常采用哈密頓原理， 式中，T為動能，U為勢能，W為主動力的虛功。,2020年8月7日,振動力學(xué),93,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,設(shè)x軸為變形前的彈性線，坐標軸如圖4.20，彈性線上各點位移沿y和z方向的分量為,2020年8月7日,振動力學(xué),94,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,則梁上任一點a在3個方向的位移分量為 由圖4.20(b)-(c)得 因sin= ， sin= ， 則,2020年8月7日,振動力學(xué),

39、95,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,微元的動能、勢能為 式中， 則系統(tǒng)的動能、勢能為：,2020年8月7日,振動力學(xué),96,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,式中，Iz、Iy 為截面對于z軸和y軸的慣性矩，Iyz為相應(yīng)的慣性積。 設(shè)梁受分布載荷為qz(x,t) 、 qy(x,t) ，兩端作用彎矩和剪力為Qy0、Qz0、My0、Mz0、Qy1、 Qz1、 My1、Mz1 ，如圖4.20(a) ，則主動力的虛功為 將(4.42a)、(4.42b)、(4.42c)代入(4.41) 得,2020年8月7日,振動力學(xué),97,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,式中，“.”表示 ，“”表示 ，且v(0)、 v(l)

40、 、 v(0) 、 v(l) 、w(0) 、w(l) 、w(0) 、w(l)為兩個端點的虛位移。 式（4.43）中動能變分為 （a）中第一項 式中 ，因為t1、t2瞬時的運動已給定。,2020年8月7日,振動力學(xué),98,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,式中 。 同理 （4.43）中勢能變分為 （b）中第一項為,2020年8月7日,振動力學(xué),99,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,同理（b）其余三項為,以上結(jié)果代入（4.43），整理得,2020年8月7日,振動力學(xué),100,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),101,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,在邊界上的變分v(0) 、 v

41、(0) 、w(0) 、w(0) 對應(yīng)于位移邊界條件為零，而力邊界條件是任意的，同時v、w也是任意的，得到,2020年8月7日,振動力學(xué),102,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,由（4.45）得梁的雙向橫振動方程 以上方程相互耦合。欲使不耦合，則Iyz=0，有,2020年8月7日,振動力學(xué),103,連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的橫向振動,相應(yīng)于（4.47）的邊界條件為,2020年8月7日,振動力學(xué),104,連續(xù)系統(tǒng)的振動,4.2.2梁的橫向自由振動 1.梁的橫向自由振動 (1)歐拉-伯努利梁橫向自由振動方程 對等截面直梁，振動方程為 設(shè),2020年8月7日,振動力學(xué),105,連續(xù)系統(tǒng)的振動,代入（4.50）

42、中得 有 得到,2020年8月7日,振動力學(xué),106,連續(xù)系統(tǒng)的振動,（4.53）第一式為 式中 設(shè)其基本解為Y(x)=ex，代入(4.54) 得四次代數(shù)方程， 四個根為 則通解為,2020年8月7日,振動力學(xué),107,連續(xù)系統(tǒng)的振動,因 整理得 (4.55)為梁橫向振動的振型函數(shù)。 由 (4.53)第二式得 代入整理得(4.50)的通解。,2020年8月7日,振動力學(xué),108,連續(xù)系統(tǒng)的振動,式中，A、B、C、D、和為6個待定常數(shù)，將由初始條件和邊界條件決定。如兩端簡支的梁，其邊界條件為 代入(4.57) 得 及 由(a)-(b)得,2020年8月7日,振動力學(xué),109,連續(xù)系統(tǒng)的振動,因s

43、h kl 0，故C=0。代入(a)得 因A 0,得頻率方程： 其根為knl=n,n=1,2,3, 又 ，則固有頻率為 相應(yīng)主振型為,2020年8月7日,振動力學(xué),110,表4.5 各種邊界條件下的頻率方程和固有頻率,連續(xù)系統(tǒng)的振動,2020年8月7日,振動力學(xué),111,表4.6 振型函數(shù)與主振型,連續(xù)系統(tǒng)的振動,2020年8月7日,振動力學(xué),112,常見的約束狀況與邊界條件,（1）固定端,撓度和截面轉(zhuǎn)角為零,（2）簡支端,撓度和彎矩為零,（3）自由端,彎矩和剪力為零,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),113,例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù),解：,一端固定，一端自

44、由,邊界條件,固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零,自由端：彎矩和截面剪力為零,得：,以及：,非零解條件：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),114,簡化后，得：,頻率方程,當 i=1,2,3時,解得：,當 時,各階固有頻率：,對應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：,其中：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),115,鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀,第一階模態(tài),第二階模態(tài),第三階模態(tài),一個節(jié)點,兩個節(jié)點,無節(jié)點,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),116,例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù),解：,一端圓柱固定鉸 另一端圓柱滑動鉸,固定鉸：撓度和截面

45、彎矩為零,滑動鉸：撓度和截面彎矩為零,得：,以及：,頻率方程：,固有頻率：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),117,頻率方程：,固有頻率：,模態(tài)函數(shù)：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),118,例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù),背景：導(dǎo)彈飛行,系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng),存在剛體模態(tài),連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),119,頻率方程：,模態(tài)函數(shù)：,其中：,當 i=1,2,3時,解得：,當 時,自由端：彎矩和截面剪力為零,當 時,對應(yīng)剛體模態(tài),連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),

46、120,第二階模態(tài),第三階模態(tài),第四階模態(tài),第五階模態(tài),自由梁的模態(tài)形狀,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),121,例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),122,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,解：,梁的自由振動方程：,邊界條件,固定端：,自由端：,模態(tài)函數(shù)：,2020年8月7日,振動力學(xué),123,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),124,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,非零解條件：,頻率方程：,求得：,對應(yīng)

47、的各階模態(tài)函數(shù)：,代入：,2020年8月7日,振動力學(xué),125,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,第一階模態(tài)：,第二階模態(tài)：,0.560,2020年8月7日,振動力學(xué),126,例：懸臂梁,一端固定，另一端有彈性支撐,邊界條件,固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零,彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等,彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比,彈簧一：卷簧，與截面轉(zhuǎn)角成正比,彎矩平衡條件：,剪力平衡條件：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),127,固定端：,彈性支撐端：,由固定端條件解得：,由彈性支撐固定端條件解得：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月

48、7日,振動力學(xué),128,或,非零解條件導(dǎo)出頻率方程：,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),129,（1）若k1、k2 同時為零，則退化為懸臂梁的情形,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,討論：,2020年8月7日,振動力學(xué),130,（2）若k10、k2 無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動,討論：,2020年8月7日,振動力學(xué),131,例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量,求頻率方程,解：,固定端：,自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡,利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：,其中：,為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比,為梁質(zhì)量,連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁

49、的彎曲振動,2020年8月7日,振動力學(xué),132,連續(xù)系統(tǒng)的振動,(2)鐵木辛科梁橫向自由振動 由(4.39)得 對簡支梁 代入(4.59)，得頻率方程,2020年8月7日,振動力學(xué),133,連續(xù)系統(tǒng)的振動,若僅考慮(4.59)中前二項，即不考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形影響，得 式中，n=l/n為振動中梁的半波長度，得固有頻率與歐拉-伯努利梁模型固有頻率相同。 若僅考慮(4.59)中前三項，即只考慮轉(zhuǎn)動慣量影響，得頻率方程,2020年8月7日,振動力學(xué),134,連續(xù)系統(tǒng)的振動,由二項展開，得固有頻率 若只考慮剪切變形影響，則頻率方程 得出固有頻率,2020年8月7日,振動力學(xué),135,連續(xù)系統(tǒng)的振動

50、,可見，轉(zhuǎn)動慣量、剪切變形都是使梁固有頻率降低，對高階固有頻率影響更大。 因考慮轉(zhuǎn)動慣量后，梁慣性增加，考慮剪切變形后，剛度就降低，兩者都引起梁固有頻率降低。 剪切變形影響比轉(zhuǎn)動慣量影響大。 最后一項與第一項相比是一微量，略去得固有頻率,2020年8月7日,振動力學(xué),136,連續(xù)系統(tǒng)的振動,2. 主振型的正交性 自由振動解通常為無限多階主振型的疊加，對簡支梁有 式中An、n為待定常數(shù)，由初始條件決定。 設(shè)Yn (x)和Ym (x) 為n、m階固有頻率n和m對應(yīng)的主振型函數(shù)。對歐拉-伯努利梁，滿足方程：,2020年8月7日,振動力學(xué),137,連續(xù)系統(tǒng)的振動,將Yn (x) 、 Ym (x)代入(

51、a)，得 由Yn (x)、Ym (x)分別乘(b)、(c)，并在0 l上積分,得 對(d)、(e)應(yīng)用分部積分，得,2020年8月7日,振動力學(xué),138,連續(xù)系統(tǒng)的振動,兩式相減，得 對簡支、固定、自由三種支承的任意組合，右邊皆為零，故m n， nm時，有,2020年8月7日,振動力學(xué),139,連續(xù)系統(tǒng)的振動,此式為主振型對質(zhì)量的正交條件。 將(4.65)代入（f)或(g)，得 此式為主振型對剛度的正交條件。 對等截面梁,主振型正交性條件可表為,2020年8月7日,振動力學(xué),140,連續(xù)系統(tǒng)的振動,當m=n時，則 式中，正常數(shù)Mn稱為廣義質(zhì)量。 如果Mn =1，則稱Yn (x) 為正則振型函數(shù)

52、，即滿足 代(4.68)入(d)，得,2020年8月7日,振動力學(xué),141,連續(xù)系統(tǒng)的振動,(4.66a)、(4.68)可統(tǒng)一寫為 (4.69)可寫為 對等直梁,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,2020年8月7日,

53、振動力學(xué),142,2020年8月7日,振動力學(xué),142,作業(yè),第157頁4.12、4.13、4.14、4.16,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),143,連續(xù)系統(tǒng)的振動,3.梁的橫向強迫振動 長l的均質(zhì)等截面歐拉-伯努利梁，受分布力q(x,t)作用，其強迫振動方程為 設(shè)其解為 式中，Yn (x)為固有頻率n對應(yīng)的正則振型函數(shù)，Hn (t)待求時間函數(shù)，即正則坐標(廣義坐標)。 將(4.72)代入(4.38)，得,2020年8月7日,振動力學(xué),144,連續(xù)系統(tǒng)的振動,注意：主振型的正交性 對等直梁,2020年8月7日,振動力學(xué),145,連續(xù)系統(tǒng)的振動,式(

54、4.73)兩邊均乘Ym (x) ，并對x在0 l上積分，應(yīng)用正交性條件(4.70)、(4.71a)得 式中， 稱為廣義力， (4.74)通解為 因此歐拉-伯努利梁強迫振動解為 式中， 為廣義坐標和廣義速度初值。,2020年8月7日,振動力學(xué),146,連續(xù)系統(tǒng)的振動,【例4.5】圖4.21為長l簡支梁，截面抗彎剛度EI，單位體積質(zhì)量，截面積A，離梁一端a處，作用周期性集中載荷F=F0sin0t。梁初位移及初速度均為零，求此系統(tǒng)的響應(yīng)。 【解】作用于x=a處的集中載荷 可寫為 對簡支梁，正則振型函數(shù)為,2020年8月7日,振動力學(xué),147,連續(xù)系統(tǒng)的振動,由(4.75)有 因t=0時， ，則 兩邊

55、均乘AYm (x)，對x在0 l積分，利用振型正交性得,2020年8月7日,振動力學(xué),148,連續(xù)系統(tǒng)的振動,代入初始條件得 廣義力 則 系統(tǒng)響應(yīng)為,2020年8月7日,振動力學(xué),149,連續(xù)系統(tǒng)的振動,4.2.3 移動載荷作用下的梁的橫向振動 橋梁、橋式吊車大梁皆承受移動載荷，在其作用下將產(chǎn)生振動。 1.恒值集中動荷作用下梁的橫向振動 對歐拉-伯努利梁，所受恒值集中載荷F以速度v 向右運動。在t=0，F(xiàn)位于支承A處，t時刻F距A距離為a=vt。設(shè)x處橫向位移y(x,t)，則振動方程為,2020年8月7日,振動力學(xué),150,連續(xù)系統(tǒng)的振動,式(4.76) 通解為 式中，Yn(x)為正則振型函數(shù)

56、，表達式為 廣義力 則,2020年8月7日,振動力學(xué),151,連續(xù)系統(tǒng)的振動,故系統(tǒng)響應(yīng)為,2020年8月7日,振動力學(xué),152,連續(xù)系統(tǒng)的振動,2.移動質(zhì)量作用下梁的橫向振動 考慮歐拉-伯努利梁。對移動質(zhì)量m，以等速度v 向右移動，t=0時位于支承A處。則t時刻，移動質(zhì)量距A距離a=vt，聯(lián)連于移動質(zhì)量上的坐標，則有,2020年8月7日,振動力學(xué),153,連續(xù)系統(tǒng)的振動,以移動質(zhì)量為對象，受力如圖4.23(b)，由牛頓定律有 梁的橫向位移y(x,t)，則橫向振動方程為 把 (b)代入(c)中，有 因,2020年8月7日,振動力學(xué),154,連續(xù)系統(tǒng)的振動,將以上關(guān)系代入(d)中，得 當x=vt

57、時 當x vt時,2020年8月7日,振動力學(xué),155,連續(xù)系統(tǒng)的振動,(4.79a)解可表示為 代入(4.79a)，得 式(4.80)為非常系數(shù)微分方程，可用逐步漸近法求解。,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,20

58、20年8月7日,振動力學(xué),156,2020年8月7日,振動力學(xué),156,作業(yè),第158頁4.18,連續(xù)系統(tǒng)的振動/弦、桿的振動/桿的縱向振動,2020年8月7日,振動力學(xué),157,連續(xù)系統(tǒng)的振動,3.車輪滾動時軌道的橫向振動 對圖4.24模型，車輪為剛性， 半徑R，質(zhì)量m，受軸重G和驅(qū)動力 MA作用。MA隨變化如圖4.25，且 車輪中心以速度v 在無限長彈性軌 道上滾動。軌道基礎(chǔ)認為是粘彈性基礎(chǔ)。 將軌道簡化為歐拉-伯努利梁，彎曲剛度EI，單位長度質(zhì)量，軌道高度hR，單位長度基礎(chǔ)剛度k，單位長度基礎(chǔ)阻尼b。,2020年8月7日,振動力學(xué),158,連續(xù)系統(tǒng)的振動,建立如圖4.24的坐標系，考慮車輪有微小的偏移s(t)、y (t) 、(t) ，梁在垂直方向有微小的偏移w(x,t) ，輪心到K點的半徑為R，鉛垂線偏轉(zhuǎn)了一個微小的角度(t) ，車輪的平均角速度是=v/R，接觸點K的 橫坐標為xK=vt+sK，由