復(fù)變函數(shù)留數(shù)

1、第五章 留數(shù),5.1 孤立奇點(diǎn),1. 定義,2. 分類,3. 性質(zhì),4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,5. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài),1. 定義,例如,-z=0為孤立奇點(diǎn),-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇點(diǎn),-z=1為孤立奇點(diǎn),這說明奇點(diǎn)未 必是孤立的。,2. 分類,以下將f (z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級數(shù)，根 據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類。考察：,特點(diǎn)：,沒有負(fù)冪次項(xiàng),特點(diǎn)：,只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng),特點(diǎn)：,有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng),定義 設(shè)z0是f (z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0 的去心鄰域內(nèi)， 若f (z)的洛朗級數(shù),沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn);,只有有限多個(gè)負(fù)冪

2、次項(xiàng)，稱z=z0為m 階極點(diǎn);,有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)。,3. 性質(zhì),若z0為f (z)的可去奇點(diǎn),若z0為f (z)的m (m 1) 階極點(diǎn),例如：,z=1為f (z)的一個(gè)三階極點(diǎn)， z=i為f (z)的一階極點(diǎn)。,若z0為f (z)的本性奇點(diǎn),4. 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系,定義 不恒等于0的解析函數(shù)f (z)如果能表示成,例如：,定理,事實(shí)上，,必要性得證！,充分性略！,例如,定理:,證明,“”若z0為f (z)的m 階極點(diǎn),例,解顯然，z=i 是(1+z2)的一階零點(diǎn),綜合,5. 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài),定義,規(guī)定,1. 留數(shù)的定義 2. 留數(shù)定理 3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則 4.

3、 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),5.2 留數(shù)(Residue),1. 留數(shù)的定義,定義設(shè) z0 為 f (z) 的孤立奇點(diǎn)， f (z) 在 z0 鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng) (z- z0)1 的系數(shù) c1 稱為f (z)在 z0 的留數(shù)，記作 Res f (z), z0 或 Res f (z0)。,由留數(shù)定義, Res f (z), z0= c1 (1),2. 留數(shù)定理,定理,證明,由復(fù)合閉路定理得：,用2i 除上式兩邊得:,得證！,求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立 奇點(diǎn)的留數(shù)。,一般求 Res f (z), z0 是采用將 f (z) 在 z0 鄰域內(nèi) 展開成洛朗級數(shù)求系數(shù) c1 的方法, 但

4、如果能先知道 奇點(diǎn)的類型，對求留數(shù)更為有利。,以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：,3. 留數(shù)的計(jì)算規(guī)則,規(guī)則I,規(guī)則II,事實(shí)上，由條件,當(dāng)m=1時(shí)，式(5)即為式(4).,規(guī)則III,事實(shí)上，,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,故由留數(shù)定理得：,(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留 數(shù)，不要死套規(guī)則。,如,是f (z)的三階極點(diǎn)。,-該方法較規(guī)則II更簡單！,(2) 由規(guī)則II 的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II 時(shí)，可將 m 取得比實(shí)際級數(shù)高，這可使計(jì)算更 簡單。,如,3. 在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),定義,由此得,定理如果 f (z) 在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）， 那么f (z

5、) 在 所有孤立奇點(diǎn) 的留數(shù)和等于零。,5.3 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)分析中，以及許多實(shí)際問題中，往往要求計(jì)算出一些定積分或反常積分的值，而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù)，不能用初等函數(shù)表示出來；例如,或者有時(shí)可以求出原函數(shù)，但計(jì)算也往往非常復(fù)雜，例如,（2）利用留數(shù)計(jì)算積分，沒有一些通用的方法，我們主要通過例子進(jìn)行討論；,利用留數(shù)計(jì)算積分的特點(diǎn)： （1）利用留數(shù)定理，我們把計(jì)算一些積分的問題，轉(zhuǎn)化為計(jì)算某些解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)，從而大大化簡了計(jì)算；,解：令,因此,顯然,因此被積函數(shù)在|z|1內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn)z1，而它在這點(diǎn)的留數(shù)是：,于是求得,結(jié)論1. 計(jì)算形如,的積分，其中R(x

6、,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零時(shí)可得：,例2. 計(jì)算積分,解：首先，這是一個(gè)廣義積分，它顯然是收斂的.我們應(yīng)用留數(shù)定理來計(jì)算它.考慮函數(shù),這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)二階極點(diǎn)，在上半平面上的一個(gè)是z=i.作以O(shè)為心、r為半徑的圓盤.,其中 表示Cr上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的.,現(xiàn)在估計(jì)積分,我們有,因此,令 ，就得到,結(jié)論2.應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如,的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.,例3. 計(jì)算積分,解：取r0，則有,函數(shù) 在,時(shí)有一階極點(diǎn)z=i外，在 其他每一點(diǎn)都解析,取積 分區(qū)域如圖，而

7、只要取 r1.于是我們有,于是我們有,其中 表示Cr 上的圓弧部分，沿它的積分是按幅角增加的方向取的.,結(jié)論3.應(yīng)用同樣得方法，我們可以計(jì)算一般形如,的積分，其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1次.,其中R(x,y)是有理分式，并且在圓C:|z|=1上，分母不等于零.,結(jié)論1：,其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高2次.,結(jié)論2：,其中R(x)是有理分式，分母在實(shí)軸上不為零，并且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高1次.,結(jié)論3：,練習(xí). 計(jì)算下列積分.,例4. 計(jì)算積分,函數(shù) 只是在z=0有一個(gè)一階極點(diǎn).,解：取 ，使,于是我們有,的積分分別是按幅角減小與增加的方向取的.,現(xiàn)在求當(dāng) 趨近于0時(shí)， 的極限.,其中h(z)是在z=0的解析函數(shù).因此,由于，h(z)在z=0的解析，在z=0的一個(gè)鄰域內(nèi)，|h(z)|有上界,當(dāng) 時(shí),于是當(dāng) 充分小時(shí),從而,令 ，應(yīng)用結(jié)論3的推導(dǎo)過程，可以得到所求積分收斂，并且,本章作業(yè),1.（3），（5），（9）； 8.（3），（5），（6），（7）； 9.（1），（2），（5）； 10.（2），（3）； 11.（1