矩陣5.ppt

1、第5章 Hermite矩陣與正定矩陣,5.1 Hermite矩陣與Hermite二次型,5.4 Hermite矩陣的特征值*,5.3 矩陣不等式,5.2 Hermite正定（非負(fù)定）矩陣,Hermite矩陣的性質(zhì)：,(1) 如果 A是Hermite矩陣，則對正整數(shù) k，Ak 也是Hermite矩陣；,(2) 如果 A是可逆Hermite矩陣，則 A-1也是Hermite矩陣；,(3) 如果 A, B是Hermite矩陣，則對任意實(shí)數(shù) k, l , kA+l B也是Hermite矩陣；,5.1 Hermite矩陣與Hermite二次型,(4) 若A, B是Hermite矩陣，則 AB也是Herm

2、ite矩陣的充分必要條件是AB = BA；,(5) A 是 Hermite 矩陣的充分必要條件是對任意方陣 S，SH AS 是Hermite矩陣。,定理5.1.2 設(shè) A為n 階Hermite矩陣，則,定理5.1.1 設(shè) ，則 A 是Hermite矩陣的充分必要條件是對任意 ， 是實(shí)數(shù)。,(1) A的所有特征值全是實(shí)數(shù)；,(2) A的屬于不同特征值的特征向量互相正交。,定理5.1.3 設(shè) ，則 A是Hermite矩陣的充分必要條件是存在酉矩陣U 使得,定理5.1.4 設(shè) ，則 A是實(shí)對稱矩陣的充分必要條件是存在正交矩陣Q 使得,設(shè) A是 n 階Hermite矩陣，如果存在 n 階可逆矩陣 P

3、,使得 則稱 D0 為 A的相合標(biāo)準(zhǔn)形；s 稱為A的正慣性指數(shù)；r-s 稱為A的負(fù)慣性指數(shù)。,定理5.1.6 Hermite矩陣的相合標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。,定理5.1.7 設(shè) A, B是 n 階Hermite矩陣，則 A與B相合的充分必要條件是它們有相同的秩和相同的正慣性指數(shù)。,稱A為Hermite二次型的矩陣，稱 A的秩為Hermite二次型的秩。,是Hermite二次型(簡稱二次型），其中,定理5.1.8 對Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉線性變換 x = Uy（其中U是酉矩陣）使得Hermite二次型 f (x)變成標(biāo)準(zhǔn)形,5.2 Hermite正定（非負(fù)定）矩陣,定義

4、5.2.1,正定（非負(fù)定）矩陣具有如下基本性質(zhì)：,定理5.2.1 設(shè) A 是 n 階Hermite矩陣，則下列命題等價(jià)：,(1) A 是正定矩陣；,(2) 對任意 n 階可逆矩陣P, PHAP 都是Hermite正定矩陣；,(3) A 的 n 個(gè)特征值均為正數(shù)；,(4) 存在 n 階可逆矩陣 P 使得 PHAP = I；,(5) 存在 n 階可逆矩陣 Q 使得 A = QHQ；,(6) 存在 n 階可逆Hermite矩陣 S 使得 A = S2.,推論5.2.1,定理5.2.2 n 階Hermite矩陣 A正定的充分必要條件是A的順序主子式均為正數(shù)，即,定理5.2.3 n 階Hermite矩陣

5、 A正定的充分必要條件是A 的所有主子式全大于零。,定理5.2.4 n 階Hermite矩陣 A正定的充分必要條件是存在n 階非奇異下三角矩陣 L 使得 。,例5.2.1若A，C均為n 階Hermite正定矩陣，且AC=CA，則AC為正定矩陣。,例5.2.2設(shè)n 階Hermite矩陣A 有如下分塊：,則A0的充要條件是 ，此時(shí),注1如果 （或者 ，或者 ）且 ，則,例5.2.3若 是n 階Hermite 正定矩陣，則,其中為A 的n-1階順序主子矩陣，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)。,注2設(shè) 是n 階Hermite正定矩陣，則,注3設(shè)A 是n 階Hermite半正定矩陣，則上述不等式也成立。,定理5.2.

6、5 設(shè) A是秩為r 的n 階Hermite矩陣，則下列命題等價(jià)：,(1) A 是非負(fù)定矩陣；,(2) 對任意 n 階可逆矩陣P，PHAP 是Hermite非負(fù)定矩陣；,(3) A的n 個(gè)特征值均為非負(fù)數(shù)；,定理5.2.6 n 階Hermite矩陣A 非負(fù)定的充分必要條件是A 的所有主子式均非負(fù)。,推論5.2.2,定理5.2.7 設(shè)A, B 均為n 階Hermite矩陣，且B0，則存在非奇異矩陣 P 使得,例5.2.4 設(shè)A, B 是n 階Hermite矩陣，且A0，B0，證明,注4 設(shè)A, B 是n 階Hermite矩陣，且A0，B0，則也有 。,5.3 矩陣不等式,定義5.3.1 設(shè) A,B 都是n 階Hermite矩陣，若AB 0，則稱A 大于或等于B（或稱 B 小于或等于 A），記作AB（或BA）；若AB0，則稱A大于B（或稱B小于A），記作AB(或BA）。,設(shè) A,B 都是n 階Hermite矩陣，則,定理5.3.1 設(shè)A, A1, B, B1, C均為n 階Hermite矩陣，則,定理5.3.2 設(shè)A，B是n 階Hermite矩陣，且A0， B0，則,定理5.3.3 設(shè)A 是n 階Hermit