2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何高考專題突破五學(xué)案

1、高考專題突破五高考中的圓錐曲線問(wèn)題【考點(diǎn)自測(cè)】1(2017全國(guó))已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線方程為yx，且與橢圓1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析由yx，可得.由橢圓1的焦點(diǎn)為(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程為1.故選B.2(2017全國(guó))已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B. C. D.答案A解析由題意知，以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a.又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da

2、，解得ab，e.故選A.3(2017全國(guó))已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為()A16 B14 C12 D10答案A解析因?yàn)镕為y24x的焦點(diǎn)，所以F(1,0)由題意知直線l1，l2的斜率均存在，且不為0，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，故直線l1，l2的方程分別為yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20.顯然，該方程必有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21，所以|AB|x1x2|.同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|D

3、E|4(1k2)48484216，當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時(shí)，取得等號(hào)故選A.4(2017北京)若雙曲線x21的離心率為，則實(shí)數(shù)m_.答案2解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a1，b2m，c，故雙曲線的離心率e，1m3，解得m2.5(2017山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線1(a0，b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x22py(p0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|BF|4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)答案yx解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，顯然，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，p，即，雙曲線的漸近線方程為yx

4、.題型一求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(2018佛山模擬)設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B.若|BF2|F1F2|2，則該橢圓的方程為()A.1 B.y21C.y21 D.y21答案A解析|BF2|F1F2|2，a2c2，a2，c1，b，橢圓的方程為1.思維升華 求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是高考的必考題型，主要利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，解得標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，從而求得方程跟蹤訓(xùn)練1已知雙曲線1(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x2)2y23相切，則雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.y21 Dx21答案D解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，則a2

5、b24，雙曲線的漸近線方程為yx，由題意得，聯(lián)立解得b，a1，所求雙曲線的方程為x21，故選D.題型二圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1)(2018屆遼寧凌源二中聯(lián)考)已知圓E：(x3)2(ym4)21(mR)，當(dāng)m變化時(shí)，圓E上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的最短距離是雙曲線C：1(a0，b0)的離心率，則雙曲線C的漸近線為()Ay2x ByxCyx Dyx答案C解析圓E的圓心到原點(diǎn)的距離d，由此可得，當(dāng)m4時(shí)，圓E上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的最短距離是dmin312，即雙曲線的離心率為e2，由此可得，雙曲線C：1(a0，b0)的漸近線為yxx.故選C.(2)(2016天津)設(shè)拋物線(t為參數(shù)，p0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物

6、線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B.設(shè)C，AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|2|AF|，且ACE的面積為3，則p的值為_(kāi)答案解析由(p0)消去t可得拋物線方程為y22px(p0)，F(xiàn)，又|CF|2|AF|且|CF|3p，|AB|AF|p，可得A(p，p)易知AEBFEC，故SACESACF3ppp23，p26，p0，p.思維升華 圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，求離心率、準(zhǔn)線、雙曲線漸近線是?？碱}型，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握各性質(zhì)的定義，及相關(guān)參數(shù)間的聯(lián)系掌握一些常用的結(jié)論及變形技巧，有助于提高運(yùn)算能力跟蹤訓(xùn)練2(2017全國(guó))若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓(x2)2y24所截

7、得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A2 B. C. D.答案A解析設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為yx，圓的圓心為(2,0)，半徑為2，由弦長(zhǎng)為2得出圓心到漸近線的距離為.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得，解得b23a2.所以C的離心率e2.故選A.題型三最值、范圍問(wèn)題例3(2017浙江)如圖，已知拋物線x2y，點(diǎn)A，B，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)由P(x，y)，即P(x，x2)設(shè)直線AP的斜率為k，則kx，因?yàn)閤.所以直線AP斜率的取值范圍為(1,1)(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是xQ

8、.因?yàn)閨PA|(k1)，|PQ|(xQx)，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3，令f(k)(k1)(k1)3，因?yàn)閒(k)(4k2)(k1)2，所以f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減因此當(dāng)k時(shí)，|PA|PQ|取得最大值.思維升華 圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是代數(shù)法，從代數(shù)的角度考慮，通過(guò)建立函數(shù)、不等式等模型，利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法等方法求最值；二是幾何法，從圓錐曲線的幾何性質(zhì)的角度考慮，根據(jù)圓錐曲線的幾何意義求最值與范圍跟蹤訓(xùn)練3(2016山東)平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率是，拋物線E：x22y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)(1

9、)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D.直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M.求證：點(diǎn)M在定直線上；直線l與y軸交于點(diǎn)G，記PFG的面積為S1，PDM的面積為S2，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(1)解由題意知，可得a24b2，因?yàn)閽佄锞€E的焦點(diǎn)為F，所以b，a1，所以橢圓C的方程為x24y21.(2)證明設(shè)P(m0)，由x22y，可得yx，所以直線l的斜率為m，因此直線l的方程為ym(xm)即ymx.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)聯(lián)立方程得(4m21)x24m3xm410.由0，

10、得0m(或0m2|MN|2，點(diǎn)P的軌跡C是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，2a4,2c2，b，點(diǎn)P的軌跡C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(m,0)(2m0，得k2m29b29m2，又bmm，所以k2m2929m2，得k2k26k，所以k0.所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0，k3.由(1)得OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP，由得x，即xP.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入l的方程得b，因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因?yàn)閗i0，ki3，i1,2，所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊

11、形題型五探索性問(wèn)題例5(2018泉州模擬)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，過(guò)點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長(zhǎng)為2.(1)求橢圓E的方程；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由已知，點(diǎn)(，1)在橢圓E上，因此解得a2，b，所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則有1，即|QC|QD|，所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，y0)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于M

12、，N兩點(diǎn)，則M，N的坐標(biāo)分別為(0，)，(0，)，由，有，解得y01或y02，所以若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為(0,2)證明如下：對(duì)任意直線l，均有，其中Q點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，聯(lián)立得(2k21)x24kx20，其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，因此2k，易知點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，y2)，又kQAk，kQBkk，所以kQAkQB，即Q，A，B三點(diǎn)共線，所以，故存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q(0,2)

13、，使得恒成立思維升華 (1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法跟蹤訓(xùn)練5(2018屆珠海摸底)已知橢圓C1，拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是(3，2)，(2，0)，(4，4)，.(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在直線l滿足條件：過(guò)C2的焦點(diǎn)F；與C1交于不同的兩

14、點(diǎn)M，N且滿足？若存在，求出直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)拋物線C2：y22px(p0)，則有2p(x0)，據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知(3，2)，(4，4)在拋物線上，易得，拋物線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為C2：y24x；設(shè)橢圓C1：1(ab0)，把點(diǎn)(2,0)，代入可得a24，b21.所以橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)C2的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1.直線l交橢圓C1于點(diǎn)M，N，0，不滿足題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，并設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y，得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x

15、2，x1x2，y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2k2(x1x2)k2，由，得0，即x1x2y1y20.將代入式，得0，解得k2.經(jīng)檢驗(yàn)，k2都符合題意所以存在直線l滿足條件，且l的方程為2xy20或2xy20.1(2018惠州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，過(guò)點(diǎn)M(1，0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，|MA|MB|，且當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，|AB|.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的取值范圍解(1)由已知e，得，當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，|AB|，橢圓過(guò)點(diǎn)，代入橢圓方程得1，又a2b2c2，聯(lián)立可得a22，b21，橢圓C的方程為y21.(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率

16、為0時(shí)，點(diǎn)A，B分別為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，322或32b0)的離心率e ，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值(1)解因?yàn)閑，所以ac，bc.代入ab3得，c，a2，b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明因?yàn)锽(2,0)，點(diǎn)P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為yk(x2)，代入y21，解得P.直線AD的方程為yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知，解得N.所以MN的斜率為m.則2mkk(定值)6(2018屆廣東六校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形(1)求橢圓C的方程；(2)動(dòng)直線l：mxnyn0(m，nR)交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T.若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)因?yàn)闄E圓C：1(ab0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以ab，所以1，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，代入可得b1.所以a，故所求橢圓的方程為y21.(2)首先求出動(dòng)直線過(guò)點(diǎn).當(dāng)l與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x222，當(dāng)l與y軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為x2