九年級數(shù)學下冊 6.1 勾股定理復習教案 北師大版

1、6.1勾股定理復習教案考試要求：1.掌握勾股定理及其逆定理，掌握直角三角形的性質(zhì).2.體驗勾股定理的探究過程，會用勾股定理解決實際問題.重點：掌握勾股定理及其逆定理.難點：會用勾股定理解決實際問題.教法及學法指導：本節(jié)課是復習勾股定理，借助導學案，幫助學生回顧梳理本考點的知識要點；在小組討論的基礎(chǔ)上，師生共同建構(gòu)本章的知識體系；進一步通過考題研究、來鞏固本章的主要內(nèi)容，達到鞏固基礎(chǔ)、提升能力的目的,在學習過程中要注意勾股定理的運用同時，把握知識點間的聯(lián)系在學習過程中，還應(yīng)注意研究中考的命題方向，夯實學生的基礎(chǔ)，消滅易錯點，確保基礎(chǔ)不丟分,提高訓練的針對性教學準備：教師準備：多媒體課件學生準備：

2、導學案教學過程：一、激趣導入，預習展示【師】同學們還記得這個美麗的圖案嗎？在我們學習什么知識的時候用過它？【生】學習推導勾股定理的時候（異口同聲）.【師】請同學們結(jié)合下列知識網(wǎng)絡(luò)圖對本考點進行簡要回顧.（多媒體展示）直角三角形的知識結(jié)構(gòu)圖直角三角形勾股定理逆定理邊角關(guān)系：三角函數(shù)勾股定理： a2+b2=c2（c是直角）角的關(guān)系：兩銳角之和是90邊與邊的關(guān)系：勾股定理勾股定理逆定理的應(yīng)用勾股定理的廣泛應(yīng)用已知直角三角形的兩邊求第三邊設(shè)計意圖：出示知識結(jié)構(gòu)圖讓學生清晰、形象地了解各知識點間的聯(lián)系同時在此停留時間不宜太長，讓學生有個大概的認識就行考點提要（導學案提前下發(fā)，學生在導學案中填空.）一、勾

3、股定理1.如果直角三角形兩條直角邊長分別為a，b斜邊長為c，那么a，b，c三邊應(yīng)滿足： _.2.勾股數(shù)： 滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)幾組常見勾股數(shù)：（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17；（5）7，24，25； （6）9, 40, 41等勾股定理的應(yīng)用：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊問題.（2）實際生活的運用（比如題組三）.（3）利用勾股定理解決折疊、對稱、旋轉(zhuǎn)問題等.二、勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2，那么這

4、個三角形是_.勾股定理的逆定理應(yīng)用：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1）先確定最長的邊；（2）驗證最長的邊的平方是不是其它兩邊的平方和；（3）若相等,那么這個三角形是直角三角形,最長的邊對的角是直角；若不相等,那么這個三角形就不是直角三角形. 提示：定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a,b,c滿足a2+c2=b2，那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）.區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理.聯(lián)系：勾股

5、定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān).設(shè)計意圖：讓學生進一步鞏固本節(jié)學習的內(nèi)容，把握復習重點，如有遺忘，借用課本或同學間交流進行補充.這樣做既可以節(jié)省課上時間，也能加深學生對知識網(wǎng)絡(luò)的理解實際效果:通過課上展示，學生間相互補充，努力做到語言規(guī)范，準確這樣做既能夠暴露出學生存在的問題（比直接給出答案讓學生對比糾正要好的多），又能使學生感悟到知識的嚴密性，同時也節(jié)省了上課的時間二、題組訓練，夯實基礎(chǔ)（導學案課前完成，課堂矯正）題組一：1.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）A25 B14 C7 D7或252.直角三角形的斜邊比一直角邊長2cm，另一直角

6、邊長為6 cm，則它的斜邊長( )A4 cm B8 cm C10 cm D12 cm3. 等腰三角形的腰長為10,底長為12,則其底邊上的高為( ) A13 B8 C25 D64設(shè)計意圖：本題組的設(shè)計以基礎(chǔ)題目為主，訓練運用勾股定理以及逆定理的基本技能.實際效果：從學生的做題反饋來看，準確率高，很好.題組二：1. 將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù), 得到的三角形是( )A鈍角三角形 B 銳角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形點撥：根據(jù)勾股定理的公式a2+b2=c2可以看出同時擴大相同的倍數(shù)k時，運用勾股定理是邊同時變成倍數(shù)平方倍k2a2+k2b2=k2c2，左右同時除以k2時，利用等

7、式的基本性質(zhì)得到仍是直角三角形.2.如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形ABCD的面積是 ( )A25 B 12.5 C 9 D 8.53.如圖，四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，陰影部分的面積是_.4.如圖，ABC中，C=90，AB垂直平分線交BC于D,若BC=8，AD=5，則AC等于_.設(shè)計意圖：本題組是在三角形和四邊形中運用勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)，并且較第一組練習增加了題目的靈活性（網(wǎng)格問題），同時鍛煉了學生的做題的技巧.實際效果：較第一組練習來看，2、3、4、5題做的很好，第1題有幾個同學出現(xiàn)錯誤.題組三：531.如圖，某樓梯,測得樓梯的長為5米,高

8、3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要_米.點撥：首先明確樓梯鋪設(shè)地毯的展開圖是矩形，其矩形長是樓梯臺階向上的面與豎著的面的長度總和，樓梯臺階向上的面是樓梯底面的長可用勾股定理求出，從而求出地毯的長度.2.如圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛_米.點撥：過矮樹的頂端向高樹那邊作垂線段，得到矩形和直角三角形，這時直角三角形的兩條邊分別是8和5，再用勾股定理求出即可.3.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_cm2.點

9、撥：連續(xù)運用正方形的面積公式與勾股定理來完成.設(shè)計意圖：本題考查矩形、正方形、勾股定理相結(jié)合的綜合性的題目，關(guān)鍵是根據(jù)每個圖形中隱含的等量關(guān)系來找到數(shù)量之間的關(guān)系，從而利用勾股定理來完成.實際效果：盡管是綜合性比較強的題目，學生做題正確率較好.三、典例剖析，深化知識【考點一】勾股定理的逆定理與三角形【例1】( 2012，四川巴中)已知a、b、c是ABC的三邊長,且滿足關(guān)系+|a-b|=0,則ABC的形狀為_.【解析】由關(guān)系+|a-b|=0，得c2-a2-b2=0,即a2+b2= c2，且a-b=0即a=b,ABC是等腰直角三角形. 應(yīng)填等腰直角三角形.【答案】等腰直角三角形【點評】本題考查非負

10、數(shù)的一個性質(zhì): “兩個非負數(shù)之和為零時,這兩個非負數(shù)同時為零.設(shè)計意圖：判斷一個三角形的形狀可分為三種情況：當兩個非負數(shù)或三個非負數(shù)之和為零時，那么這兩個非負數(shù)或三個非負數(shù)同時為零.比如：開算術(shù)平方根、絕對值、平方，同時對因式分解進行綜合訓練.【跟蹤練習1】1三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是( )A 等邊三角形 B 鈍角三角形 C 直角三角形 D 銳角三角形.2已知三角形的三邊長分別為a、b、c,并且滿足a2c2-b2c2=a4-b4則這個三角形是( )A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D以上答案都有可能點撥：a2c2-b2c2=a4-b4得到（a2-b2

11、）c2=（a2+b2）（a2-b2）當a2-b2=0時，此三角形為等腰三角形；a2-b20時，（a2+b2）= c2此三角形為直角三角形，所以都有可能.實際效果：學生會用分解因式的方法找到關(guān)系式，第2題學生出現(xiàn)錯誤較多.【考點二】勾股定理與逆定理ABCD【例2】 如圖，在四邊形ABCD中，AB=12cm,BC=3cm,CD=4cm C=90，（1）求BD的長;（2）當AD為多長時，ABD=90?【解析】（1）在RtBCD中，BC=3,CD=4BD2=BC2+CD2=42+32=25，BD=5(cm) .(2)當AD=13時，ABD=90.AB=12，BD=5，AD=13，AB2+BD2=AD2

12、ABD=90.【點評】本題考查勾股定理和逆定理的相互結(jié)合的應(yīng)用.設(shè)計意圖：本題是勾股定理和逆定理的相互結(jié)合的應(yīng)用，特別是跟蹤練習需要作輔助線構(gòu)成三角形.【跟蹤練習2】CABD3如圖所示的一塊地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積.4如圖，是一個四邊形的邊角料，東東通過測量，獲得了如下數(shù)據(jù)：AB3cm，BC12cm，CD13cm，AD4cm，東東由此認為這個四邊形中A恰好是直角，你認為東東的判斷正確嗎？如果你認為他正確，請說明其中的理由；如果你認為他不正確，那你認為需要什么條件，才可以判斷A是直角？實際效果：學生在做這兩道練習時，做法能夠掌握，效果

13、很好.【考點三】勾股定理與折疊【例3】（2012，荷澤）如圖，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=10,OC=8，在OC邊上取一點D,將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，求D、E兩點的坐標.【解析】（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，在RtABE中，AE=AO=10,AB=8, ,CE=4， E(4，8)在RtDCE,DC2+CE2=DE2,又DE=OD,(8-OD)2+42=OD2, OD=5,D(0,5).【點評】根據(jù)折疊問題及矩形的性質(zhì)，可以利用勾股定理求出線段的長來確定點的坐標.設(shè)計意圖：根

14、據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合折疊中出現(xiàn)的直角三角形的性質(zhì)來完成.【跟蹤練習3】5（2012，武漢）如圖，矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿直線DE折疊，點A恰好落在邊BC的點F處若AE=5，BF=3，則CD的長是（）A7 B8 C9D106如圖，將一張長方形紙片ABCD沿直線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于點E，若AD=8，AB=4，求BED的面積.CD B點撥：由折疊和矩形的性質(zhì)可得BED是等腰三角形即BE=DE，有AD=AE+DE，可換成AE+BE=8，因此在RtBED用勾股定理來完成BE的長度，從而求出面積.實際效果：第5題 效果很好，但是第6題求BED的面積有一部分同學有疑惑

15、.【考點四】勾股定理與對稱【例4】（2012，陜西）如圖，從點A(0，2)發(fā)出的一束光，經(jīng)x軸反射，過點B(4,3)，則這束光從點A到點B所經(jīng)過路徑的長為_【解析】設(shè)這一束光與x軸交與點C，作點B關(guān)于x軸的對稱點B，過B 作BDy軸于點D由反射的性質(zhì)，知A,C,B這三點在同一條直線上再由軸對稱的性質(zhì)知BC=BC.則AC+CB=AC+CB=AB由題意得AD=5,BD=4, 由勾股定理，得AB=所以AC+CB=【答案】.【點評】本題從物理學角度綜合考查了平面直角坐標系中點的坐標應(yīng)用、軸對稱性質(zhì)以及勾股定理等. 設(shè)計意圖：在立體圖形中求線段的長度，往往采用展開圖來完成.【跟蹤練習4】7 如圖，A、B

16、兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？8在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 _cm.【解析】將圓柱展開，【答案】15 【點評】本題考查圓柱的側(cè)面展開為矩形，關(guān)鍵是在矩形上找出A和B兩點的位置，據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果“化曲面為平面”，利用勾股定理解決要注意展開后有一直角邊長是9cm而不是18 cm.實

17、際效果：第8題有難度，學生完成情況不好.【考點五】勾股定理與旋轉(zhuǎn)【例5】 (2012，四川省充) 如圖，四邊形ABCD中，BAD=BCD=90，AB=AD，若四邊形ABCD的面積是24cm2，則AC長是_cm.【解析】過點A作AEBC于點E，AFCD交CD的延長線于點F.則ABEADF，得AE=AF，進一步證明四邊形AECF是正方形，且正方形AECF與四邊形ABCD的面積相等.則所以.【答案】cm.設(shè)計意圖：本題考查了三角形的全等變換、正方形的性質(zhì)以及勾股定理.解題的關(guān)鍵是正確的做出旋轉(zhuǎn)的全等變換，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化成正方形的問題來解決.【跟蹤練習5】9如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的

18、長為6cm，將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15后得到ABC，則圖中陰影部分面積等于_cm2實際效果：通過在圖形中找旋轉(zhuǎn)圖形的不變性，掌握很好.【考點六】勾股定理中的易錯問題【例6】（2012，安徽）在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形，剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2、4、3，則原直角三角形紙片的斜邊長是（ ）A10 B C10或 D10或【解析】考慮兩種情況要分清從斜邊中點向哪個邊沿著垂線段過去裁剪的.解答：如下圖，,故選C設(shè)計意圖：在幾何題沒有給出圖形時，有的同學會忽略掉其中一種情況，錯選A或B；故解決本題最好先畫出圖形，運用數(shù)形

19、結(jié)合和分類討論的數(shù)學思想進行解答，避免出現(xiàn)漏解【跟蹤練習6】10.下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是（ ）A1，2，3 B32，42，52 C D錯解：選（B）正解：因為 ，故選（C）點撥：關(guān)鍵找清較小兩條邊的平方是不是最大的邊的平方11. 在ABC中，A,B,C的對邊分別為，且，則（ ）AA為直角 BC為直角 CB為直角 D不是直角三角形錯解：選（B）正解：選（C）分析：該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為，即，因根據(jù)這一公式進行判斷實際效果：第1題未能徹底區(qū)分勾股定理及其及逆定理，對概念的理解流于表面形式.判斷直角三角形時，應(yīng)將所給數(shù)據(jù)進行平方看是否滿足的形式第2題有的同學就習慣性的認

20、為C就一定表示直角，導致錯誤四、課堂小結(jié)，反思提高本節(jié)課復習了勾股定理和逆定理，這節(jié)課你的收獲有哪些？還有哪些困惑的地方?印象最深的是什么？（生交流）設(shè)計意圖：通過本節(jié)課的交流談一談自己的不足，以增加做題的熟練程度和技巧實際效果：從同學們的相互交流可以看出，勾股定理的運用學生印象比較深，學習的方法靈活多變，總結(jié)比較全面五、當堂達標，反饋矯正1下列每一組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（ ）A3、4、5B6、8、10C、2、D5、12、132如圖，每個小正方形的邊長為1，ABC的三邊a，b，c的大小關(guān)系是（ ）Aacb Babc Ccab Dcby），下列四個說法：，.其中說法正確的是 （