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文檔簡介

1、1 平面曲線的方程,解析幾何 Chapter 2,一、曲線的方程,二、曲線的參數(shù)方程,三、常見曲線的參數(shù)方程,Contents,一、曲線的方程,定義1 當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后，如果一個(gè)方程與一條曲線之 間有著關(guān)系： 滿足方程的 必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)； 曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足這個(gè)方程， 那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這個(gè) 方程的圖形。,概括而言，曲線上的點(diǎn)與方程之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,例1 求圓心在原點(diǎn)，半徑為R 的圓的方程,例2 已知兩點(diǎn) 和 ，求滿足條件 的動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程,二、曲線參數(shù)的方程,定義2 若取 的一切可能取值 由 表示的向徑 的終點(diǎn)總在一條曲線上 在這

2、條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這向徑可由 的某一值 通過 完全決定 那么就把 叫做曲線的向量式參數(shù)方程， 其中 為參數(shù)。,其坐標(biāo)式參數(shù)方程為,例3 一個(gè)圓在一直線上無滑動(dòng)地滾動(dòng)，求圓周上一定點(diǎn)的軌跡,該定點(diǎn)的軌跡為旋輪線或擺線（cycloid）,三、常見曲線的參數(shù)方程,(1) 一個(gè)半徑為r 的小圓在半徑為R 的大圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)，小圓周上一 定點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為內(nèi)擺線(hypocycloid）,例4 已知大圓半徑為a ，小圓半徑為b，設(shè)大圓不動(dòng)，而小圓在大圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)，求動(dòng)圓周上某一定點(diǎn)P 的軌跡方程,（a4b）四尖點(diǎn)星形線（astroid）,圓的內(nèi)擺線,（2）一個(gè)半徑為r的小圓在半徑為R的大圓外無滑動(dòng)地滾動(dòng)，小圓周上一個(gè)定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為外擺線（epicycloid）,其參數(shù)方程為,特別當(dāng)Rr時(shí)可以得到心臟線（cardioid）,其參數(shù)方程為,（3）把線繞在一個(gè)固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，則線頭的軌跡所形成的曲線叫做圓的漸伸線或切展線（involute）,其坐標(biāo)式參數(shù)方程為,（4）橢圓的參數(shù)方程 設(shè)橢圓的方程為,第一種

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