2017年考研數(shù)學(xué)二試題及答案解析

1、2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）若函數(shù)在處連續(xù)，則（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】在處連續(xù)選A.（2）設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)滿足且，則（ ）【答案】B【解析】為偶函數(shù)時滿足題設(shè)條件，此時，排除C,D.取滿足條件，則，選B.（3）設(shè)數(shù)列收斂，則（ ）當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時，【答案】D【解析】特值法：（A）取，有，A錯；取，排除B,C.所以選D.（4）微分方程的特解可設(shè)為（A） （B）（C） （D）【答案】A【解析】特征方程為：

2、故特解為：選C.（5）設(shè)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的，都有，則（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于的單調(diào)遞減函數(shù)，所以有，故答案選D.（6）甲乙兩人賽跑，計(jì)時開始時，甲在乙前方10（單位：m）處，圖中實(shí)線表示甲的速度曲線（單位：），虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3，計(jì)時開始后乙追上甲的時刻記為（單位：s），則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】從0到這段時間內(nèi)甲乙的位移分別為則乙要追上甲，則，當(dāng)時滿足，故選C.（7）設(shè)為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】 B【解析】,

3、因此B正確。（8）設(shè)矩陣,則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】由可知A的特征值為2,2,1,因?yàn)?，A可相似對角化，即由可知B特征值為2,2,1.因?yàn)?，B不可相似對角化，顯然C可相似對角化，但B不相似于C.二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(9) 曲線的斜漸近線方程為_【答案】【解析】 (10) 設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，則_【答案】【解析】 (11) _【答案】1【解析】(12) 設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則【答案】【解析】故，因此，即，再由，可得【答案】【解析】（13）【答案】.【解析】交換積分次序：.（14）設(shè)矩陣的一個特征向量

4、為，則【答案】-1【解析】設(shè)，由題設(shè)知，故故.三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求極限【答案】【解析】，令，則有（16）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，【答案】【解析】結(jié)論：（17）（本題滿分10分）求【答案】【解析】（18）（本題滿分10分）已知函數(shù)由方程確定，求的極值【答案】極大值為，極小值為【解析】兩邊求導(dǎo)得： （1）令得對（1）式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得 （2）將代入原題給的等式中，得，將代入（2）得將代入（2）得故為極大值點(diǎn)，；為極小值點(diǎn)，（19）（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上

5、具有2階導(dǎo)數(shù)，且，證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實(shí)根；方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個不同實(shí)根。【答案】【解析】（I）二階導(dǎo)數(shù)，解：1）由于，根據(jù)極限的保號性得有，即進(jìn)而又由于二階可導(dǎo)，所以在上必連續(xù)那么在上連續(xù)，由根據(jù)零點(diǎn)定理得：至少存在一點(diǎn)，使，即得證（II）由（1）可知，令，則由羅爾定理，則，對在分別使用羅爾定理：且，使得，即在至少有兩個不同實(shí)根。得證。（20）（本題滿分11分）已知平面區(qū)域計(jì)算二重積分。【答案】【解析】（21）（本題滿分11分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，且，點(diǎn)是曲線L: 上任意一點(diǎn)，L在點(diǎn)P處的切線與y軸相交于點(diǎn)，法線與x軸相交于點(diǎn)，若，求L上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程。【答案】【解析】設(shè)

6、的切線為，令得，法線,令得。由得，即。令，則，按照齊次微分方程的解法不難解出,（22）（本題滿分11分）設(shè)3階矩陣有3個不同的特征值，且。證明：若，求方程組的通解。【答案】（I）略；（II）通解為【解析】（I）證明：由可得，即線性相關(guān)，因此，即A的特征值必有0。又因?yàn)锳有三個不同的特征值，則三個特征值中只有1個0，另外兩個非0.且由于A必可相似對角化，則可設(shè)其對角矩陣為（II）由（1），知，即的基礎(chǔ)解系只有1個解向量，由可得，則的基礎(chǔ)解系為，又，即，則的一個特解為，綜上，的通解為（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，求的值及一個正交矩陣.【答案】【解析】，其中由于經(jīng)正交變換后，得到的標(biāo)準(zhǔn)形為，故，將代入，滿足，因此符合題意，此時，則，由，可得A的屬于特征值-3的特征向量為；由，可得A的屬于特征值6的特征向量為由，可得A的屬于特征值0的特征向量為令，則，由于彼此正交，故只需單位化即可：，則，如果想要了解更多，