《微積分一》導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則ppt課件.ppt

1、一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),3.3 導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則,五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,八、綜合舉例,七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,如果u(x)、v(x)都是x的可導(dǎo)函數(shù) 則它們的和、差、積、商(分母不為零時(shí))也是x的可導(dǎo)函數(shù) 并且,u(x)v(x)u(x)v(x),u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x),特別地 cu(x)cu(x),公式的推廣,(u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un,二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)函

2、數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處有不等于0的導(dǎo)數(shù)f (x) 并且其反函數(shù)xf 1(y)在相應(yīng)點(diǎn)處連續(xù) 則f 1(y)存在 并且,簡要證明,這是因?yàn)?三、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1 常數(shù)的導(dǎo)數(shù),(c)0,這是因?yàn)?1 (c)0,2 冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這是因?yàn)?1 (c)0,3 指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(ax)axln a,(ex)ex,這是因?yàn)?4 對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(sin x)cos x,這是因?yàn)?1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,5 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這是因?yàn)?1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,1 (c)0,

3、3 (ax)axln a,(ex)ex,6 反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這是因?yàn)?函數(shù) yarcsinx與xsin y互為反函數(shù) 所以由反函數(shù)的求導(dǎo)公式得,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x,5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x,(secx)secxtanx (cscx)cscxcotx,1 (c)0,3 (ax)axln a,(ex)ex,基本導(dǎo)數(shù)公式,課前復(fù)習(xí),1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義？切線方程？,2. 可導(dǎo)與連續(xù)的

4、關(guān)系？,反之不成立！,例1.計(jì)算下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,0,0,1）,4）,5）,6）,7）,8）,2）,3）,_,),(,2,=,e,解：,解：,例2.,解：,解：,解：,解：,解：,?,四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)u(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo) yf(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為,簡要證明,推廣,設(shè)yf(u) u(v) v(x) 則復(fù)合函數(shù)y (x)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)是,四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)u(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo) yf(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為,因此,因此,四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若yf(x) u(x) 則,解,設(shè)yln u usin x

5、則,例11 求函數(shù)ylnsin x的導(dǎo)數(shù),解,例12 求函數(shù)yarcsin(3x2)的導(dǎo)數(shù),解,y(ax),例10 求函數(shù)yax的導(dǎo)數(shù),axln a,axln a(x),解,解,練 習(xí),五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),顯函數(shù),隱函數(shù),解,例15 求由方程y22px所確定的隱函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù),將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo) 得,2yy2p,解出y即得,解,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo) 得,例16 求由方程yxln y所確定的隱函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù),解出y即得,解,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo) 得,解出y 得,例17 求由方程e y xy所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù),e yy yxy,解,例18 由方程x2xyy24確定y是x的函數(shù)

6、 求其曲線 上點(diǎn)(2, 2)處的切線方程,將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo) 得,2xyxy2yy0,解出y即得,所求切線的斜率為 ky|x2,y21 于是所求切線為 y(2)1(x2) 即yx4,求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,1）,2）,3）,練 習(xí),六、取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,將函數(shù)yf(x)兩邊取對(duì)數(shù) 轉(zhuǎn)化為隱函數(shù)求導(dǎo) 這種 方法稱之為 “取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”,解,例19 求函數(shù)yxx的導(dǎo)數(shù),法一.,yxxexln x,xx(ln x1),exln x(ln x1),將yxx兩邊取對(duì)數(shù),ln yxln x,兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù) 得,于是得 yy(ln x1)xx(ln x1),法二.,解,先在兩邊取對(duì)數(shù) 得,上式兩邊對(duì)x求導(dǎo) 得

7、,例20.,思考：具有什么特征的顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法較好？,1. 冪指函數(shù) 2. 多個(gè)因子相乘除的函數(shù),練 習(xí),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 適用的函數(shù)類型？ 方法？,課前復(fù)習(xí),隱函數(shù)求導(dǎo)法 （1）方法？ （2）特別要注意的地方？,七、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),設(shè)x(t)有連續(xù)反函數(shù)t1(x) 又(t)與(t)存在 且(t) 0 則：,解：,解：,例21.,練 習(xí),八、綜合舉例,例22 y3xx333xx 求y,證,所以 y(a)y(a),例23.,例24 已知f(u)可導(dǎo) 求f (ln x) f (xa)n及f (xa)n,f (xa)n,f (xa)nn(xa)n1(xa),n(xa)n1f (xa)n,f (xa)n(xa)n,f (xa)n,nf (xa)n1f (xa),nf (xa)n1f (xa)(xa),nf (xa)n1f (xa),例25.,解,當(dāng)x0時(shí),當(dāng)0 x1時(shí),f (x)1,f (x)2,在x0處f(x)不連續(xù) 故f