高量15-時間平移和時間反演.ppt

1、1,21 時間平移和時間反演,21-1 時間平移,、量子力學中的時空觀,在量子力學中，系統(tǒng)或粒子的空間坐標是物理量，有厄米算符與之對應，有本征值和本征矢量，但是時間卻不是物理量，沒有算符與之對應，它在理論中的地位只是一個實數(shù)參數(shù)，所以系統(tǒng)的哈密頓量在時間變換方面的不變性或?qū)ΨQ性，與對空間變換的不變性是不完全一樣的。,2,二、時間平移操作以及對態(tài)函數(shù)和算符的作用,在位置表象中,時間平移算符及對態(tài)函數(shù)的作用,設系統(tǒng)處于某一含時態(tài) 中，其態(tài)函數(shù)滿足Schrdinger方程,態(tài)的時間平移態(tài) 是一個運動變化完全與 相同，但全面推遲時間 發(fā)生的態(tài)，即,3,定義 為作用于時間參量上的時間平移操作，即,定義

2、為作用于時間函數(shù)上的時間平移算符，這是一個函數(shù)空間上的幺正算符，其對函數(shù)的作用可寫為,2. 時間平移算符對其他算符的作用,Hilbert空間中的算符 的時間平移 為,4,不顯含時間的算符不受時間平移的影響，如,即,此式一般來說與原來Schrdinger方程不同，因為,不一定與 相同，因此 不一定是系統(tǒng)一個可能實現(xiàn)的狀態(tài)。,5,三、哈密頓具有時間平移對稱性的情況,成立，則Schrdinger方程任何狀態(tài)的時間平移態(tài)也是系統(tǒng),的一個可能的狀態(tài)，,哈密頓具有時間平移的對稱性即是要求它不明顯依賴于時間，不顯含時間的哈密頓本身是一個守恒量，因此說：,系統(tǒng)的哈密頓如果具有時間平移的不變性,則導致系統(tǒng)的能量

3、守恒。,6,注意：時間平移與時間演化是兩個不同的概念。波函數(shù)經(jīng)時間平移后不一定再滿足Schrdinger方程，而時間演化算符作用后的波函數(shù)要服從Schrdinger方程。,時間平移算符：,( 不顯含時間）,演化算符：,所以：,7,21-2 時間反演,一、態(tài)函數(shù)的時間反演變換,1時間反演算符,設系統(tǒng)的 為實算符（不含虛數(shù)），且不含時，無自旋。系統(tǒng)的態(tài)滿足Schrdinger方程：,t換成-t：,兩邊取復共軛：,8,令,則 為時間反演態(tài)， 稱為時間反演算符。每一個含時態(tài)都有一個時間反演態(tài)與之對應，當哈密頓在時間反演下不變時，時間反演態(tài)與原狀態(tài)滿足相同的Schrdinger方程。,滿足下列條件：,9

4、,的時間反演是,所以，,10,的二次式，則有,此時該系統(tǒng)（及其哈密頓）具有時間反演不變性或時間反演對稱性。這時系統(tǒng)的每一個含時態(tài)的時間反演態(tài)也是系統(tǒng)的一個可能實現(xiàn)的狀態(tài)。,11,在經(jīng)典力學中，若單粒子所受的外力 只是位置的函數(shù)而與速度無關，則其運動方程滿足牛頓第二定律，即,2. 時間反演態(tài),t 換成-t：,令粒子的時間反演態(tài)為,12,反演態(tài)的物理圖象：,當粒子從初始態(tài) 經(jīng)過 時間運動到 點，動量為 時，則其時間反演態(tài)如以 為初始態(tài)，經(jīng)過時間 后，粒子將按原路徑回到 ，而那時動量為 ，情況與將原過程拍成電影倒過來放映一樣。,13,式中,時間反演態(tài):,可見：,14,滿足原Schrdinger方程，

5、但不一定等于原過程的倒放。,其原因是： 經(jīng)典力學只涉及實數(shù)，而量子力學涉及復數(shù)； 量子力學中有狀態(tài)疊加原理； 與 之間有較為復雜的關系。,15,3. 時間反演算符的數(shù)學性質(zhì),無自旋系統(tǒng)的時間反演算符可以寫成,不尋常的數(shù)學性質(zhì)：,它雖然滿足,但是,16,因此，時間反演算符是反幺正算符。,17,（3）由于不存在厄米共軛，時間反演算符不是厄米算符，所以沒有物理量與之對應，沒有守恒律與之對應,4. Hilbert空間中的時間反演算符,（1）反線性算符對左右矢的作用：,對線性算符，,對反線性算符，,?=,例如：可以設,則對反線性算符,，有,18,，且有,那么必須要求,不符合矢量的任意性，所以對反線性算符

6、，,所以對反線性算符要分別表示：,和,19,（2）時間反演算符對態(tài)矢量的作用：,在Hilbert空間中，無自旋系統(tǒng)的時間反演算符,對右矢的作用：,利用：,在Hilbert空間中仍有,仍可寫成,左矢形式,其中,20,內(nèi)積,（3）Hilbert空間中算符之間的關系,定義一個符號“*”：,用這個符號可以把,寫成,所以,21,則,以上關系只有處于左右矢之間時才有意義。由此可見反幺正算符與幺正算符的異同之處。,在Hilbert空間中，位置算符，動量算符和軌道角動量算符的時間反演變換為,22,三、自旋1/2粒子系統(tǒng)的時間反演算符,S是粒子的自旋算符。令,其中 ,23,才能使,取,即可,時間反演算符 為,滿

7、足,24,四、哈密頓本征函數(shù)的時間反演態(tài),在時間反演下不變，有時可以討論哈密頓本征函數(shù)的時間反演。如果態(tài)不含時，時間反演實際上是 起作,用取復共軛。,得,可見，當哈密頓量具有時間反演不變性時，它的本征函數(shù)的時間反演仍是其本征函數(shù)，而本征值不變。,25,21-3 實表示和復表示,介紹了如何判斷他們之間的關系屬于哪種類型。,主要內(nèi)容：討論了一個空間對稱變換群Q的d 維表示矩陣D(Q)與其復共軛表示D*(Q)之間的關系,并重點,、變換算符的矩陣表示,設D(Q)是群Q的一組幺正的不可約表示，其基函數(shù)為,其中n是一個給定的數(shù)，i=1,2,3,d,26,兩邊取復共軛，得,在上式中，,所以,因此，空間對稱變

8、換中的平移，轉(zhuǎn)動和反演算符都滿足,27,例如：,所以有,上式表明：矩陣元為,的一組矩陣,也是群,的一組幺正的不可約表示，,其基函數(shù)是,28,類型1：對所有的 ， 全是實矩陣，,二、表示矩陣的分類,或者雖然不全是實矩陣，但與一個實表示等價，,這種表示稱為實表示；,這時可以說 是實質(zhì)上的實表示。,29,類型2.,這種表示稱之為贗實表示。,類型3.,30,21-4 時間反演引起的附加簡并,、附加簡并,的一組本征函數(shù)（共d 個）是其對稱性群Q的,d 維幺正不可約表示D(Q)的基函數(shù),31,將證明: 這一能級的簡并度只有d 和2d 兩種可能。,可以發(fā)生后一種情況，,這時時間反演引起了多一倍的附加簡并。,

9、32,附加簡并的解釋:,如果這些時間反演態(tài)都在原來的表示空間之內(nèi)，則能級E的簡并度仍為d。,如果所有的時間反演態(tài)都在原來的表示空間之外，,又形成一個新的d維空間，這個能級的簡并度是2d。,33,二、結(jié)論,三、例子,對于沒有自旋的系統(tǒng)，當表示D(Q)屬于類型1時不發(fā)生附加簡并，而當表示D(Q)屬于類型2或類型3時，則發(fā)生附加簡并。,1.一維自由粒子：,哈密頓具有平移不變性。,34,Hilbert空間(函數(shù)空間)中的平移算符,及其作用為,一維平移群,它有無窮多個不可約表示，都是一維的，其形式取,是一個單參量的連續(xù)Abel群，,（k = 實數(shù)）,35,所以有附加簡并，每一能級的簡并度為2。,36,2堿金屬原子,具有空間轉(zhuǎn)動