第六章樣本及抽樣分布.ppt

1、基本概念 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 統(tǒng)計(jì)量及其分布 三個(gè)常用分布 抽樣分布定理 典型例題,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),現(xiàn)實(shí)中往往只允許我們對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行次數(shù)不多的觀察試驗(yàn)，即從局部觀察資料推斷總體的規(guī)律.,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對(duì)所研究的問題, 盡可能地作出精確而可靠的結(jié)論.,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),它們構(gòu)成了統(tǒng)計(jì)推斷的兩種基本形式.這兩種推斷滲透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的每個(gè)分支.,現(xiàn)實(shí)世界中存在著形形色色的數(shù)據(jù),分析這些數(shù)據(jù)需要多種多樣的方法.,因此,數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方法和支持這些方法的相應(yīng)理論是相當(dāng)豐富的.概括起來可以歸納成兩大類:,參數(shù)估計(jì)根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對(duì)分布的

2、未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì).,假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)數(shù)據(jù),用一些方法對(duì)分布的未知 參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn).,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),總體:研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的全部可能的觀察值,某學(xué)校男生的身高的全體一個(gè)總體， 每個(gè)男生的身高是一個(gè)個(gè)體。,某工廠生產(chǎn)的燈泡的壽命是一個(gè)總體， 每一個(gè)燈泡的壽命是一個(gè)個(gè)體；,個(gè)體：每一個(gè)可能觀察值為個(gè)體。,容量：總體所包含的個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為總體的容量,有限總體：容量有限的稱為有限總體,無限總體：容量無限的稱為無 限總體,5.1 基本概念,6.1 基本概念,樣本：被抽取的部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本,總體一般被看作隨機(jī)變量,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),簡單隨機(jī)樣本: 若n個(gè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且具

3、有相同的概率分布 ，則稱 是來自總體的一個(gè)容量為n的簡單隨機(jī)樣本，簡稱為樣本。,容量為n的樣本 是一個(gè)n維隨機(jī)變量，記 為 的一次觀察值則稱 為樣本的一次觀察值。,若設(shè)X的概率密度為f，則的聯(lián)合概率密度為：,6.1 基本概念,6.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),設(shè)有總體X的n個(gè)獨(dú)立觀察值，按大小順序可排成,若 ，則不大于X的觀察值的頻率為 ， 那么，函數(shù),表示在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件 的頻率。我們稱 為樣本分布函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。,6.2 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù),對(duì)于經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 有如下定理：,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),一. 統(tǒng)計(jì)量的概念,二.常用統(tǒng)計(jì)量,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),6.3 統(tǒng)計(jì)量,一. 統(tǒng)計(jì)量的概念,x

4、1,x2, xn是相應(yīng)于樣本X1,X2, Xn的樣本值,則稱g(x1,x2, xn)是g(X1,X2, Xn)的觀察值。,注：統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量。,1.,6.3 統(tǒng)計(jì)量,思考？,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),二. 常用統(tǒng)計(jì)量,樣本均值,樣本方差,它反映了總體均值 的信息,它反映了總體方差 的信息,6.3 統(tǒng)計(jì)量,樣本k階原點(diǎn)矩,樣本k階中心矩,k=1,2,它反映了總體k 階矩 的信息,它反映了總體k 階 中心矩的信息,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),它們的觀察值分別為：,6.3 統(tǒng)計(jì)量,說明,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),那么,2.,3.,1.,記,4.,證明1.,證明2.,6.4 抽樣分布,3.與4.的結(jié)論

5、由大數(shù)定律即可得。,所以,三個(gè)常用分布 抽樣分布定理,6.4 三個(gè)常用分布,統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。一般情況下，當(dāng)總體分布已知時(shí)，求統(tǒng)計(jì)量的分布是很困難的。然而，當(dāng)總體服從正態(tài)分布時(shí)，某些統(tǒng)計(jì)量的分布比較容易求得。,6.4 抽樣分布,X1,X2,Xn 是來自總體N(0,1)的樣本,則稱統(tǒng)計(jì)量,服從自由度為n的2分布.,（一） 2分布,記為2 2(n).,分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布.,1. 定義及概率密度,6.4 抽樣分布,一、三個(gè)常用分布,分布的密度函數(shù)為,來定義.,其中伽瑪函數(shù) 通過積分,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),2分布的密度函數(shù)的圖形如右圖.,6.4 抽樣分布,(2) 設(shè) 且X1

6、,X2相互獨(dú)立，則,分布的性質(zhì),2.,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),(1) 期望和方差,6.4 抽樣分布,證明（1）,4. 下分位點(diǎn),第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),（二） t分布,設(shè) X N(0,1), Y 2(n), 且X,Y相互獨(dú)立,稱統(tǒng)計(jì)量,服從自由度為n的t分布.記為 t t(n).,T的密度函數(shù)為：,1. 定義及概率密度,6.4 抽樣分布,當(dāng)n充分大時(shí)，其圖形類似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.,t分布的密度函數(shù)關(guān)于x=0對(duì)稱，且,當(dāng)n充分大時(shí)，t 分布近似N (0,1)分布. 但對(duì)于較小的n，t分布與N (0,1)分布相差很大.,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),2. 下分位點(diǎn),6.4 抽樣分布,（三）F分布,設(shè) U 2(n1), V 2(n2), 且U,V相互獨(dú)立,服從自由度為(n1,n2)的F分布.記為 F F (n1,n2).,1.定義,稱統(tǒng)計(jì)量,第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),性質(zhì)：,2. 下分位點(diǎn),6.4 抽樣分布,分別為樣本均值與 樣本方差，則,1.,2. 與 相互獨(dú)立;,3.,與,6.4 抽樣分布,6.5 抽樣分布定理,證明 由定理4知,所以,又,6.4 抽樣分布,6.4 抽樣分布,其中,6.4 抽樣分布,證明 由定理?xiàng)l件有,所以,6.4 抽樣分布,又因,并且它們是相互獨(dú)立的，故由 分布的可加性可知,從而由獨(dú)立性條件及 t 分布的定義有,即,6.4 抽樣分布,