線性代數(shù)非齊次方程求解.ppt

1、3.4 線性方程組解的結(jié)構(gòu),一、齊次線性方程組,二、非齊次線性方程組,返回,一、齊次線性方程組,即 AX = 0,平凡解：X = 0(零解),設(shè) A =(1, 2, , n), 則下列命題等價(jià)：,1o 1, 2, , n線性相關(guān);,2o AX = 0有非零解;,1. AX=0 解的判定條件,（1）若R(A) n , 則AX=0有非零解；,（2）若R(A)n , 則AX=0只有零解.,注：若A為方陣，則 （1）若det(A) = 0, 則AX=0有非零解； （2）若det(A) 0, 則AX=0只有零解.,2. 解的性質(zhì)（解向量）,（1）AX = 0 的兩個(gè)解向量的和仍為AX = 0的解.,（2

2、）AX = 0 的一個(gè)解向量的常數(shù)倍仍為AX = 0的解.,（3）AX = 0 的解向量的線性組合仍為AX = 0的解.,W =XRn | AX = 0,為Rn的子空間,（1）定義：W 的一組基.,1o 1, 2, , s 線性無關(guān);,則稱1, 2, , s為AX = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系.,2o AX = 0的任一解向量均可由1, 2, , s 線性表出,定理1 設(shè)R(A) = r n, 則AX = 0有基礎(chǔ)解系且所含向量個(gè)數(shù)為n - r, 即dimW = n - r, 這里n為方程組未知數(shù)個(gè)數(shù).（具體舉例說明）,3. 解空間,4. 基礎(chǔ)解系（最大無關(guān)組）,（2）構(gòu)成條件：,（3）求法（含在證

3、明中）：,例1 求方程組的基礎(chǔ)解系,解:,(2) 得同解方程組,(x3, x4為自由未知量),(3) 求基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）,（求得兩個(gè)解）,（證明這樣的解構(gòu)成基礎(chǔ)解系）,設(shè)1, 2, , n - r 為AX = 0 的一個(gè)基解系，則 AX = 0 的解， = k11+ k22+ + kn-rn-r , k1, k2, , kn-r R.,（1） AX = 0 的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量個(gè)數(shù)必為 n (未知數(shù)個(gè)數(shù)) - R(A).,AX = 0 的 通解,（2） 若AX = 0有非零解，則必有無窮多個(gè)解.,5. 通解,注：,6. AX = 0的解法（四步）,（2）寫出

4、同解方程組（基本未知量、自由未知量）,（3）求基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）,（4）寫出通解,例1 求方程組的通解,解,(2) 得同解方程組,(x2, x4為自由未知量),(3) 基礎(chǔ)解系為,(4) 通解為,例2 解,解,r(A) =3 = n,只有零解 X = 0,例3 解,解,得同解方程組,(x3為自由未知量),基礎(chǔ)解系為,方程組通解為,例4 證明：與AX = 0基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系.,證 兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)的向量組所含向量個(gè)數(shù)相等.,設(shè)1, 2, , s 是AX = 0基礎(chǔ)解系， 1, 2, , s與之等價(jià).,1, 2, , s可由1, 2, , s 線性表

5、出，所以是AX = 0的解；,AX = 0的任一解X 可由1, 2, , s 線性表出，,故， 1, 2, , s 是AX = 0的基礎(chǔ)解系.,又1, 2, , s可由1, 2, , s線性表出，所以X 可由1, 2, , s 線性表出；,例5 設(shè)n階矩陣A, B滿足AB = O, 證明： R(A)+R(B) n.,證,設(shè) B = (b1, , bn), 則,AB = A(b1, , bn) = (A b1 , , Abn) =O,A bi = 0, i = 1, , n.,bi ( i = 1, , n)為AX = 0的解，所以可由基礎(chǔ)解系1, 2, , n-r(r = R(A)線性表出.,

6、所以, R( B) =秩 (b1, , bn) 秩(1, 2, , n-r)= n - R(A).,即 R(A)+R(B) n.,第二章 2.5,例5 設(shè)A為n階矩陣(n2)，證明,證 若R(A)=n:, R(A) n-1:,detA0，,A中所有n-1階子式均為零，,二、非齊次線性方程組,即 AX = b,設(shè) A =(1, 2, , n), 即,x11 + x22 + +xnn = b,AX = b 有解, b可由1, 2, , n線性表出,(AX = 0稱為AX = b的導(dǎo)出組),1. AX = b 的導(dǎo)出組,2. AX = b 解的判定,（1）若 , AX = b 無解,（2）若 , A

7、X = b 有解，且,當(dāng) ，AX = b 唯一解； 當(dāng) ，AX = b 無窮解.,2. 解的性質(zhì)：,性質(zhì)1 設(shè)1 , 2 為AX = b 的解, 則1 - 2為其導(dǎo)出組AX = 0的解.,證,A(1 - 2 ) = A1 - A2 = b b = 0,所以， 1 - 2為AX = 0的解.,性質(zhì)2 設(shè) 為AX = b 的解, 為AX = 0的解，則 + 為AX = b 的解.,證,A( + ) = A + A = b + 0 = b,所以， + 為AX = b 的解.,AX = b 的特解： AX = b 的任一解.,性質(zhì)3 設(shè)0 為AX = b 的一個(gè)特解, 則AX = b 的任一解 可表為

8、 = 0 + , (為AX = 0 的一個(gè)解),對(duì)于AX = b 的任一個(gè)特解0, 當(dāng) 取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)， = 0 + 就給出AX = b 的全部解.,性質(zhì)3的證明, = 0 + ( - 0 ),為了求AX = b 的通解（全部解），只需求其一個(gè)特解0, 以及導(dǎo)出組的全部解即可：,設(shè)0為AX = b 的一個(gè)特解， 1, 2, , n-r為其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則AX = b 的通解為,X = 0 + k11+ + kn-rn-r , k1 , , kn-rR,3. AX = b 的通解,（2）寫出同解方程組（基本未知量、自由未知量）,（4）求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系（對(duì)自由未知量取值）,（3）求

9、特解（自由未知量取0）,（5）寫出通解,4. AX = b解的求法（五步）,例6 解,解:,有無窮多解,（2）得同解方程組,(3)求非齊次的特解:,取x3=0, 得 0 =(3,2,0)T,(4)求導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系:,取x3=1, 得 =(1, -2, 1)T,（5）AX = b 的通解為： X = 0 + k , kR,例7 解,解,無解,例8 解,解,(1) = 1時(shí)，,有無窮多解,得同解方程組 x1 = 1- x2 x3,導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系： 1 =(-1, 1, 0)T, 2 =(-1, 0, 1)T,非齊次特解： 0 =(1, 0, 0)T,原方程組通解：X = 0 + k1 1 + k2 2