高中數(shù)學 第四章 定積分 4.1 定積分的概念 定積分的概念教案 北師大版選修

1、曲邊梯形的面積一、教學目標：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法。二、教學重難點：重點：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近（取極限）難點：對過程中所包含的基本的微積分 “以直代曲”的思想的理解三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學過程1、創(chuàng)設(shè)情景我們學過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學研究和實際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將學習定積分的基本概念以及定積分的簡單應(yīng)用，初步體會定積分的思想及其應(yīng)用價值。一個概念：如果函數(shù)在某一區(qū)間上的

2、圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)（不加說明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)）2、新課探析問題：如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計算這個曲邊梯形的面積？ 例題：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。 思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應(yīng)用xxx1 x1 xy1 xyy 把區(qū)間分成許多個小區(qū)間，進而把區(qū)

3、邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積解：（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：， 記第個區(qū)間為，其長度為分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ，顯然，（2）近似代替記，如圖所示，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為

4、它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 （3）求和：由，上圖中陰影部分的面積為=，從而得到的近似值 （4）取極限：分別將區(qū)間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有從數(shù)值上的變化趨勢： 3求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割在區(qū)間中任意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限。說明：1歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近2最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值練習：課本P76練習題：設(shè)S表示由曲線，