高中數(shù)學(xué)必修系列：9.9棱柱與棱錐(第五課時(shí))

1、【鼎尖教案】人教版高中數(shù)學(xué)必修系列：9.9棱柱與棱錐(第五課時(shí))教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.棱錐及其底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)、高、對(duì)角面.2.棱錐的表示方法、分類.3.棱錐的截面性質(zhì)定理.4.正棱錐的性質(zhì)及其各元素間的關(guān)系式.（二）能力訓(xùn)練要求1.使學(xué)生了解棱錐及其底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)、高、對(duì)角面的概念.2.使學(xué)生掌握一般棱錐與正棱錐的區(qū)別與聯(lián)系.3.使學(xué)生掌握棱錐的截面性質(zhì)定理.4.使學(xué)生掌握正棱錐的性質(zhì)及各元素間的關(guān)系式.（三）德育滲透目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生善于通過(guò)觀察分析實(shí)物形狀到歸納其性質(zhì)的能力.2.提高學(xué)生對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的能力.3.培養(yǎng)學(xué)生“理論源于實(shí)踐，用于實(shí)踐”的觀點(diǎn).教學(xué)

2、重點(diǎn)1.棱錐的截面性質(zhì)定理.2.正棱錐的性質(zhì).教學(xué)難點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生善于比較，從比較中發(fā)現(xiàn)事物與事物的區(qū)別，將比較法作為一種重要的學(xué)習(xí) 方法.教學(xué)方法指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法在學(xué)生已經(jīng)有了對(duì)生活中頂尖底平帶棱的錐體的實(shí)物形狀的感性認(rèn)識(shí)后，在前面學(xué)習(xí)棱柱的基礎(chǔ)上，通過(guò)學(xué)生自己觀察、歸納出能反映棱錐的特征定義.在教師的適當(dāng)指導(dǎo)下，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)棱錐的性質(zhì)并利用空間直線和平面相應(yīng)的位置關(guān)系及平面幾何的知識(shí),對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行推理論證，從而做到既對(duì)前面知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固，又有助于學(xué)生對(duì)棱錐性質(zhì)的更深刻的認(rèn)識(shí)，為學(xué)生能夠?qū)忮F的有關(guān)問(wèn)題處理自如奠定基礎(chǔ).教具準(zhǔn)備多媒體課件一個(gè)：作P47圖9-71，通過(guò)它直觀形象的演示，幫助學(xué)生深刻理

3、解和掌握棱錐的定義及其性質(zhì).投影片三張.第一張：課本P47圖9-71（記作9.8.1 A)第二張：課本P49棱錐的截面性質(zhì)定理（記作9.8.1 B）第三張：課本P48例1（記作9.8.1 C)教學(xué)過(guò)程.課題導(dǎo)入師前面，我們對(duì)棱柱的定義和性質(zhì)已有一定的研究，今天我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)與棱柱既有聯(lián)系又有區(qū)別的另一種幾何體棱錐，希望大家用類比的思想、比較的方法去學(xué)習(xí)這一節(jié)的內(nèi)容.講授新課師生活中我們所見(jiàn)到的工人搭的帳篷，還有木塔等都給我們以頂尖底平帶棱的錐體形象（打開(kāi)多媒體課件與投影片9.8.1 A),觀察圖形具有哪些特點(diǎn).（學(xué)生觀察、思考）生有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形.師好.那么能說(shuō)有一個(gè)面是多

4、邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐嗎？生甲不能.例如圖中的幾何體滿足以上兩個(gè)條件，但它不是棱錐.師很好！對(duì)于一個(gè)定義即對(duì)一種事物的本質(zhì)特征的描述，從教學(xué)角度來(lái)講，要求前后條件既充分又必要，例如,對(duì)于“有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐”,顯然前者是后者的必要條件而非充分條件.故不能作為棱錐的定義.那么該如何用確切而簡(jiǎn)要的語(yǔ)言文字表述棱錐的定義呢？生有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體叫棱錐.師下面請(qǐng)大家互相用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)圖中（9.8.1 A)棱錐的底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)、高、對(duì)角面，并對(duì)其文字語(yǔ)言加以推敲理解.（學(xué)生互相提問(wèn)學(xué)習(xí)，教師查看）師如圖中

5、的棱錐可記作：棱錐SABCDE或棱錐SAC，即可以用表示棱錐的頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)，或用底面的一條對(duì)角線端點(diǎn)的字母表示.另外，按棱錐底面多邊形的邊數(shù)可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等.請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)觀察、歸納棱錐具有的性質(zhì).（學(xué)生觀察、思考,教師可點(diǎn)撥）師在棱柱中有平行于底面的截面與底面全等這一性質(zhì)，那么在棱錐中還有沒(méi)有這一結(jié)論了呢？生沒(méi)有.師大家猜想對(duì)于棱錐來(lái)說(shuō)，平行于底面的截面與底面有什么關(guān)系？生相似.師繼續(xù)猜想截面的面積與底面面積有何關(guān)系？所截得的棱錐的高與已知棱錐的高有什么關(guān)系？生截面面積與底面面積之比為它們相似比的平方，所截得的棱錐的高與已知棱錐的高的比等于相似比.師至此，我們可以得到關(guān)于棱錐

6、截面的性質(zhì)了（打出投影片9.8.1 B).我們?cè)鯓永盟鶎W(xué)的理論知識(shí)進(jìn)行推理論證以上這條性質(zhì)呢？請(qǐng)一位同學(xué)敘述一下證明思路.生由多邊形相似的判定：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等可判定兩多邊形相似，從而由相似性質(zhì)可得它們的面積比等于相似比的平方，而對(duì)應(yīng)線段成比例需由平面幾何中三角形相似得到.師思路清楚，即整個(gè)過(guò)程由面面平行性質(zhì)定理過(guò)渡到線線平行再轉(zhuǎn)化到平面三角形中的線段成比例，從而使結(jié)論獲解.請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真畫圖，寫出已知、求證、證明過(guò)程.（學(xué)生做、教師巡視，請(qǐng)一位同學(xué)板演）師做完的同學(xué)請(qǐng)對(duì)照課本P48的推導(dǎo)過(guò)程，檢查自己的證明過(guò)程是否嚴(yán)密.以上我們所證得的棱錐這一性質(zhì)可以作為性質(zhì)定理直接應(yīng)用到今后的學(xué)習(xí)

7、中去了.現(xiàn)在觀察課本P48的推導(dǎo)過(guò)程可得=,由此可得棱錐的又一性質(zhì)，怎樣用文字語(yǔ)言表述？生如果棱錐被平行于底面的平面所截，則棱錐的側(cè)棱和高被截面分成的線段比相等.（教師板書這一性質(zhì)）師課下，大家已對(duì)正棱錐進(jìn)行了預(yù)習(xí)，當(dāng)一個(gè)棱錐滿足什么條件時(shí)就成為一個(gè)正棱錐了呢？生底面是多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心.（教師板書）師依據(jù)正棱錐的定義可直觀地得到它的哪些性質(zhì)呢？生乙正棱錐的側(cè)棱相等；各側(cè)面都是全等的等腰三角形；正棱錐的斜高都相等；正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形；正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.師還發(fā)現(xiàn)其他性質(zhì)了嗎？生丙正棱錐的側(cè)棱與底面所成的

8、角都相等；正棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都 相等.師以上這些性質(zhì)雖都可以直觀、自然地觀察得到，但課下還是應(yīng)該利用所學(xué)理論知識(shí)進(jìn)行推理論證的.下面我們結(jié)合圖形，進(jìn)一步探討正棱錐中各元素間的關(guān)系，為研究方便可將課本P48圖9-74正棱錐中棱錐SOBM從整個(gè)圖中拿出來(lái)研究.(教師畫三棱錐SOBM)觀察圖中三棱錐SOBM的側(cè)面三角形形狀有何特點(diǎn).生全是直角三角形，因?yàn)榭梢宰C得SOM=SOB=SMB=OMB=90.師若分別假設(shè)正棱錐的高SO=h,斜高SM=h,底面邊長(zhǎng)的一半BM=,底面正多邊形外接圓半徑OB=R，內(nèi)切圓半徑OM=r,側(cè)棱SB=l,側(cè)面與底面的二面角SMO=,側(cè)棱與底面組成的角SBO=，B

9、OM= (n為底面正多邊形的邊數(shù)）.請(qǐng)?jiān)囍ㄟ^(guò)解三角形得出以上各元素間的關(guān)系式.（學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，教師巡視、指導(dǎo)）生h=hsin=lsin,h=,R=.師繼續(xù)觀察圖形進(jìn)行思考：怎樣去比較SBO與SBM、OBM與SBM的大小關(guān)系？生在SBO與SBM中,sinSBO=,sinSBM=,在SOM中，SMSO,.sinSBMsinSBO.SBM(0,),SBO(0, ),SBMSBO.另在OBM與SBM中,cosOBM=,cosSBM=,SBOB,.cosOBMcosSBM,OBM(0, ),SBM(0, ),OBMSBM.師以上關(guān)系式是在解決與正棱錐有關(guān)的問(wèn)題中常常用到的，應(yīng)引起大家的注意.一起看一例

10、題.（打出投影片9.8.1 C,讀題）分析：此題可利用棱錐的截面性質(zhì)定理、正棱錐的性質(zhì)及平面幾何中解三角形的知識(shí)綜合解決.解：連結(jié)OM、OA，在RtSOM中，OM=.棱錐SABC是正棱錐，點(diǎn)O是正三角形ABC的中心.AB=2AM=2OMtan60=2,SABC=AB2=43(l2-h2)=3(l2-h2).依棱錐截面的性質(zhì)，有=,SABC=(l2-h2).課堂練習(xí)課本4 1、2.1.下列命題是否正確？如果正確，請(qǐng)給出證明；否則請(qǐng)舉出反例.（1）正棱錐的側(cè)面是正三角形；（2）正棱錐的側(cè)面是等腰三角形；（3）底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；（4）正棱錐的各側(cè)面與底面所成的二面角都相等.答案：（1）.

11、反例：底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)不相等的正棱錐.（2）.由正棱錐頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心，可證出正棱錐頂點(diǎn)到底面正多邊形頂點(diǎn)的距離都相等.（3）.反例：底面是正多邊形，但頂點(diǎn)在底面的射影不是底面正多邊形中心的棱錐.（4）.正棱錐的斜高及其在底面的射影的夾角，是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，此角的正弦等于正棱錐的高與斜高之比，所以各側(cè)面與底面所成的二面角的平面角都相等.2.已知一個(gè)正六棱錐的高為h,側(cè)棱長(zhǎng)為V,求它的底面邊長(zhǎng)和斜高.答案：,.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們討論了棱錐及其有關(guān)概念，探討了棱錐的截面性質(zhì)定理，弄清楚了正棱錐的性質(zhì)及其中各元素之間的關(guān)系式.要求大家對(duì)概念要逐字推敲,做到真正理解，要靈活地將棱錐截面性質(zhì)定理與正棱錐的性質(zhì)應(yīng)用到計(jì)算證明中.課后作業(yè)（一）課本P52習(xí)題9.8的2、4.（二）1