微積分下冊(cè)期末試卷及答案[1]

1、1、已知,則_.2、已知,則_.3、函數(shù)在點(diǎn)取得極值.4、已知,則_.5、以(為任意常數(shù))為通解的微分方程是_.6 知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是( c ).(A) (B) (C) (D) 7 數(shù)在原點(diǎn)間斷,是因?yàn)樵摵瘮?shù)( b ).(A) 在原點(diǎn)無定義 (B) 在原點(diǎn)二重極限不存在 (C) 在原點(diǎn)有二重極限,但無定義(D) 在原點(diǎn)二重極限存在,但不等于函數(shù)值8、若,則下列關(guān)系式成立的是( a). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(d ). (A) (B) (C) (D) 10、設(shè)收斂，則(d ).(A) 絕對(duì)收斂 (B) 條件收斂 (C) 發(fā)散 (D) 不定一、填空題(每小題3

2、分,共15分)1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.11、求由,所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.解：的函數(shù)為。且時(shí)，。于是 12、求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由確定，求.解：設(shè)，則 ， ， ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數(shù)法求在條件下的極值.解： 令,得,為極小值點(diǎn). (3分)故在下的極小值點(diǎn)為,極小值為 (6分)15、計(jì)算.解： (6分)6、計(jì)算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級(jí)數(shù)的斂散性.解： (3分) 因?yàn)?19、將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù),并求展開式成立

3、的區(qū)間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通過電臺(tái)及報(bào)紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料,銷售收入(萬元)與電臺(tái)廣告費(fèi)用(萬元)的及報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬元)之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗(yàn)公式:，求最優(yōu)廣告策略 解：公司利潤(rùn)為令即得駐點(diǎn),而 (3分),所以最優(yōu)廣告策略為：電臺(tái)廣告費(fèi)用(萬元),報(bào)紙廣告費(fèi)用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設(shè)，證明：.證：22、若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設(shè)知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)1、設(shè)，則_.2、已知，則_.3、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值，則常數(shù)4、已知,則_5、以(為任意常數(shù))為通解的微

4、分方程是_.6、已知與均收斂,則常數(shù)的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 7、對(duì)于函數(shù),點(diǎn)( ).(A) 不是駐點(diǎn) (B) 是駐點(diǎn)而非極值點(diǎn) (C) 是極大值點(diǎn) (D) 是極小值8、已知,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對(duì)收斂 (C) 發(fā)散 (D) 斂散性不定11、求,所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.12、求二重極限. 13、設(shè),求.14、用拉格朗日乘數(shù)法求在滿足條件下的極值.15、計(jì)算.16、計(jì)算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)

5、域.17、解微分方程.18、判別級(jí)數(shù)的斂散性.19、將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù).20、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,單位售價(jià)分別為40元和60元,若生產(chǎn)單位甲產(chǎn)品,生產(chǎn)單位乙產(chǎn)品的總費(fèi)用為,試求出甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時(shí)該工廠取得最大利潤(rùn).21、設(shè),證明.22、若與都收斂,則收斂.（可能會(huì)有錯(cuò)誤大家一定要自己核對(duì)）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則 。（）2、計(jì)算廣義積分= 。（）3、設(shè)，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、設(shè)，則_。（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數(shù)在點(diǎn)可微的 （ A ）。 A

6、.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程有三個(gè)特解，則其通解為 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、無窮級(jí)數(shù)(為任意實(shí)數(shù)) （D）A、收斂 B、絕對(duì)收斂 C、發(fā)散 D、無法判斷 三、計(jì)算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分）2、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得:,有 （3分）方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得:,有 （6分）4、求

7、函數(shù)的極值。解：，則， 求駐點(diǎn)，解方程組得和. （2分）對(duì)有，于是，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且 （4分）對(duì)有，于是， 不是函數(shù)的極值點(diǎn)。 6、計(jì)算積分,其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域；解：. （4分） （6分）7、已知連續(xù)函數(shù)滿足，且，求。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導(dǎo)得：即 （2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，則，于是原方程可化為： （3分） 即，其通解為 （5分） 即故原方程通解為： （6分）9、求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解：令,冪級(jí)數(shù)變形為,. （3分）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為發(fā)散. 故的收斂區(qū)間是, （5分）那么的收斂

8、區(qū)間為. （6分）10、 判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對(duì)收斂還是條件收斂。解：因?yàn)?（2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證明級(jí)數(shù)也收斂。證：， （3分）而由已知收斂，故由比較原則，也收斂。 （5分）2、設(shè),其中為可導(dǎo)函數(shù), 證明.證明：因?yàn)? （2分） （4分）所以. （5分）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設(shè)，且當(dāng)時(shí)，則 。（）2、計(jì)算廣義積分= 。（）3、設(shè)，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、級(jí)數(shù)的和為 。（）二、選擇題(每小題3分,共15分)

9、1、的值為 （ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且連續(xù)是函數(shù)在點(diǎn)可微的 （ B ） A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （ B）A. ； B. ；C、； D. 4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程有三個(gè)特解，則其通解為 （D） A、； B、； C、 ； D、5、無窮級(jí)數(shù)(為任意實(shí)數(shù)) （A）A、無法判斷 B、絕對(duì)收斂 C、收斂 D、發(fā)散三、計(jì)算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分） 2、求由在區(qū)間上,曲線與直線、所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。 解： （4

10、分） （6分）3、求由所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解：（一）令則 ， ， 利用公式，得 （3分） （6分）（二）在方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得 解出 ， （3分）同理解出 （6分）4、求函數(shù)的極值。解：，則，求駐點(diǎn)，解方程組得和. （2分）對(duì)有，于是，所以點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn). （4分）對(duì)有，于是，且，所以函數(shù)在點(diǎn)取得極小值, （6分） （5分）6、計(jì)算二重積分,其中是由及所圍成的閉區(qū)域；解： （4分） （6分）7、已知連續(xù)函數(shù)滿足，求。解：關(guān)系式兩端關(guān)于求導(dǎo)得：即 （2分）這是關(guān)于的一階線性微分方程，其通解為： （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求微分方程的通解。解 這是一個(gè)不明顯含有未知函數(shù)的方程作變換 令 ，則，于是原方程降階為 （3分）， 分離變量，積分得 即 ，從而 （5分）再積分一次得原方程的通解 y （6分）9、求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解：令,冪級(jí)數(shù)變形為,. （3分）當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為發(fā)散. 故的收斂區(qū)間是, （5分）那么的收斂區(qū)間為. （6分）10、 判定級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂級(jí)數(shù)，指出其是絕對(duì)收斂還