高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.9 三角函數(shù)的簡單應(yīng)用學(xué)案 北師大版必修

1、9三角函數(shù)的簡單應(yīng)用1能用三角函數(shù)研究簡單的實(shí)際問題，尤其是周期性問題(重點(diǎn))2將實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)模型(難點(diǎn))基礎(chǔ)初探教材整理三角函數(shù)模型的應(yīng)用閱讀教材P58P59練習(xí)以上部分，完成下列問題1三角函數(shù)模型的應(yīng)用(1)根據(jù)實(shí)際問題的圖像求出函數(shù)解析式(2)將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型(3)利用收集的數(shù)據(jù)，進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型2解答三角函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)ysin x在第一象限內(nèi)是增函數(shù)()(2)函數(shù)y3sin x1的最大值為3.()(3)直線x是函數(shù)ysin x的一條對稱軸()(4)函數(shù)ysin(x4)的周期為2.()【

2、解析】(1)由正弦函數(shù)圖像知，正確；(2)最大值應(yīng)該是312；(3)xk(kZ)是ysin x的對稱軸；(4)T2.【答案】(1)(2)(3)(4)質(zhì)疑手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_小組合作型三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用交流電的電壓E(單位：V)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用E220sin來表示，求：(1)開始時電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間【精彩點(diǎn)撥】(1)求t0時所對應(yīng)的電壓(2)求函數(shù)的周期(3)求函數(shù)的最值【自主解答】(1)當(dāng)t0時，E110(V)，即開

3、始時的電壓為110V.(2)T(s)，即時間間隔為0.02 s.(3)電壓的最大值為220V，當(dāng)100t，即t(s)時第一次取得最大值由于物理學(xué)中的單擺、光學(xué)、機(jī)械波、電學(xué)等知識都具有周期性，且均符合函數(shù)yAsin(x)b(A0，0)的變換規(guī)律，因此可借助于三角函數(shù)模型來研究物理學(xué)中的相關(guān)現(xiàn)象再練一題1.如圖191，一彈簧上掛的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的變化曲線是一個三角函數(shù)的圖像，求：圖191(1)經(jīng)過多長時間，小球往復(fù)振動一次；(2)這條曲線的函數(shù)解析式；(3)小球開始振動時，離開平衡位置的位移【解】(1)由圖像可知，周期T2，所以小球往復(fù)振動一次所

4、需要的時間為 s.(2)由題意可設(shè)該曲線的函數(shù)解析式為sAsin(t)，t0，)從圖像中可以看出A4，又，所以2.從而s4sin(2t)，將t，s4代入上式，得sin1，所以.故這條曲線的函數(shù)解析式為s4sin，t0，)(3)當(dāng)t0時，s4sin 2(cm)故小球開始振動時，離開平衡位置的位移是2 cm.探究共研型三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用探究1建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題的思路是什么？【提示】(1)先尋找與角有關(guān)的信息，確定選用正弦、余弦還是正切函數(shù)模型(2)其次是搜集數(shù)據(jù)，建立三角函數(shù)解析式并解題(3)最后將所得結(jié)果翻譯成實(shí)際答案探究2如何建立擬合函數(shù)模型？【提示】(1)利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)

5、的“散點(diǎn)圖”(2)觀察“散點(diǎn)圖”，并進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，獲得具體的函數(shù)模型(3)利用這個函數(shù)模型解決相應(yīng)的實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)探究3由圖像怎樣確定yAsin(x)b中的A和b.【提示】A，b.某港口的水深y(單位：m)是時間t(0t24，單位：h)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t/h03691215182124y/m10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出曲線，如圖192所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看做函數(shù)yAsin tb的圖像圖192(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)解析式；(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5 m時是安全的，如果某船的吃水深度(

6、船底與水面的距離)為7 m，那么該船何時能進(jìn)入港口？在港口能待多久？【精彩點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題意確定A，b，.(2)根據(jù)題意水深y11.5可求解【自主解答】(1)從擬合曲線可知，函數(shù)yAsin tb在一個周期內(nèi)由最大變到最小需936(h)，此為半個周期，函數(shù)的最小正周期為12 h，因此12，得.當(dāng)t0時，y10，b10.ymax13，A13103.所求函數(shù)的解析式為y3sint10(0t24)(2)由于船的吃水深度為7 m，船底與海底的距離不少于4.5 m，故在船舶航行時水深y應(yīng)不小于74.511.5(m)當(dāng)y11.5時就可以進(jìn)港令y3sint1011.5，得sint，2kt2k(kZ)，112

7、kt512k(kZ)取k0，則1t5；取k1，則13t17；取k2，則25t29(不合題意)因此，該船可以在凌晨1點(diǎn)進(jìn)港，5點(diǎn)出港或在13點(diǎn)進(jìn)港，17點(diǎn)出港，每次可以在港口停留4小時根據(jù)給出的函數(shù)模型，利用表中的數(shù)據(jù)，找出變化規(guī)律，運(yùn)用已學(xué)的知識與三角函數(shù)的知識，求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使問題得以解決再練一題2已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數(shù)，其中0t24，記yf(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，yf(t)的圖像可近似地

8、看成函數(shù)yAcos tb的圖像(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求其最小正周期，振幅及函數(shù)解析式；(2)根據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行活動？【解】(1)由表中數(shù)據(jù)可知，T12，所以.又t0時，y1.5，所以Ab1.5；t3時，y1.0，得b1.0，所以振幅為，函數(shù)解析式為ycost1(0t24)(2)因?yàn)閥1時，才對沖浪愛好者開放，所以ycost11，cost0，2kt2k，即12k3t12k3(kZ)又0t24，所以0t3或9t15或21t24，所以在規(guī)定時間內(nèi)只有6個小時沖浪愛好者可以進(jìn)行活動，即9t1

9、5.構(gòu)建體系1如圖193所示為一簡諧振動的圖像，則下列判斷正確的是()圖193A該質(zhì)點(diǎn)的振動周期為0.7 sB該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cmC該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時振動速度最大D該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0.7 s時的加速度為零【解析】由圖像可知，該質(zhì)點(diǎn)的振動周期是2(0.70.3)0.8，故A不正確；振幅為5 cm，故選B.【答案】B2某人的血壓滿足函數(shù)關(guān)系式f(t)24sin 160t110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為()A60B70C80D90【解析】T，f80.【答案】C3如圖194所示，是一彈簧振子作簡諧振動的圖像，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振子的位移，則這

10、個振子振動的函數(shù)解析式是_. 【導(dǎo)學(xué)號：】圖194【解析】設(shè)函數(shù)解析式為yAsin(x)，則由題意得A2，T2(0.50.1)0.8，.又0.1，解析式為y2 sin.【答案】y2sin4某同學(xué)利用描點(diǎn)法畫函數(shù)yAsin(x)的圖象，列出的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x01234y10112經(jīng)檢查，發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，請你根據(jù)上述信息推斷函數(shù)yAsin(x)的解析式應(yīng)是_【解析】在平面直角坐標(biāo)系中描出這五個點(diǎn)，如圖所示根據(jù)函數(shù)圖象的大致走勢，可知點(diǎn)(1,0)不符合題意；又0A2，函數(shù)圖象過點(diǎn)(4，2)，A2，函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,1)，2sin 1.又，由(0,1)，(2,1)關(guān)于直線x1對稱，知x1時函數(shù)取得最大值2，函數(shù)的最小正周期為6.【答案】y2sin5如圖195，某地夏天814時用電量變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.圖195(1)求這一天的最大用