第二章-環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1、第二章 環(huán)境數(shù)學(xué)模型,四川大學(xué)建筑與環(huán)境學(xué)院 環(huán)境科學(xué)與工程系,問題討論1,某實(shí)驗(yàn)室正在研究一種污染物在某一處理過程中的降解規(guī)律，希望其降解規(guī)律的研究能對(duì)工程實(shí)際有指導(dǎo)意義， 討論 ： 其研究結(jié)果的最佳表達(dá)形式是什么？為什么？,2.1 數(shù)學(xué)模型定義與特征,根據(jù)所觀察到的現(xiàn)象，及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成一套反映其數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)關(guān)系式與算法，用以描述對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這套公式和算法稱為數(shù)學(xué)模型。廣義的數(shù)學(xué)模型既包含由數(shù)學(xué)符號(hào)組成的數(shù)學(xué)公式，也包括用框圖或文字表達(dá)的計(jì)算方法和計(jì)算過程。,數(shù)學(xué)模型的特征,數(shù)學(xué)模型的分類,1 按變量和時(shí)間的關(guān)系： 動(dòng)態(tài)模型與穩(wěn)態(tài)模型 2 按用途分類 模擬模型和管理模型,討論問題2

2、,延續(xù)上一個(gè)討論問題， 問題： 如何建立這種污染物的降解規(guī)律的數(shù)學(xué)模型？,1 環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立的幾個(gè)階段,1、準(zhǔn)備階段 2、系統(tǒng)認(rèn)識(shí)階段； 3、系統(tǒng)建模階段； 4、模型參數(shù)估計(jì)； 5、模型求解階段； 6、模型檢驗(yàn)階段；,建立數(shù)學(xué)模型的步驟,1.1 準(zhǔn)備階段,建模者要在弄清問題的社會(huì)背景、建模的目的或目標(biāo)的前提下，盡可能詳細(xì)而又全面的收集和建模有關(guān)的資料。 例：我們要建一個(gè)工業(yè)園區(qū)的工業(yè)污水集中處理廠，需要收集哪些相關(guān)資料。,1.2 系統(tǒng)認(rèn)識(shí)階段,1、分析系統(tǒng)有關(guān)成分和因素； 2、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，通常要繪制變量的時(shí)間過程線，空間關(guān)系曲線或表格，從中考察和分析事物的時(shí)空變化規(guī)律。,1.

3、3 系統(tǒng)建模階段,1、狀態(tài)空間法(質(zhì)量平衡法) 2、量綱分析法； 3、概率統(tǒng)計(jì)法； 4、數(shù)量化理論法； 5、灰色系統(tǒng)建模法； 6、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 7、層次分析法； 8、投影尋蹤法；,模型的結(jié)構(gòu)選擇,(1)白箱模型 根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解,以客觀事物變化遵循的物理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機(jī)理模型具有唯一性。 (2)灰箱模型 即半機(jī)理模型。在建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型的過程中,幾乎每個(gè)模型都包含一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù),這些待定參數(shù)一般無(wú)法由過程機(jī)理來確定。通常要借助于觀測(cè)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。 (3)黑箱模型 即輸入-輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)以獲

4、得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。它們可在日常例行觀察中積累,也可由專門實(shí)驗(yàn)獲得。根據(jù)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè),在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒痪哂形ㄒ恍浴?1.4 模型參數(shù)估計(jì),由于環(huán)境模型使用的一般都是灰箱模型，其中至少存在一個(gè)待定參數(shù)，需要通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。 1、經(jīng)驗(yàn)公式法； 2、圖解法； 3、最小二乘法； 4、網(wǎng)格法； 5、最速下降法； 6、遺傳算法；,1.4.1 經(jīng)驗(yàn)公式法,是人們?cè)谘芯磕骋痪唧w問題時(shí)，有些參數(shù)的使用頻率很高，研究者在積累了大量數(shù)據(jù)后提出的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法。 如布里吉斯提出的計(jì)算大氣污染物擴(kuò)散參數(shù)的冪函數(shù)表達(dá)式,1.4.1 經(jīng)驗(yàn)公式法,經(jīng)驗(yàn)公式法即時(shí)通過對(duì)所估

5、計(jì)參數(shù)對(duì)相關(guān)因素的關(guān)系曲線進(jìn)行函數(shù)選配，并擬合而得。 在使用經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，要求系統(tǒng)的條件與總結(jié)經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)的系統(tǒng)條件相近，否則會(huì)有較大偏差。,1.4.2 圖解法,如果系統(tǒng)模型公式可以直接描述為一條直線，或經(jīng)變量變換后能轉(zhuǎn)換為直線時(shí)，均可用圖解法估計(jì)參數(shù)。,1.4.3 最小二乘法,又稱線性回歸分析，適合于自變量 與因變量 y 之間呈線性關(guān)系的情況，或通過數(shù)學(xué)變換后可轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系的情況。 線性回歸分析的原理基于以下兩點(diǎn)假設(shè)： (1) 所有自變量的值均不存在誤差，因變量的值 則含有測(cè)量誤差； (2) 與各測(cè)量值 擬合得最好的線性方程 是能使各測(cè)量值 與線性方程各計(jì)算值 的偏差的平方和,1.4.3 最小

6、二乘法,最小的線性方程。因此，根據(jù)極值存在條件，對(duì)一元線性分析，有,1.4.3 最小二乘法,1.4.4 網(wǎng)格法,1.4.5 最速下降法,選定一初始點(diǎn)，從此點(diǎn)出發(fā)，沿其負(fù)梯度方向取一定步長(zhǎng)進(jìn)行尋查，求得在此方向上的近似極小點(diǎn)， 然后再?gòu)拇它c(diǎn)出發(fā)，沿新的負(fù)梯度方向也取一定的步長(zhǎng)進(jìn)行尋查，如此繼續(xù)，直到滿足給定的精度。,1.5 模型求解階段,傳統(tǒng)解析方法 計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬,1.6 模型檢驗(yàn)階段,1.6.1 模型的精確度檢驗(yàn)， 1.6.2 模型的可靠性檢驗(yàn)。,1.6.1 模型的精確度檢驗(yàn),1、圖形表示法 2、相關(guān)系數(shù)法 3、相對(duì)誤差法,1.6.1圖形表示法,1.6.2 相關(guān)系數(shù)法,1.6.3 相對(duì)誤差法

7、,相對(duì)誤差的定義 如果有n組觀測(cè)值與相應(yīng)的計(jì)算值，可得到n個(gè)相對(duì)誤差值，將這n個(gè)誤差值從小到大排列，可以求得小于某一誤差值的誤差出現(xiàn)的頻率，以及累積頻率為10%，50%，90%的誤差，通過分析這三個(gè)誤差的數(shù)值，可以確定模型的精度。,1.6.3 相對(duì)誤差法,中值誤差與統(tǒng)計(jì)學(xué)上的的概率誤差是一致的，因此中值誤差的數(shù)值既可以從誤差分布的累積曲線上求出，也可以按下式計(jì)算：,1.6.2 模型的可靠性檢驗(yàn),任何數(shù)學(xué)模型都是建立在一些參數(shù)基礎(chǔ)上的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。這些參數(shù)多是用一組或幾組輸入、輸出數(shù)據(jù)來確定。 而任何數(shù)據(jù)的獲取都會(huì)存在一定的誤差，這樣必然會(huì)導(dǎo)致所估計(jì)的參數(shù)存在一定的不確定性。 模型

8、的可靠性即是估計(jì)這種不確定性對(duì)模型的精度有多大的影響。,1.6.2 模型的可靠性檢驗(yàn),參數(shù)的不確定性可通過對(duì)模型的靈敏度分析來實(shí)現(xiàn)。 通常，靈敏度是指一個(gè)系統(tǒng)的輸出對(duì)輸入的響應(yīng)程度。 如果輸入信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)輸出后被放大了，那么這就是一個(gè)靈敏系統(tǒng)，反之，就不靈敏。,1.6.2 模型的可靠性檢驗(yàn),通過對(duì)模型的靈敏度分析不僅可以估計(jì)模型計(jì)算結(jié)果的偏差，同時(shí)還有助于建立低靈敏度系統(tǒng)，這種系統(tǒng)在運(yùn)行上比較可靠，有助于確定合理的設(shè)計(jì)裕量，這比盲目地給定安全系數(shù)要合理多了。,1.6.2 模型的可靠性檢驗(yàn),在環(huán)境系統(tǒng)的模擬、控制中，靈敏度的研究主要包括兩個(gè)方面： 一是狀態(tài)與目標(biāo)對(duì)參數(shù)的靈敏度，即參數(shù)的估計(jì)誤差對(duì)狀態(tài)和目標(biāo)產(chǎn)生影響，這種影響有多大？如何確定參數(shù)估計(jì)的必要精度？ 另一個(gè)是目標(biāo)對(duì)決策的靈敏度。在污染控制規(guī)劃中，決策變量的變化對(duì)目標(biāo)有很大影響，如何確定這種影響的大小。如何決定合理的決策變量。,1.6.2.1 狀態(tài)與目標(biāo)對(duì)參數(shù)的靈敏度,1、單個(gè)變量時(shí)的靈敏度，,1.6.2.1 狀態(tài)與目標(biāo)對(duì)參數(shù)的靈敏度,為狀態(tài)變量和目標(biāo)變量對(duì)參數(shù)的一階靈敏度系統(tǒng)數(shù)。,1.6.2.1 狀態(tài)與目標(biāo)對(duì)參數(shù)的靈敏度,1、多變量時(shí)的靈敏度， 設(shè)一個(gè)最優(yōu)化模型為 式中，