推理與證明 課件(新人教A版選修1-2)【thancy3】.ppt

1、第二章推理與證明復(fù)習(xí)小結(jié),推理與證明,推理,證明,合情推理,演繹推理,直接證明,數(shù)學(xué)歸納法,間接證明,比較法,類比推理,歸納推理,分析法,綜合法,反證法,知識(shí)結(jié)構(gòu),一.綜合法,證,證明: 要證 只需證 只需證 只需證 只需證 因?yàn)?成立. 所以 成立.,二.分析法,三:反證法,問題一: 求證:兩條相交直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).,注:1.結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn), 是唯一性問題,常用反證法 2.有且只有的反面包含1)不存在;2)至少兩個(gè).,問題二:求證一元二次方程至多 -有兩個(gè)不相等的實(shí)根.,注:所謂至多有兩個(gè),就是不可能有三個(gè),要證“至多有兩個(gè)不相等的實(shí)根”只要證明它的反面“有三個(gè)不相

2、等的實(shí)根”不成立即可.,問題:如圖;已知L1、L2 是異面直線且 A、B L1,C、D L2, 求證;AC,SD也是異面直線.,L1,L2,五.歸納、類比、猜想、證明,例:平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n)等于n(n-1)/2.,證:(1)當(dāng)n=2時(shí),兩條直線的交點(diǎn)只有1個(gè),又f(2)=2(2-1)/2=1,因此,當(dāng)n=2時(shí)命題成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)命題成立,就是說,平面內(nèi)滿足 題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.,以下來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中 的1條直線,記作l.由歸納假設(shè),除l以外的其他k條

3、直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)等于k(k-1)/2.,另外,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行,所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交,有k個(gè)交點(diǎn).,又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn),所以上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同,且與平面內(nèi)其他的k(k-1)/2個(gè) 交點(diǎn)也兩兩不相同.,從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.,這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),k+1條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為: f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.,根據(jù)(1)、(2)可知,命題對(duì)一切大于1的正整數(shù)都成立.,說明:用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題,重難點(diǎn)是處理好當(dāng) n=k+1時(shí)利用假設(shè)結(jié)合幾何知識(shí)證明命題成立.,注:在上例的題設(shè)條件下還可以有如下二個(gè)結(jié)論:,(1)設(shè)這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線, -則: f(n)=n2.,(2)這n條直線把平面分成(n2+n+2)/2個(gè)區(qū)域.,練習(xí)1:凸n邊形有f(n)條對(duì)角線,則凸n+1邊形的對(duì)角線 -的條數(shù)f(n+1)=f(n)+_.,n-1,練習(xí)2:設(shè)有通過一點(diǎn)的k個(gè)平面,其中任何三個(gè)平面或 三個(gè)以上的平面不共有一條直線,這k個(gè)平面將 空間分成f(k)個(gè)區(qū)域,則k+1個(gè)平面將空間分成 f(k+1)=f(k)+_個(gè)區(qū)域.,2k,:平面內(nèi)有n條直線