機械振動-第07課頻率方程、振型與正則坐標.ppt

1、第七課 頻率方程、振型與正則坐標,2020年9月11日,主要內容,頻率方程與特征值問題 坐標耦合 模態(tài)正交性與主坐標,主要內容,頻率方程與特征值問題 坐標耦合 模態(tài)正交性與主坐標,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,頻率方程與特征值問題,例題,主要內容,頻率方程與特征值問題 坐標耦合 模態(tài)正交性與主坐標,兩個質點的運動不是互相獨立的，它們彼此受另一個質點 的運動的影響。這種質點或質點系的運動相互影響的現(xiàn)象 叫做耦合（coupling），具有耦合性質的系統(tǒng)叫耦合系統(tǒng)。 像這樣表示振動位移的兩個以上坐標出現(xiàn)在同一個運動方 程式中時，就稱這些坐標之

2、間存在靜力耦合或彈性耦合。 另外，當一個微分方程式中出現(xiàn)兩個以上的加速度項時， 稱為在坐標之間有動力耦合或質量（慣性）耦合。,坐標耦合（耦聯(lián)）,靜力耦合或彈性耦合,質心與幾何中心不重合,質心 x,幾何中心,坐標耦合,動力耦合或質量耦合,C幾何中心,坐標耦合,x = x1,靜力與動力耦合,坐標耦合,坐標耦合,某個系統(tǒng)中是否存在耦合取決于用以表示運動的坐標的選擇方法，而與系統(tǒng)本身的特性無關。 通過適當?shù)倪x擇坐標，可以將系統(tǒng)的運動方程表示成既無靜力耦合又無動力耦合的形式。 采用主坐標或正則坐標可以使運動方程解耦。,主要內容,頻率方程與特征值問題 坐標耦合 模態(tài)正交性與主坐標,n自由度的振動系統(tǒng)，具有

3、n個固有頻率和與之對應的n階主振型。且這些主振型之間存在著關于質量矩陣和剛度矩陣的正交性。,對應于,相減,表明，對應于不同固有頻率的主振型之間，即關于質量矩陣相互正交，又關于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。還可以證明，零固有頻率對應的主振型也必定與系統(tǒng)的其它主振型關于質量矩陣和剛度矩陣正交。,Ki稱為第i階主剛度或第i階模態(tài)剛度；Mi稱為第i階主質量或第i階模態(tài)質量。,可見，由于主振型的正交性，不同階的主振動之間不存在動能的轉換，或者說不存在慣性耦合。同樣可以證明第i階固有振動的廣義彈性力在第j階固有振動的微小位移上的元功之和也等于零，因此不同階固有振動之間也不存在勢能的轉換，或者說不

4、存在彈性耦合。 對于每一個主振動來說，它的動能和勢能之和是個常數(shù)。在運動過程中，每個主振動內部的動能和勢能可以互相轉化，但各階主振動之間不會發(fā)生能量的傳遞。 因此，從能量的觀點看，各階主振動是互相獨立的，這就是主振動正交性的物理意義。,以各階主振型矢量為列，按順序排列成一個nn階方陣，稱此方陣為主振型矩陣或模態(tài)矩陣，即,根據(jù)主振型的正交性，可以導出主振型矩陣的兩個性質,主質量矩陣,主剛度矩陣,使Mr由對角陣變換為單位陣,將主振型矩陣的各列除以其對應主質量的平方根，即,這樣得到的振型稱為正則振型。,正則振型的正交關系是,以各階正則振型為列，依次排列成一個nn階方陣，稱此方陣為正則振型矩陣，即,由

5、正交性可導出正則矩陣兩個性質,在一般情況下，具有有限個自由度振動系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣都不是對角陣。因此，系統(tǒng)的運動微分方程中既有動力耦合又有靜力耦合。對于n自由度無阻尼振動系統(tǒng)，有可能選擇這樣一組特殊坐標，使方程中不出現(xiàn)耦合項亦即質量矩陣和剛度矩陣都是對角陣，這樣每個方程可以視為單自由度問題，稱這組坐標為主坐標或模態(tài)坐標。 由前面的討論可知，主振型矩陣U與正則振型矩陣 ，均可使系統(tǒng)的質量矩陣和剛度矩陣轉換成為對角陣。因此，可利用主振型矩陣或正則振型矩陣進行坐標變換，以尋求主坐標或正則坐標。,由物理坐標到模態(tài)坐標的轉換，是方程解耦的數(shù)學過程。從物理意義上講，是從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。在物理坐標系統(tǒng)中，質量矩陣和剛度矩陣一般是非對角陣，使運動方程不能解耦。而在模態(tài)坐標系統(tǒng)中，第i 個模態(tài)坐標代表在位移向量中第i階主振型（模態(tài)振型）所作的貢獻。任何一階主振型的存在，并不依賴于其他主振型是否同時存在。這就是模態(tài)坐標得以解耦的原因。因此，位移響應向量是各階模態(tài)貢獻的疊加的結果，而不是模態(tài)耦合的結果。各階模態(tài)之間是不耦合的。,寫出圖示系統(tǒng)的主振型矩陣和正則振型矩陣，以及用正則坐標表示的系統(tǒng)運動方程。,由質量矩陣 ，可求出主質量矩陣,解：