初中函數(shù)知識點總結

1、千承培訓學校函數(shù)知識點總結(掌握函數(shù)的定義、性質和圖像)（一）平面直角坐標系1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系2、各個象限內點的特征:第一象限：（+，+） 點P（x,y），則x0,y0；第二象限：（-，+） 點P（x,y），則x0,y0；第三象限：（-，-） 點P（x,y），則x0,y0；第四象限：（+，-） 點P（x,y），則x0,y0；3、坐標軸上點的坐標特征： x軸上的點，縱坐標為零；y軸上的點，橫坐標為零；原點的坐標為（0 , 0）。兩坐標軸的點不屬于任何象限。4、點的對稱特征：已知點P(m,n),關于x軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫

2、坐標相同，縱坐標反號關于y軸的對稱點坐標是(-m,n) 縱坐標相同，橫坐標反號關于原點的對稱點坐標是(-m,-n) 橫，縱坐標都反號5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。6、各象限角平分線上的點的坐標特征：第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。 第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數(shù)。7、點P（x,y）的幾何意義：點P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點P（x,y）到坐標原點的距離為8、兩點之間的距離：X軸上兩點為A、B |AB|Y軸上兩點為C、D |CD|已

3、知A、B AB|=9、中點坐標公式：已知A、B M為AB的中點 則：M=( , )10、點的平移特征： 在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應點（ x-a，y）；將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a ，y）；將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，yb）；將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，yb）。注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發(fā)生相應的變化；反過來，從圖形上點的坐標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識：基本概念1、變量：在一個變化過程中可以取不同

4、數(shù)值的量。 常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。 *判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應3、定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法： （1）關系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)； （2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零； （3）關系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零； （4）關系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

5、（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數(shù)值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數(shù)值為縱坐標，描出表格中數(shù)值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的

6、對應值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關系，但有些實際問題中的函數(shù)關系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數(shù)關系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)及性質一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數(shù)為1 b取零當k0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k0，y隨x的增大而增大；k0時，向上平移；當b0，圖象經(jīng)過第

7、一、三象限；k0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b0 直線從左向右是向上的 k0 直線與y軸的正半軸相交 b0，y隨x的增大而增大；k0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；當b0，b0 2、k0，b0 3、k0，b0 4、k04、直線y=kxb(k0)與坐標軸的交點(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；(2)直線y=kxb與x軸交點坐標為與 y軸交點坐標為(0，b)5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關系式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）

8、將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法： 方法：聯(lián)立方程組求x、y 例題：已知兩直線yx+6 與y2x-4交于點P，求P點的坐標？7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關系一次函數(shù)y=kxb的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b0時，向上平移；當b0或ax+b0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x

9、的增大而減??；當k0時，函數(shù)在x0上同為減函數(shù)；k0時，函數(shù)在x0上同為增函數(shù)。 定義域為x0；值域為y0。 3.因為在y=k/x(k0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。 4. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1S2=|K| 5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。 6.若設正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關

10、于原點對稱。 7.設在平面內有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2 +4km（不小于）0。 （k/x=mx+n，即mx2+nx-k=0） 8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。 9.反比例函數(shù)關于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對稱,并且關于原點中心對稱. (第5點的同義不同表述) 10.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k| 11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。 12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標軸的距離越遠。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)。

11、二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。 一般式(已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.)y=ax2+bx+c(a0,a、b、c為常數(shù))，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b2/4a) ； 頂點式(已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.)y=a(x+m)2+k(a0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)2+k(a0,a、h、k為常數(shù))，頂點坐標為（-m，k）或（h,k）對稱軸為x=-m或x=h，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式； 交點式(已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式)y=a(x-x1)(x-x2) 僅限于與x

12、軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線 ； 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點頂點拋物線有一個頂點P，坐標為P ( -b/2a ，4ac-b2/4a ) ，當-b/2a=0時，P在y軸上；當= b2-4ac=0時，P在x軸上。開口二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當a0時，拋物線向上開口；當a0時，拋物線向下開口。 |a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的因素一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當a與b同號時（即ab0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab0），對稱軸在y軸右。（左同右異）c的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸；,與軸交于負半軸.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0, ).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸