材料力學II-能量法的應(yīng)用補充.ppt

1、材料力學II,能量法的應(yīng)用 LT 2013.08,能量法的應(yīng)用,能量法研究梁的橫向剪切效應(yīng) 能量法研究桿件的沖擊應(yīng)力 能量法研究壓桿的臨界載荷 能量法研究梁柱縱橫彎曲變形與應(yīng)力計算等問題 此外，另一重要應(yīng)用為求解靜不定問題。,梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),梁的橫向剪切效應(yīng),壓桿的臨界載荷-能量法應(yīng)用,平衡的三種形式：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。,壓桿的臨界載荷,壓桿的臨界載荷,穩(wěn)定性判定準則： 根據(jù)Dirichlet 定理，物體的平衡位置上其勢能具有極小值或極

2、大值。若為極小，則平衡是穩(wěn)定的。如果給物體一微小干擾，則新的臨近位置的勢能與原始狀態(tài)勢能的差值0，一旦去除干擾，物體必然要回復到勢能極小的最低位置。反之，若為極大，則平衡是不穩(wěn)定的。物體受干擾后0，去除干擾，物體的位置不能復原，將繼續(xù)向勢能小的方向離去。,壓桿的臨界載荷,若0，原始狀態(tài)=min，屬于穩(wěn)定平衡； 若0，原始狀態(tài)=max，屬于不穩(wěn)定平衡； 若=0，勢能不變，屬于隨遇平衡。 平衡相關(guān)物理概念從數(shù)學觀點看可以歸結(jié)為尋求勢能函數(shù)的極小值和極大值的微分或變分問題。,壓桿的臨界載荷,兩類失穩(wěn)形式： 彈性體的平衡問題，其穩(wěn)定性取決于結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造、約束條件和加載方式等因素。一般歸結(jié)為兩類失穩(wěn)形

3、式。 （1）分支點失穩(wěn)問題； （2）極值點失穩(wěn)問題。,壓桿的臨界載荷分支點失穩(wěn)問題,以中心受壓理想等直桿件為例。,P1 Pcr時，為穩(wěn)定直線平衡狀態(tài)。,壓桿的臨界載荷,以中點撓度f為橫坐標，載荷P為縱坐標。則縱軸上（f=0）任一點P1表示一種直線平衡狀態(tài)。OA線稱為原始平衡路徑。載荷超過臨界載荷，P2Pcr時，壓桿可能處于直線平衡狀態(tài)，也可能處于彎曲平衡狀態(tài)，但直線狀態(tài)是不穩(wěn)定的，若給以干擾，壓桿則不能回復直線構(gòu)形而將繼續(xù)彎曲直到圖示B點，此時撓度為f2。曲線AB稱為第二平衡路徑。A點稱為分支點或分叉點（bifurcation point）。,壓桿的臨界載荷,A點它是原始平衡路徑與第二平衡路徑

4、的交點，此點相對應(yīng)的載荷則為臨界載荷Pcr，此時的平衡狀態(tài)則為臨界狀態(tài)。 到達臨界狀態(tài)之前的平衡狀態(tài)稱為前屈曲平衡狀態(tài)（Pre-buckling equilibrium configuration）； 而超過臨界狀態(tài)之后的平衡狀態(tài)則稱為后屈曲平衡狀態(tài)（Post-buckling equilibrium configuration）。,壓桿的臨界載荷,分支點A處第二路徑的切線為水平，因此，在一階無窮小的鄰域內(nèi)，撓度為不定值，也即載荷保持常數(shù)不變而壓桿可以有任意微小彎曲的平衡形式。此即所謂的隨遇平衡概念。,壓桿的臨界載荷,變換橫坐標為壓桿縮短變形量，相應(yīng)圖形如右圖所示。,壓桿的臨界載荷極值點失穩(wěn)問

5、題,某些變形體系不存在分支點，此時不能用平衡形式發(fā)生分支現(xiàn)象來定義失穩(wěn)特征。但這類系統(tǒng)所受載荷與變形的關(guān)系曲線常具有極值點。這類問題在實際工程中也是比較多的，如有缺陷的壓桿（制造工藝缺陷，加載裝置偏差等）或承受偏心載荷的桿件。桿件自始至終都處于彎曲平衡狀態(tài)，更大可能是出現(xiàn)局部塑形變形，以致曲線出現(xiàn)極值點。載荷達到極大值，呈現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。此極限承載能力也定義為臨界載荷Pcr。,壓桿的臨界載荷極值點失穩(wěn)問題,壓桿的臨界載荷極值點失穩(wěn)問題,曲線OA部分為穩(wěn)定平衡，極值點以后部分為不穩(wěn)定平衡。A點為臨界狀態(tài)。 對于受軸向壓力P作用的扁錐，力P與軸向位移間的關(guān)系如圖b所示。不僅存在相對極大值A(chǔ)點，還存在

6、相對極小值B點。這類無分支點的穩(wěn)定問題也稱為跳躍(snap)問題。,壓桿的臨界載荷極值點失穩(wěn)問題,壓桿的臨界載荷,穩(wěn)定性問題研究經(jīng)典方法主要有四種：靜力平衡法（Euler歐拉方法）； 能量法（Timoshenko鐵摩辛柯法）； 缺陷法； 振動法。,壓桿的臨界載荷,靜力平衡法就是從平衡狀態(tài)來研究桿件的屈曲特征，即研究直線形式之外的彎曲平衡形式。就是研究載荷達到多大時，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)，即求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑（曲線）的分支點所對應(yīng)的載荷值（臨界載荷）。材料力學I中已經(jīng)學習過了。,壓桿的臨界載荷,對于彈性系統(tǒng)可以沿用剛體平衡穩(wěn)定性的能量判據(jù)。當壓桿收到微小干擾后。觀察其能量變化情況。

7、隨著桿件的彎曲變形，應(yīng)變能的增量為U，同時載荷下降，位能的增量為V（注意：由于位能實際上是減少的，所以V為負值），則總勢能的增量為=U+V。當載荷P低于某特定數(shù)值時，總為正定，即0，則壓桿的直線平衡形式是穩(wěn)定的。,壓桿的臨界載荷,當載荷增大超過一定數(shù)值后，轉(zhuǎn)為負定，即0，則系統(tǒng)的直線平衡形式是不穩(wěn)定的。當載荷達到臨界值Pcr時，施加微小干擾而總勢能不變化，即=0，此時壓桿處于隨遇平衡，即原來的直線平衡將由穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定，此時處于臨界狀態(tài)。能量法求解穩(wěn)定性問題就是研究該臨界狀態(tài)下的載荷確定方法。,壓桿的臨界載荷,缺陷法： 缺陷法認為完善而無缺陷的理想中心受壓直桿是不存在的。原始材料缺陷，桿件具

8、有初始曲率，偏心載荷等因素都會使桿件開始受力時即產(chǎn)生彎曲變形，彎曲程度當然要看缺陷大小、嚴重程度而定。一般情況下缺陷總是相對很小，開始階段載荷不大時的彎曲變形并不顯著，只有當載荷接近理想無缺陷系統(tǒng)的臨界值時，變形才迅速增大，藉此可以確定其失穩(wěn)條件。缺陷法就是求解具有初始缺陷的彈性系統(tǒng)的變形無限增大時的載荷值。,壓桿的臨界載荷,振動法： 振動法是以動力學觀點研究壓桿穩(wěn)定問題。當壓桿在給定壓力作用下，施加一定的初始擾動之后，必將產(chǎn)生自由振動。如果振動隨時間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的。所謂收斂是指振動具有一定的頻率和振幅，考慮到阻尼，振動必將逐漸衰減，經(jīng)過一段時間后壓桿仍將恢復到初始的直線狀態(tài)。

9、如果壓力超過一定數(shù)值，桿件的振動發(fā)散，則壓桿為不穩(wěn)定的。所謂發(fā)散就是指振動的振幅將至無限增大。振動法所解決的問題是求彈性系統(tǒng)自由振動開始發(fā)散時的載荷值。,壓桿的臨界載荷,對于載荷、支撐方式或截面變化比較復雜的壓桿，材料力學I所述方法計算臨界載荷很不方便。這類問題宜采用能量法求解。 下面研究能量法分析壓桿穩(wěn)定問題的過程。,壓桿的臨界載荷,臨界載荷作用下，壓桿具有兩種平衡形式：直線形式與微彎形式。 當壓桿處于臨界狀態(tài)并由直線形式轉(zhuǎn)入到微彎形式的過程中，由于壓桿始終處于平衡狀態(tài)，軸向壓力在軸向位移上所作之功W（即前述減少的位能）等于壓桿因彎曲變形所增加的應(yīng)變能V，即臨界狀態(tài)的能量特征為 W=V (1

10、),設(shè)壓桿在微彎平衡時的撓曲線方程為 w=w(x) 載荷作用點因彎曲變形引起的軸向位移，也稱為曲率縮短，為。,則當壓桿由直線形式轉(zhuǎn)入到微彎形式的過程中，壓桿增加的應(yīng)變能為 或表達為,（2）,（3）,而軸向載荷Fcr所作之功為 W=Fcr,易見，軸向位移等于撓曲線的總長AB弧與其投影之差，即,（a）,由圖易見， (級數(shù)展開近似計算 ) 將其代入(a)式得,（4）,而載荷Fcr所作之功為 將該式與（3）式代入（1）式得壓桿的臨界載荷為,（5）,一旦獲得撓曲線方程w(x) ，從上式即可求出壓桿的臨界載荷。,一般情況下，撓曲線方程為未知。通常只能根據(jù)壓桿的位移邊界條件，假設(shè)一適當?shù)膿锨€方程進行求解。

11、顯然由此求得的臨界載荷一般為近似解而非精確解。但實踐證明，只要撓曲線方程選擇適當，所得解答仍然是足夠精確的。,（5）式為端部承壓細長桿臨界載荷計算的一般公式，它適用于等截面桿、也適用于變截面桿。對于其他非端部承壓的細長壓桿，臨界載荷同樣可以利用關(guān)系式（1）確定。 推導（5）式時應(yīng)變能計算采用的是基于變形計算公式（3），也可以采用基于彎矩的應(yīng)變能計算公式（2）。,例 1 試用能量法確定圖示兩端鉸支細長壓桿的臨界載荷，設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。 解：假設(shè)壓桿微彎平衡時的撓曲線方程為,（a）,式中，a代表壓桿中點撓度。顯然上述方程滿足位移邊界條件：w(0)=0，w(l) =0。,將（a）式代入到公式（5

12、）可得臨界載荷為 所得解答與精確解相同。之所以如此，是因為假設(shè)的撓曲線方程就是真實的撓曲線方程。,例 2 如圖所示細長壓桿，一端固定、另一端自由，承受集度為q的軸向均布載荷作用。試用能量法確定載荷q的臨界值qcr。,解：解法一 設(shè)壓桿微彎平衡時的撓曲線方程為,（a）,式中，f代表壓桿自由端撓度。顯然上述方程滿足位移邊界條件：w(0)=0，w(0) =0。,由（4）式和（a）式可求出當壓桿微彎時，橫截面x的軸向位移為 此時載荷qcr在彎曲變形過程中所作之功為,（b）,由（3）式和（a）式可求出當壓桿微彎時，壓桿增加的應(yīng)變能力為 將（b）和（c）式代入（1）式，即應(yīng)用能量原理可得壓桿的臨界載荷為,

13、（c）,同一問題精確解為 近似解與精確解的二者誤差為6%。,解法二 如圖所示，設(shè)截面處的撓度為，則截面x處的彎矩為,（d）,將（a）式知處的撓度為,代入（d）式并積分后可得 將上述彎曲表達式代入應(yīng)變能計算式（2）可得壓桿應(yīng)變能增量為,將該式與式（b）代入（1）式，即應(yīng)用能量原理可得臨界載荷 與精確解相比，誤差僅有0.77%。,討論： 解法二計算精度明顯高于解法一。這是因為解法一是通過變形計算應(yīng)變能增量，而解法二則是通過彎矩計算應(yīng)變能力增量。前者計算精度取決于w” ，而后者計算精度取決于w。一般情況下，所設(shè)撓度w精度均高于w” ，因此，解法二計算臨界載荷精確度更高一些。,靜力平衡法求解軸向均勻分布載荷作用時的失穩(wěn)臨界載荷,一端固定，一端自由 兩端鉸支 兩端固定,幾種經(jīng)典方法的比較,四種方法求解歐拉壓桿問題，所給出的臨界載荷是相同的。有些結(jié)論有差異。 靜力平衡法只能給出當P=P1、P2、Pn時壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，至于哪種最可能并未給出選擇條件。同時指出在PP1、P2、Pn時，屈曲的變形形式根本不能平衡，因此無法回答直線形式的平衡是不是穩(wěn)定