結(jié)構(gòu)穩(wěn)定與極限荷載.ppt

1、第十二章 結(jié)構(gòu)的極限荷載,121 概述,彈性分析方法容許應力法計算結(jié)構(gòu)強度 強度條件：max = u / k （材料極限荷載 / 安全系數(shù)） （如圖，受彎曲的桿件，彈性受力變形階段的截面應力分布） 對于結(jié)構(gòu)在正常使用條件下的應力和變形狀態(tài)， 彈性計算能夠給出足夠準確的結(jié)果。 缺點：對于塑性材料的結(jié)構(gòu)，特別是超靜定結(jié)構(gòu)， 當最大應力到達屈服極限，某一局部進入塑性階段時， 結(jié)構(gòu)并沒有破壞，因而彈性設計是不夠經(jīng)濟合理的。,塑性分析方法極限荷載方法 強度條件：P P = Pu / K (實際承受的荷載 極限荷載 / 安全系數(shù)) 極限狀態(tài)結(jié)構(gòu)破壞標志： 結(jié)構(gòu)進入塑性階段，并最后喪失承載能力 截面完全達到

2、最大應力 首先要確定結(jié)構(gòu)破壞時所能承擔的荷載 極限荷載， 然后將極限荷載除以安全系數(shù)得出 容許荷載， 并以此為依據(jù)來進行設計。 為了確定結(jié)構(gòu)的極限荷載，必須考慮材料的塑性變形，進行結(jié)構(gòu)的塑性分析：,極限荷載方法 經(jīng)濟合理 局限性只反映結(jié)構(gòu)最后狀態(tài)： 不反映彈性塑性極限狀態(tài)過程 給定K在實際荷載作用下結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)無法確定 設計荷載作用下，大多數(shù)為彈性狀態(tài) 結(jié)構(gòu)設計彈性與塑性計算相互補充 簡化計算： 假設材料 為理想彈塑性材料， 其應力應變關(guān)系 如圖121所示。,加載應力增加材料彈塑性 卸載應力減少材料彈性 在經(jīng)歷塑性變形之后， 應力與應變之間不再存在單值對應關(guān)系， 同一個應力值可對應于不同的應變

3、值， 同一個應變值可對應于不同的應力值。 要得到彈塑性問題的解， 需要追蹤全部受力變形過程。 疊加原理不適用 比例加載 各荷載按同一比例增加,12-2 極限彎矩和塑性鉸 破壞機構(gòu) 靜定梁的計算,一、彈塑性階段工作情況 理想彈塑性材料 T形截面梁 （圖122a） 純彎曲狀態(tài) 基本概念。,圖b：截面處于彈性階段，s （屈服極限） 圖c：截面最外邊緣處s （達到屈服極限） 屈服彎矩（彈性極限彎矩）MS = Ws（W：彎曲截面系數(shù)） 圖d：截面處于彈塑性階段。 靠外部分形成塑性區(qū)，其應力為常數(shù)，s ， 靠內(nèi)部分仍為彈性區(qū)，稱彈性核，其應力直線分布 圖e：截面全部達到塑性極限情形， 這時的彎矩是該截面所

4、能承受的最大彎矩 極限彎矩，以Mu 表示。,特點： 彈性階段 應力為直線分布，中性軸通過截面的形心 彈塑性階段 中性軸的位置將隨彎矩的大小而變化 在塑性流動階段 受拉壓和受壓區(qū)的應力均為常數(shù)s。,塑性鉸當截面彎矩達到極限彎矩時， 截面彎矩不能增大，但彎曲變形可以任意增長 相當于無限靠近的兩個截面可以產(chǎn)生有限相對轉(zhuǎn)角，相當于該截面出現(xiàn)一個鉸，稱為塑性鉸。 特點（與普通鉸的區(qū)別）： （1）能承受極限彎矩Mu； （2）單向鉸塑性鉸 只能沿彎矩增大方向發(fā)生有限的相對轉(zhuǎn)角； 如果沿相反方向變形，則截面立即恢復其彈性而不再具有鉸的性質(zhì)。,二、極限彎矩Mu 極限狀態(tài)，根據(jù)平衡條件， 截面法向應力之和應等于零

5、，由此得,A1和A2分別為受拉區(qū)和受壓區(qū)的面積。 塑性流動階段中的中性軸應平分截面面積。 此時可求得極限彎矩如下：,S1和S2為面積A1和A2對等面積軸的靜矩。WS為塑性截面系數(shù)。,相應的彈性截面系數(shù)和屈服彎矩為：,當截面為bh矩形，相應的塑性截面系數(shù)和極限彎矩為：,對于矩形截面，極限彎矩為彈性屈服彎矩的1.5倍。,截面形狀系數(shù)：,幾種常用截面，值： 矩形：1.5 圓形：1.7 薄壁園環(huán)形：1.271.4（一般取1.3） 工字形： 1.11.2（一般取1.15）,破壞機構(gòu)極限狀態(tài)： 結(jié)構(gòu)出現(xiàn)若干塑性鉸而成為幾何可變或瞬變體系時 結(jié)構(gòu)喪失承載能力,三、梁在橫向荷載下的彎曲 過程：彈性階段彈塑性階

6、段 達到極限狀態(tài)。 彈性階段： 加載初期，各截面彎矩均不超過彈性極限彎矩Ms ； 繼續(xù)加載，直到某個截面的彎矩首先達到Ms時， 彈性階段結(jié)束，此時的荷載叫做彈性極限荷載Ps； 彈塑性階段： 荷載超過Ps時，在梁中即形成塑性區(qū)， 隨著荷載的增大，塑性區(qū)逐漸擴大。 最后，在某截面處，彎矩首先達到極限值Mu ， 極限狀態(tài)： 形成塑性鉸對靜定梁來說，此時結(jié)構(gòu)已變?yōu)闄C構(gòu)， 撓度可以任意增大，承載力已無法再增加。 極限狀態(tài)，此時的荷載稱為極限荷載，以Pu表示。,梁的極限荷載 可根據(jù)塑性鉸截面的彎矩等于極限值的條件， 利用平衡方程求出。,圖123 設有矩形截面簡支梁 在跨中承受集中荷載作用， 試求極限荷載P

7、u。 【解】由靜力條件，有,對于變截面梁，塑性鉸首先出現(xiàn)在,如圖所示，試求極限荷載。 破壞機構(gòu)的可能形式， 既與突變截面D的位置有關(guān)， 也與極限彎矩的比值,有關(guān)。,處。,不同破壞機構(gòu)的實現(xiàn)條件及其相應的極限荷載。 （1）當截面C出現(xiàn)塑性鉸時的破壞機構(gòu)，求相應的極限荷載,（2）當截面D出現(xiàn)塑性鉸時的破壞機構(gòu)，求得極限荷載：,顯然，,（3）討論 如果,則C、D都能實現(xiàn)塑性鉸。這里處于兩種情況的臨界狀態(tài)， 得到相同的結(jié)果：,如果,，則,如果,，則,12-3 單跨超靜定梁的極限荷載,1超靜定梁的破壞過程和極限荷載的特點,超靜定梁多余約束足夠多塑性鉸 機構(gòu)，喪失承載能力 等截面超靜定梁（圖a） （各截面

8、Mu相同） 彈性彈塑性階段極限狀態(tài)過程: （b）彈性階段彎矩圖：PPs,（c）彈塑性階段M圖：荷載超過Ps，塑性區(qū)首先在A端形成并擴大，然后C截面也形成塑性區(qū)。A端首先達到Mu并出現(xiàn)第一個塑性鉸。 （d）極限狀態(tài)M圖：荷載再增加，A端彎矩增量為零，當荷載增加到使跨中截面的彎矩達到Mu時，在該截面形成第二個塑性鉸，于是梁即變?yōu)闄C構(gòu)，而梁的承載力即達到極限值。此時的荷載稱為極限荷載Pu極限狀態(tài)（e）。,2. 靜力法極限荷載Pu 根據(jù)極限狀態(tài)的彎矩圖，由平衡條件推算出來。,由此求得極限荷載,3. 機動法極限荷載Pu 可應用虛功原理來求 外力所作功為,內(nèi)力所作的功為,由虛功方程,即得,超靜定結(jié)構(gòu)極限荷

9、載的計算特點： （1）只需考慮最后的破壞機構(gòu)。 無需考慮結(jié)構(gòu)彈塑性變形的發(fā)展過程， （2）只需考慮靜力平衡條件， 而無需考慮變形協(xié)調(diào)條件， 因而比彈性計算簡單。 （3）不受溫度變化、支座移動等因素的影響。 這些因素只影響結(jié)構(gòu)變形的發(fā)展過程， 而不影響極限荷載的數(shù)值。,4. 極限平衡法超靜定梁的極限荷載,只需根據(jù)最后的破壞機構(gòu)應用平衡條件即可求出。這種求極限荷載的方法，叫極限平衡法。,例141,靜力法：,機動法：WeWi,微元體：極限彎矩Mu與相對轉(zhuǎn)角恒同向，總是作正功,例142,124 比例加載時有關(guān)極限荷載的幾個定理,結(jié)構(gòu)和荷載較復雜真正的破壞機構(gòu)較難確定， 其極限荷載的計算可籍助比例加載的

10、幾個定理 （討論有關(guān)極限荷載的幾個定理，并只討論比例加載的情況。） 1. 比例加載 第一，各荷載增加保持固定比例，荷載包含公共參數(shù)F稱荷載參數(shù)。 第二，荷載參數(shù)F只是單調(diào)增大，不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。 確定極限荷載參數(shù)Fu 討論：梁和剛架等主要抗彎的結(jié)構(gòu)型式， 截面的正極限彎矩與負極限彎矩的絕對值相等。,2. 極限狀態(tài)應當滿足的條件： （1）單向機構(gòu)條件：在極限狀態(tài)中， 結(jié)構(gòu)中已經(jīng)出現(xiàn)足夠數(shù)量的塑性鉸，使結(jié)構(gòu)成為機構(gòu)， 可沿荷載方向（即使荷載作正功的方向）作單向運動。 （2）內(nèi)力局限條件：在極限狀態(tài)中， 任一截面的彎矩絕對值都不超過其極限彎矩， 即 |M|Mu； （3）平衡條件：在極限狀態(tài)中， 結(jié)構(gòu)的

11、整體或任一局部都能維持平衡。,（1）單向機構(gòu)條件（e）： 機構(gòu)沿荷載方向作單向運動。 （2）內(nèi)力局限條件（d）： 彎矩絕對值不超過其極限彎矩， 即 |M|Mu； （3）平衡條件（d）： 維持平衡。,3. 兩個定義： 可破壞荷載（F） 滿足機構(gòu)條件和平衡條件的荷載。 （用平衡條件求得的荷載值，不一定滿足內(nèi)力局限條件） 可接受荷載（F） 滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載。 （即如果在某個荷載值的情況下， 能夠找到某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡， 且各截面的內(nèi)力都不超過其極限值的荷載值， 不一定滿足單向機構(gòu)條件） 極限荷載既是可破壞荷載（F）， 又是可接受荷載（F）， 因為極限狀態(tài)滿足上述三個的條件：,可破壞

12、荷載（F） 滿足機構(gòu)條件和平衡條件 （用平衡條件求得的荷載值， 不一定滿足內(nèi)力局限條件） 可接受荷載（F） 滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件 （某個荷載值， 有某一內(nèi)力狀態(tài)與之平衡， 各截面的內(nèi)力不超過極限值， 不一定滿足單向機構(gòu)條件） 極限荷載 既是可破壞荷載（F）， 又是可接受荷載（F），,C鉸：MC=3Mu Fu=12Mu/l MD=1.5Mu,Fu=6Mu/l MC=1.5Mu MD=0.75Mu,設：Mu13Mu；Mu2Mu,4. 幾個定理及其證明 基本定理： F F 即可破壞荷載F恒不小于可接受荷載F。 【證】取任一破壞結(jié)構(gòu)，給單向虛位移。 取可破壞荷載F、可接受荷載F， 對于相應的單向

13、機構(gòu)位移列出虛功方程，得,內(nèi)力局限條件：,極限狀態(tài)：極限彎矩Mu與相對轉(zhuǎn)角恒同向，總作正功,由上述基本定理可導出下面三個定理： （1）極小定理（上限定理）： Fu F+ 可破壞荷載是極限荷載的上限。 或者說，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。 【證明】因為Fu 屬于 F（極限荷載是可接受荷載） 故由基本定理即得 Fu F+ （2）極大定理（下限定理）： Fu F 可接受荷載是極限荷載的下限， 或者說，極限荷載是可接受荷載中的極大者。 【證明】因為極限荷載是可破壞荷載，F(xiàn)u F （3）唯一性定理：極限荷載值是唯一確定的。因為Fu1，F(xiàn)u2既是可破壞荷載，又是可接受荷載： Fu1 Fu2 ， Fu1

14、 Fu2 ，所以 Fu1 Fu2,極大、極小定理 應用： 求極限荷載的近似解，給出精確解的上下限范圍； 求精確解：完備地列出可能的破壞機構(gòu)，得到相應的可破壞荷載，取其最小者極限荷載。 唯一性定理配合試算法來求極限荷載 試算：取一種破壞機構(gòu)相應破壞荷載驗算是否為可接受荷載是，即滿足三個條件極限荷載 應當指出，同一結(jié)構(gòu)在同一比例加載（廣義力）作用下， 其極限內(nèi)力狀態(tài)可能不止一種，但每一種極限內(nèi)力狀態(tài)相應的極限荷載值則仍彼此相等。 即，極限荷載值是唯一的，而極限內(nèi)力狀態(tài)則并非唯一的,例122a 試求圖126所示梁在均布荷載作用下的極限荷載值,可應用極小定理來求qu。 塑性鉸A可確定，但C待定，設為x

15、。 求可破壞荷載q，對可能位移列出虛功方程,（1）極小定理（上限定理）： Fu F+ 可破壞荷載是極限荷載的上限。 或者說，極限荷載是可破壞荷載中的極小者。,為了求q 的極小值，令,得,棄去x1，由x2求得極限荷載為,12-5 計算極限荷載的窮舉法和試算法,結(jié)構(gòu)和荷載較復雜時，真正的破壞機構(gòu)較難確定， 根據(jù)比例加載的幾個定理，用下述方法計算極限荷載： 窮舉法機動法或機構(gòu)法 列舉所有可能的破壞機構(gòu) 由平衡條件或虛功原理求相應的荷載 取其最小者極限荷載 試算法 任選一種破壞機構(gòu) 由平衡條件或虛功原理求相應的荷載作M圖 若滿足內(nèi)力極限條件極限荷載 若不滿足內(nèi)力極限條件 另選一種破壞機構(gòu)在行試算直至滿

16、足,例12-3試求圖a所示變截面梁的極限荷載 解破壞機構(gòu)2個塑性鉸；可能位置：A、D、C （1）窮舉法 機構(gòu)1 ：A、D塑性鉸（圖b）,機構(gòu)2 ：A、C塑性鉸（圖c）,機構(gòu)3 ：D、C塑性鉸（圖d）,選最小值,（2）試算法 機構(gòu)1 ：A、D塑性鉸（圖12-7b）， 由虛功原理求得 ：,為可破壞荷載，滿足機構(gòu)條件和平衡條件； 分段疊加法繪出M圖（圖e）， 不滿足內(nèi)力極限條件（MCMu） 機構(gòu)2 ：A、C塑性鉸（圖12-7c），求得,可破壞荷載，滿足機構(gòu)條件和平衡條件； 分段疊加法繪出M圖（圖f）， 滿足內(nèi)力極限條件，即同時為可接受荷載極限荷載,12-6 連續(xù)梁的極限荷載,連續(xù)梁（圖128a） 破

17、壞機構(gòu)的可能形式： 各跨獨立形成破壞機構(gòu) （圖b、c、d）， 不可能由相鄰幾跨聯(lián)合 形成一個破壞機構(gòu)（圖e） 因為荷載方向均向下， 各跨的最大負彎矩 只可能發(fā)生在支座截面處。 不可能一跨中部出現(xiàn) 負彎矩塑性鉸（圖e）,連續(xù)梁的極限荷載計算： 對每一個單跨破壞機構(gòu)分別求出相應的破壞荷載 取其中的最小值 得到連續(xù)梁的極限荷載。,【例12-4 】 試求圖所示 連續(xù)梁的極限荷載。 各跨為等截面，極限彎矩如圖 每一個單跨破壞機構(gòu)為 圖b、c、d： （圖d中應為F截面為塑性鉸）,AB跨破壞時（圖b）：,BC跨破壞時（圖c）：,CD跨破壞時（圖d） C支座處取較小的Mu ：,比較以上結(jié)果， 可知CD跨首先破

18、壞， 所以極限荷載為,12-7 剛架的極限荷載,剛架極限荷載計算：窮舉法和試算法。 【圖1210】圖示剛架， 各桿為等截面， 極限彎矩：AC、BEMu；CE2Mu。 計算極限荷載。 首先確定破壞機構(gòu)的可能形式： 由彎矩圖的形狀（求解器計算） 可知塑性鉸只可能 在A、B、C、D、E五個截面出現(xiàn)。 剛架3次超靜定 故只要出現(xiàn)4個塑性鉸， 或直桿上出現(xiàn)三個塑性鉸即為破壞機構(gòu),可能的破壞機構(gòu)：,窮舉法： 機構(gòu)1（圖1210b）：,機構(gòu)2（圖1210c）：,機構(gòu)3（圖1210d）,機構(gòu)4（圖1210e）,選取最小的， 所以極限荷載為,試算法：,選機構(gòu)2（圖1210c）： 求相應荷載,作M圖（圖1211a

19、）： 疊加法作CE的M圖,得MD = 2.67Mu 2 Mu ， 不滿足CE的內(nèi)力局限條件 荷載P不是可接受荷載。,選機構(gòu)3（圖1210d）： 求相應荷載,作M圖（圖1211b）： 疊加法作CE的M圖 得MC = 0.42Mu Mu ， 滿足AC的內(nèi)力局限條件 荷載是可接受荷載。 故機構(gòu)3即為極限狀態(tài)， 極限荷載為,*12-8 矩陣位移法求剛架的極限荷載,以矩陣位移法為基礎的增量變剛度法， 簡稱為增量法或變剛度法， 適合電算解復雜的極限荷載問題。 假設： （1）當出現(xiàn)塑性鉸時，假設塑性區(qū)退化為一個截面 （塑性鉸處的截面），而其余部分仍為彈性區(qū)。 （2）荷載按比例增加 所有荷載可用一個荷載參數(shù)F

20、表示， 且為結(jié)點荷載因而塑性鉸只出現(xiàn)在結(jié)點處。 若有非結(jié)點集中荷載，可把荷載作用截面當做結(jié)點處理 （3）每個桿件的極限彎矩為常數(shù)， 但各桿的極限彎矩可不相同。 （4）忽略剪力和軸力對極限彎矩的影響。,1增量變剛度法的基本思路 把原來的非線性問題轉(zhuǎn)化為分階段的幾個線性問題 兩個特點： （1）把總的荷載分成幾個荷載增量， 進行分階段計算，因而叫做增量法。 以新塑性鉸的出現(xiàn)作為分界標志， 把加載的全過程分成幾個階段： 由彈性階段開始，過渡到一個塑性鉸階段， 再過渡到兩個塑性鉸階段， 最后達到結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)。 每一個階段有一個相應的荷載增量， 由此可算出相應的內(nèi)力和位移增量， 累加后便得到總的內(nèi)力和位

21、移。,（2）對于每個荷載增量，仍按彈性方法計算， 但不同階段要采用不同的剛度矩陣， 因而叫做變剛度法。 在施加某個荷載增量的階段內(nèi)， 由于沒有新的塑性鉸出現(xiàn)， 因此結(jié)構(gòu)中塑性鉸的個數(shù)和位置都保持不變 在此階段內(nèi)的結(jié)構(gòu) 可看作是具有幾個指定鉸結(jié)點的彈性結(jié)構(gòu)； 當由前一階段轉(zhuǎn)到新的階段時， 由于有新的塑性鉸出現(xiàn)， 結(jié)構(gòu)就變?yōu)榫哂行碌你q結(jié)點的彈性結(jié)構(gòu)， 其剛度矩陣需要根據(jù)新塑性鉸情況進行修改,F,1,F1,F=F1+F,F1,F,=,+,以圖a所示的梁為例加以說明。 （1）彈性階段： 零荷載P1 第一個塑性鉸出現(xiàn),【解】單位荷載P=1作用單位彎矩圖（ 圖），,其中控制截面A和B的彎矩組成單位荷載的彎

22、矩向量,相應截面的極限彎矩 和單位彎矩相比:,A點比值較小,最小比值發(fā)生在A點，其值為,上述最小比值我們用P1來表示。 當荷載增大到：,梁的彎矩為：,相應的彎矩向量,為：,（2）一個塑性鉸階段： P1 P2 第二個塑性鉸出現(xiàn) 【解】截面A應改為單向鉸結(jié)點 結(jié)構(gòu)降低一次超靜定， 改成簡支梁。 單位荷載P=1作用 彎矩圖（ 圖）。 第二個塑性鉸出現(xiàn)時 所需施加的荷載增量 可按下式確定：,此荷載增量引起彎矩增量為,（3）極限狀態(tài) 出現(xiàn)兩個塑性鉸后，結(jié)構(gòu)已成為單向機構(gòu)， 從而達到極限狀態(tài)。極限狀態(tài)的彎矩M：,極限荷載為：,例12-6試用增量變剛度法求 圖示剛架的極限荷載。 解（1）第一階段計算 原剛架

23、在單位荷載P=1作用下， 單位（力）彎矩圖（圖b ） 各控制截面的比值 中，,以截面D的比值為最小， 即為第一階段終結(jié)荷載：,第一個塑性鉸出現(xiàn)在截面D。(圖c),（2）第二階段計算 把截面D改為鉸結(jié)點， P=1， 作出新的單位彎矩圖 （圖a- 圖）,在各控制截面中 以截面E的比值為最小，,這個比值就是第二階段的荷載增量，即,彎矩增量為,荷載和彎矩的累加值分別為：,第二個塑性鉸在截面E出現(xiàn)(圖c),（3）第三階段計算 除截面D外， 再把截面E改為鉸結(jié)點， P=1， 作出新的單位彎矩圖 （ 圖a- 圖）,求各控制截面的比值,其中以截面A的比值為最小,P3作用下的彎矩增量為,荷載和彎矩的累加值分別為

24、,第三個塑性鉸在截面A處出現(xiàn)(圖c),（4）第四階段計算 再把截面A改為鉸結(jié)點， P=1，新的單位彎矩圖（ ),求各控制截面的比值,其中以截面C的比值為最小,M4 = M4P4（圖b）,（5）極限狀態(tài) 除D、E、A處， 再把截面C改為鉸結(jié)點， 剛架已變?yōu)闄C構(gòu)， 處于極限狀態(tài)M4， 于是P4就是極限荷載，即,荷載和彎矩的累加值分別為,第四個塑性鉸在截面C處出現(xiàn)。,使用SMSolver計算Mi圖 VB程序設計變剛度法,第十三章 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定131 概述,結(jié)構(gòu)設計 強度驗算：最基本的和必不可少的 穩(wěn)定驗算：在某些情況下顯得重要 薄壁結(jié)構(gòu)高層建筑：剪力墻、筒中筒結(jié)構(gòu) 高強度材料結(jié)構(gòu)鋼結(jié)構(gòu)： 鋼框架、大

25、跨屋架、橋梁 受壓比較容易喪失穩(wěn)定 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定計算： 小撓度理論方法簡單，結(jié)論基本正確。 大撓度理論結(jié)論精確，方法復雜。,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)： 原始的平衡狀態(tài)，隨荷載增大，喪失其穩(wěn)定性 （由穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡狀態(tài)） 兩類穩(wěn)定問題兩種基本形式： 第一類穩(wěn)定問題分支點失穩(wěn) 第二類穩(wěn)定問題極值點失穩(wěn)。,結(jié)構(gòu)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性 （以直桿受壓為例） 設結(jié)構(gòu)： 原來處于某個平衡狀態(tài)， 受到輕微干擾 而稍微偏離其原來位置； 干擾消失后： 穩(wěn)定平衡狀態(tài) 恢復平衡位置： 直線平衡形式，只受壓力 不穩(wěn)定平衡狀態(tài) 繼續(xù)偏離，不能回到原來位置； 彎曲平衡形式，受壓、彎 中性平衡狀態(tài)（隨遇平衡） 由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡過渡的 中間狀

26、態(tài)。,1分支點失穩(wěn)（第一類穩(wěn)定問題） 以簡支壓桿為例。（圖a） 完善體系（理想體系）: 桿軸理想直線 荷載理想中心受壓荷載（無偏心） 微小干擾發(fā)生彎曲（圖b）,隨壓力P增大， 考查F與中點撓度之間的關(guān)系曲線 F-曲線（平衡路徑）（圖c）： OAFFcr，0，直線平衡 A點FFcr，直線平衡 彎曲平衡 （力不增加，位移可以增加）,直線形式的平衡狀態(tài) 穩(wěn)定： 單純受壓，無彎曲 原始平衡狀態(tài)： 路徑I原始平衡路徑： 曲線由直線OA表示。 （受到干擾，偏離平衡位置； 干擾消失，恢復平衡位置） 原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。 （唯一的平衡形式）；,F2 Fcr ： 兩種不同形式的平衡狀態(tài)： 直線形式 路徑I （

27、AD段） 彎曲形式 路徑II （AC段：大撓度理論） （AB段：小撓度理論） 點D 對應的平衡狀態(tài) 是不穩(wěn)定的： 受到干擾而彎曲， 干擾消失，繼續(xù)彎曲（偏離） 直到C,D,分支點： 兩條平衡路徑和的交點A 分支點失穩(wěn)： 平衡形式的二重性： OA穩(wěn)定平衡 AD不穩(wěn)定平衡 穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)變。 分支點A 對應的荷載臨界荷載 對應平衡狀態(tài)臨界狀態(tài)。 結(jié)構(gòu)分支點失穩(wěn) 特征：分支點 F Fcr 原始平衡形式 由穩(wěn)定轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定， 并出現(xiàn)新的平衡形式。,D,I（穩(wěn)定）,I（不穩(wěn)定）,II,喪失第一類穩(wěn)定的現(xiàn)象可在其他結(jié)構(gòu)中發(fā)生。 圖示承受荷載的結(jié)構(gòu)： a所示承受均布水壓力的圓環(huán)：園非園 b承受均布荷載的拋物線拱

28、c剛架：軸向受壓壓縮和彎曲 d懸臂工字梁：平面彎曲斜彎曲和扭轉(zhuǎn),喪失第一類穩(wěn)定性的特征： 結(jié)構(gòu)的平衡形式 即內(nèi)力和變形狀態(tài) 發(fā)生質(zhì)的突變： 原有平衡形式成為不穩(wěn)定， 同時出現(xiàn) 新的有質(zhì)的區(qū)別的 平衡形式。,2極值點失穩(wěn) （第二類穩(wěn)定問題） 以簡支壓桿為例（圖133） 非完善體系（圖a） ： 具有初曲率 承受偏心荷載 加載 處于受壓和彎曲平衡狀態(tài) F曲線（圖b） 小撓度理論（- - - -） F Fe(歐拉臨界值) 撓度 大撓度理論（-） F Fcr（極值點A） 極值點后荷載下降 不穩(wěn)定,Pe,大撓度理論： F Fcr OA穩(wěn)定平衡 A點以后，荷載下降， 位移增加 AB不穩(wěn)定平衡 A點為極值點

29、荷載達到極大值。 平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 在極值點處 平衡路徑 由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡。 這種失穩(wěn)形式稱為極值點失穩(wěn)。 極值點相應的荷載極大值臨界荷載。,喪失第二類穩(wěn)定性的特征： 結(jié)構(gòu)的 平衡形式不發(fā)生質(zhì)的突變 變形按原有形式迅速增長， 以致使結(jié)構(gòu)喪失承載能力。 非完善體系的失穩(wěn)形式 極值點失穩(wěn)。 F圖：平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象 而 F曲線具有極值點,3穩(wěn)定計算確定臨界荷載 工程結(jié)構(gòu)： 實際情況第二類穩(wěn)定問題，分析復雜 簡化計算第一類穩(wěn)定問題， 分析簡單，偏心的影響通過各種系數(shù)解決； 基本方法： 根據(jù)平衡的二重性 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時可具有兩種平衡形式出發(fā) 確定臨界荷載。 靜力法應用靜力平衡條件 能量法

30、應用以能量形式表示的平衡條件,a一個自由度b兩個自由度c無限多自由度,結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度 確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時所有可能的變形狀態(tài) 所需的獨立參數(shù)數(shù)目,4小結(jié) 結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)存在兩種基本形式： 完善體系是分支點失穩(wěn)； 非完善體系是極值點失穩(wěn)。 分支點失穩(wěn)形式的特征： 存在不同平衡路徑的交叉， 在交叉點處出現(xiàn)平衡形式的二重性。 極值點失穩(wěn)形式的特征： 雖然只存在一個平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點。 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題 大撓度理論能得出精確的結(jié)論， 小撓度理論優(yōu)點：計算簡單 從實用的觀點特別是在分支點失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值，但也應注意某些結(jié)論的局限性 討論：完善體系分支點失穩(wěn)問題， 根據(jù)小撓度理論求

31、臨界荷載。,13-2 用靜力法確定臨界荷載,以結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時平衡的二重性為依據(jù)， 應用靜力平衡條件， 尋求結(jié)構(gòu)在新形式下能維持平衡的荷載， 其最小值即為臨界荷載。 單自由度完善體系 分支點失穩(wěn) 圖示剛性壓桿 單自由度完善體系。 a豎直位置（圖a） 原始平衡形式 b傾斜位置（圖b） 按自由度運動時是否平衡？,a原始平衡形式（圖a） b傾斜位置（圖b） 是否平衡？ 平衡條件： mA = 0, Fl sink0 彈簧反力：k （小撓度理論） 位移微小sin 則（Flk）0 平衡方程有兩個解： = 0 原始平衡形式。 Flk0 新的平衡形式。 穩(wěn)定方程（特征方程） 解：臨界荷載Fcr = kl,Pl si

32、n,平衡方程有兩個解： = 0 原始平衡形式。 Pl k 0 新的平衡形式。 穩(wěn)定方程（特征方程） 解：臨界荷載Fcr = kl P曲線（圖c）中， 交點A分支點。 將原始平衡路徑I為分兩段： OA上的點屬于穩(wěn)定平衡，=0 AB上的點屬于隨意平衡狀態(tài)， 可為任意值 （簡化計算的假象） 若大撓度理論： Fl sin k0， 0，則如AC）,對于n個自由度結(jié)構(gòu)， 可對新的平衡形式列出n個平衡方程， 應該是n個獨立參數(shù)的齊次方程。 根據(jù)n個參數(shù)不能全為零（否則對應原始平衡形式）， 因而系數(shù)行列式D等于零的條件建立穩(wěn)定方程：D0,【例131】 兩個自由體系，求其臨界荷載 （圖a）原始平衡形式。 （圖b

33、）傾斜位置 新的平衡形式 應用小撓度理論 假設位移是微量 齊次方程有兩類解： 即零解和非零解 非零解y1、y2是新的平衡形式,C點支座反力為：FYC F 變形狀態(tài)的平衡條件:,AB：mB0 A-B-C : mC0,體系由原始平衡狀態(tài) 轉(zhuǎn)到任意變形狀態(tài)（圖b） 設A點和B點的水平位移分別為y1和y2 相應的支座反力分別為：,系數(shù)行列式不等于零, 則零解（即y1、y2全為零）是齊次方程（f）的唯一解 原始平衡形式是體系唯一的平衡形式 系數(shù)行列式等于零，即,除零解外，齊次方程（f）還有非零解。 除原始平衡形式外，體系還有新的平衡形式 平衡形式即有二重性 體系處于臨界狀態(tài)的靜力特征 穩(wěn)定問題的特征方程

34、,（f）,解得兩個特征值：,最小的特征值臨界荷載,特征方程,展開,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形式：,將特征值Fcr代回齊次方程 可求得y1/y2的比值。 位移比值組成的向量 特征向量：,圖136c 僅理論上存在,無限自由度結(jié)構(gòu) 靜力法確定臨界荷載步驟相同 首先確定結(jié)構(gòu)的新的平衡形式 列出平衡方程微分方程（非代數(shù)方程） 求解 邊界條件 一組與未知常數(shù)數(shù)目相等的齊次方程； 非零解 系數(shù)行列式D0 穩(wěn)定方程（超越方程） （解）無窮多根最小者臨界荷載,中心受壓彈性直桿 M = Fy FS（l x） 撓曲線的近似微分方程：,通解：,已知邊界條件： x 0，y 0 ， y 0， x l，y 0 代入通解，可得關(guān)于A、B、F

35、S/F 的齊次方程：,零解原始直線平衡形式,非零解新的平衡形式 系數(shù)行列式應等于零,特征方程：D0,y1 nl 和 y2 tgnl 的函數(shù)圖線， 其交點橫坐標即為方程的根。 3/2= 4.71，nl=4.7左右 試算法：（表131） 特征值：nl 4.493,133 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定,（圖138）剛架 壓桿 彈性支座 （圖a） AB壓桿， BC桿對AB桿的 轉(zhuǎn)動約束作用 （圖b） 簡化為彈性支座的壓桿 （圖c） 轉(zhuǎn)動剛度：,圖138,坐標系xy 分支點失穩(wěn)新的平衡形式： y1 B端反力矩：,A端反力FS：,取截面x，桿段Ax：平衡微分方程：,式中三個待定常數(shù)A、B、1 ， 由邊界條件確定

36、： x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = 0,通解,特征方程：,彈簧剛度 k1已知 可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得臨界荷載Fcr,特殊情況： k1 0 ，即兩端鉸支，,k1 ，即一端鉸支，一端固定,一般情況（圖139c） 壓桿三個彈性支座 坐標系xy 分支點失穩(wěn) 新的平衡形式y(tǒng)： 邊界條件： 桿端0 、 1 、2 桿端反力：,任取截面x，桿段1x,任取截面x，桿段1x：平衡微分方程：,式中4個待定常數(shù)A、B、 、 1 ，由邊界條件確定： x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = ; y= -2,5個待定常數(shù)，其中1個為不獨立的，由整

37、體平衡條件可得其它常數(shù)表示,整體：,關(guān)于A、B、2的 齊次方程非零解： 特征方程穩(wěn)定方程:,（136） 彈性支座壓桿 穩(wěn)定方程的 一般情形,（圖138b）一端彈性固定，另一端鉸支。 k2 = 0，k3 = （= 0），2 不作為獨立參數(shù),k2 = 0,0,0,0,整體平衡，k20,（133）,（圖139a）一端彈性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0,（圖139a）一端彈性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0,（134）,（圖139b）一端固定，另一端側(cè)向彈性約束。 k2 = 0，k1 = ,（圖139b）一端固定，另一端側(cè)向彈性約束。 k2 = 0，k1 = ,（135）

38、,【例132】 （圖1310） 對稱剛架對稱荷載（圖a） 失穩(wěn)形式正對稱（圖b） 反對稱（圖c）,正對稱取半跨（圖d） 彈性轉(zhuǎn)動約束： k1 2i1 22EI/l 4EI/l 由式（133）,2i1,反對稱取半跨（圖e） 與（圖139a）相同 （水平位移無約束） 彈性轉(zhuǎn)動約束： k1 32i1 322EI/l 12EI/l 由式（154）,與典型壓桿形式相比： 正對稱失穩(wěn)比兩端簡支增加彈性約束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2 （9.87） 反對稱失穩(wěn)比一端固定，一端自由減少約束 Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（2.47） 所以結(jié)構(gòu)必以反對稱形式失穩(wěn)。,

39、13-4 用能量法確定臨界荷載,基本方法有兩類： 根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的方法，稱為靜力法； 根據(jù)臨界狀態(tài)的能量特征而提出的方法，稱為能量法。 靜力法問題： 微分方程具有變系數(shù)，不能積分為有限形式 邊界條件較復雜，微分方程為髙階行列式 不易展開和求解 能量法較為簡便 結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時平衡的二重性為依據(jù) 應用能量形式表示平衡條件 確定臨界荷載。,勢能駐值條件用位移表示的平衡方程 在分支點失穩(wěn)問題中， 臨界狀態(tài)的能量特征是： 勢能為駐值，且位移有非零解。 勢能是位移y1的二次式，其關(guān)系曲線是拋物線。（圖） F Fcr ，勢能是負定的。 原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 F= Fcr ， 體系處于中性

40、平衡狀態(tài)，即臨界狀態(tài) 荷載即臨界荷載 臨界狀態(tài)的能量特征還可表述為： 在荷載達到臨界值的前后，勢能由正定過渡到非正定。 對于單自由度體系，則由正定過渡到負定。,勢能駐值原理 能量形式表示的平衡條件： 對于彈性結(jié)構(gòu)， 在滿足支承條件和位移連續(xù)條件的 一切虛位移中， 同時又滿足平衡條件的位移 （即真實位移）， 使結(jié)構(gòu)的勢能為駐值。 即結(jié)構(gòu)勢能的一階變分對于零 EP0 結(jié)構(gòu)勢能 結(jié)構(gòu)應變能 外力勢能 EP = VE + V 應變能 EP = ky2i（按材料力學公式計算） 外力勢能V = Fii（外力虛功的負值）,有限自由度結(jié)構(gòu),一組關(guān)于ai的齊次方程組， 要使ai不全為零， 則方程組的系數(shù)行列式應

41、等于零 穩(wěn)定方程 臨界荷載,結(jié)構(gòu)的勢能,勢能駐值原理,【例133】 單自由體系(圖a) 失穩(wěn)時微小偏移（圖b）,彈簧應變能為,荷載勢能為,為桿端豎向位移,體系的勢能為,y10， 臨界荷載,【例134】（圖1312a） 具有兩個變形自由度的體系。,能量法,彈性支座 應變能,荷載勢能,在圖b中，1點的豎直位移為,結(jié)構(gòu)勢能 EPVEV,結(jié)構(gòu)勢能,應用勢能駐值條件：,得勢能駐值條件的解包括全零解和非零解。 求非零解，建立特征方程,展開式得,解得兩個特征值：,最小的特征值叫做臨界荷載，即,無限自由度結(jié)構(gòu)勢能,應變能：,荷載作用點下降 取微段ds與投影dx之差,積分,外力勢能：,外力勢能,結(jié)構(gòu)勢能,其中撓

42、曲線函數(shù) y 未知 無限多獨立參數(shù)。 結(jié)構(gòu)勢能為撓曲線函數(shù)y的函數(shù) 泛函求極值問題變分法問題 瑞利李茲法 近似為有限多自由度,應變能,瑞利李茲法： 假設撓曲線為有限個已知函數(shù)的線性組合,i(x)滿足位移邊界條件的已知函數(shù) 表132（p34） ai任意參數(shù)，共n個 原體系被近似地看作有n個自由度的體系。 求解Fcr 為近似解（按有限自由度求解）,* Fcr Fcr (精確解)（p34） 因為所假設的撓曲線與真實的曲線不同， 故相當于加入了某些約束， 從而增大了壓桿抵抗失穩(wěn)的能力,彎曲應變能,再求與F相應的位移（壓桿頂點的豎向位移）。 為此，先取微段AB進行分析。,荷載勢能,體系勢能,勢能駐值條件

43、,即,（i1,2, . n）,【例135】 圖示兩端簡支的中心受壓柱， 試用能量法求其臨界荷載。 簡支壓桿的位移邊界條件為： 當x=0 和x=l 時，y=0 （1）假設撓曲線為正弦曲線：,滿足壓桿兩端的邊界條件 應變能及外力勢能 :,結(jié)構(gòu)勢能：,與靜力法的精確解相同， 所設撓曲線即是真實撓曲線。,（2）假設撓曲線為拋物線,（3）取跨中橫向集中力FS作用下的撓曲線作為變形形式,誤差為0.01,（4）討論：假設撓曲線臨界荷載值 拋物線誤差為21.6%。 跨中橫向集中力作用下的撓曲線誤差為1.3%， 正弦曲線，失穩(wěn)真實變形曲線臨界荷載是精確解,誤差為21.6,【例136】 試求圖137所示壓桿的臨界

44、荷載,坐標系如圖，兩端位移邊界條件為 當x=0時，y=0，y=0 當x=l時，y=0 假設變形曲線為 取表132中第四種 相應位移條件的多項式級數(shù)前兩項：,a1、a2不全為零：,【例137】 圖示等截面柱，下端固定、上端自由， 試求在均勻豎向荷載作用下的臨界荷載值qcr,均布荷載q，需要另行計算外力勢能： 微段ds轉(zhuǎn)角y，產(chǎn)生豎向位移：,微段以上荷載FS=q（l-x） 在此位移上做功 FSd,所有荷載所作之功為沿桿長積分：,ds,d,坐標系如圖 兩端位移邊界條件為 當x=0時，y=0 y=0 根據(jù)上述位移邊界條件， 假設變形曲線為 取表132中 相應位移條件的三角級數(shù)（a）的兩項：,積分求應變能與外力勢能：,135 變截面壓桿的穩(wěn)定,兩種變截面壓桿：階梯形、截面慣性矩按冪函數(shù)變化 1階梯型直桿（圖1316a） 上下兩部分剛度為：EI1 、EI2 壓桿失穩(wěn)時 上下兩部分的位移為： y1 、y2 平衡微分方程：,通解：,有五個未知常數(shù)：A1、B1、A2、B2、 已知邊