專題05 解析幾何-2018年高考數(shù)學考前回歸課本之典型考點練習指導 Word版含解析

1、專題五 解析幾何【高考考點再現(xiàn)】解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，其中蘊含豐富的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想等因此，要注意數(shù)學思想方法在問題解決過程中的核心地位近幾年解析幾何內(nèi)容考查的題型歸納與分析如下： 考什么怎么考題型與難度1圓與圓錐曲線的定義、標準方程與性質(zhì)考查圓錐曲線的定義、標準方程與性質(zhì)題型：選擇題或填空題難度：基礎題2直線與(圓)圓錐曲線的位置關系主要考查直線與圓錐曲線的位置關系題型：解答題難度：中檔題或難題3與(圓)圓錐曲線有關的范圍與最值主要考查與圓錐曲線有關的范圍與最值問題，常與函數(shù)、不等式交匯命題題型：解答題難度：中檔題或難

2、題4定點、定值的探究與證明考查以直線、圓、圓錐曲線為載體，探究直線或曲線過定點；考查與圓錐曲線有關的定值問題題型：解答題難度：中檔題或難題5 (圓)圓錐曲線中的點、線、參數(shù)等存在性問題考查以圓錐曲線為載體，探究平分面積的線、平分線段的點等問題；考查某解析式成立的參數(shù)是否存在題型：解答題難度：中檔題或難題 【典型考點分析】【名師點評】圓的問題主要是定義和性質(zhì)；圓錐曲線（橢圓、拋物線、雙曲線）主要是曲線的定義、標準方程、曲線性質(zhì)（焦點、離心率、準線、漸近線）；綜合性問題主要是位置關系、范圍、面積、定點、定值等。下面舉幾個例子說明（一）離心率問題：【例1】（2017全國卷理15）已知雙曲線C：（a0

3、，b0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點若MAN=60，則C的離心率為_ 【名師點評】本題主要考查以離心率為背景的雙曲線的概念與性質(zhì)解題的關鍵是：合理構(gòu)建符合題意的圖像，挖掘幾何性質(zhì)，從中轉(zhuǎn)化抽象出參數(shù)的等量關系式；注意用好雙曲線中與參數(shù)有關的幾個不變量：（1）雙曲線的焦點到漸近線的距離是；（2）雙曲線的頂點到漸近線的距離是（3）本題從特殊值角度令關聯(lián)基本量，則可大幅度減小計算量（二）面積最值：【例2】（2016全國卷理20）已知橢圓E:的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于，兩點，點在上，（1）當，時，求的面積；（2）當時，求的取值范圍【

4、解析】（1）解法一：當時，由于，根據(jù)對稱性可知，所以，得，所以又，所以，所以解法二：設點，且交軸于點 因為，且，所以，由，得又，所以，解之得或所以，所以（2）設直線，則，所以； 同理因為，所以，所以【名師點評】解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和建立不等關系，根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍，因此這類問題的難點，就是如何建立目標函數(shù)和不等關系建立目標函數(shù)或不等關系的關鍵是選用一個合適變量，其原則是這個變量能夠表達要解決的問題，這個變量可以是直線的斜率、直線的截距、點的坐標等，要根據(jù)問題的實際情況靈活處理（三）定點問題：【例3】（2017福建省質(zhì)檢）已知點，直線，直線垂直于點，

5、線段的垂直平分線交于點（1）求點的軌跡的方程；（2）已知點，過且與軸不垂直的直線交于兩點，直線分別交于點，求證：以為直徑的圓必過定點【解析】（1）依題意得，即到直線的距離與到點的距離相等，所以點的軌跡是以為焦點， 為準線的拋物線設拋物線方程為，則，即點的軌跡的方程是 （2）由題意可設直線，代入，得，設，則；又，設直線的斜率分別為，則，設，令，得，同理，得，從而；又以為直徑的圓的方程為： ，即，即，令，解得或，從而以為直徑的圓恒過定點和【名師點評】該類問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識交匯，形成了過定點、定值等問題的證明難度較大定點、定值問題是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，

6、那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關系不受變化的量所影響的一個點、一個值，就是要求的定點、定值化解這類問題難點的關鍵就是引進變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量（四）定值問題：【例4】如圖，點，分別為橢圓的左右頂點，為橢圓上非頂點的三點，直線的斜率分別為，且， （）求橢圓的方程；（）判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由【解析】（），橢圓（）設直線的方程為，的面積為定值1【解析】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設條件，得出與代數(shù)

7、式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得【典型考點過關練習】一、單選題1已知雙曲線的離心率為，其左焦點為，則雙曲線的方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】D 雙曲線的標準方程為故選D.點睛：本題考查雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，根據(jù)題設條件求出， ， 的值是解決本題的關鍵.2直線與拋物線交于， 兩點， 為的焦點，若，則的值是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B【解析】分析：由正

8、弦定理將角化邊可得，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可知為的中點，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出點坐標，即可求出的值詳解：分別過， 項拋物線的準線作垂線，垂足分別為， ，則， . 設直線與軸交于點，則. 拋物線的方程為拋物線的準線方程為，即點在準線上. 根據(jù)正弦定理可得，即為的中點.聯(lián)立方程組，消去可得： .設， ，則.為的中點，即.直線的斜率為故選B.點睛：本題考查直線與拋物線的位置關系及拋物線的性質(zhì)的應用，對于直線與圓錐曲線的問題，通常通過聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程的方程組，應用韋達定理，進而求解問題，故解答本題的關鍵是證出為的中點.3已知雙曲線的右焦點為，其中一條漸近線與圓交于兩點，為銳角三角形

9、，則雙曲線的離心率的取值范圍是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心坐標與半徑，利用點到直線的距離，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化求解即可詳解：雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為，圓的圓心，半徑為，漸近線與圓交于兩點，為銳角三角形，可得：可得又可得可得：，由可得所以雙曲線的離心率的取值范圍是故選D點睛：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，圓的簡單性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想已經(jīng)計算能力4已知雙曲線的右焦點恰好是拋物線（）的焦點，且為拋物線的準線與軸的交點， 為拋物線上的一點，且滿足，則點到直線的距離為（ ）A. B. C. D. 【答案】D 點睛：解決該題的關鍵是要把

10、握拋物線的定義，將相關量放到一個三角形中去解決即可.5已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線上的任意一點，過點作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點，若四邊形（為坐標原點）的面積為，且，則點的橫坐標的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題易知四邊形PAOB為平行四邊形,且不妨設雙曲線C的漸近線,設點P(m,n),則直線PB的方程為y-n=b(x-m),且點P到OB的距離為,由,解得,又,又,雙曲線C的方程為,即,又,解得或,所以點P的橫坐標m的取值范圍為,故選A. 二、填空題6設，雙曲線： 與圓：相切，若圓上存在一點滿足，則點到軸的距離為_. 【答案】

11、點睛：此題主要考查雙曲線定義、方程、焦點等，圓的方程、圓心、半徑等，以及求二次函數(shù)的解等有關方面的知識與運算技能，屬于中高檔題型，也是常考題型.在解決此類問題中，常需要聯(lián)立方程，消去一元，得到另一元的二次方程，由于兩曲線相切，因此方程有唯一解，由判別式求出參數(shù)的值，再代回方程，從而問題得于解決.7設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點， ，則_【答案】2.【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,

12、考查拋物線的幾何性質(zhì)和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.8已知拋物線與圓相交于兩點，且這兩點間的距離為，則該拋物線的焦點到準線的距離為_【答案】【解析】分析：先判定是兩曲線的一個公共點，利用兩點的距離和點在圓上確定另一交點的坐標，再將點的坐標代入拋物線方程進行求解.詳解：顯然是拋物線與圓的一個交點，設另一個交點為，因為，所以，聯(lián)立，得，又在拋物線上，則，解得，即該拋物線的焦點到準線的距離為.點睛：解決本

13、題的技巧是：此題沒有按常規(guī)思路（聯(lián)立拋物線和圓的方程，求出交點坐標，再利用到原點的距離公式進行求解），而是先判定原點是其中一個交點，先利用距離公式得到另一點的軌跡，聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，避免了繁瑣的運算.9設為橢圓上在第一象限內(nèi)的一點，分別為左、右焦點，若，則以為圓心，為半徑的圓的標準方程為_【答案】【解析】為橢圓上在第一象限內(nèi)的一點，分別為左、右焦點，即.以為圓心，為半徑的圓的標準方程為.故答案為.點睛：本小題主要考查考查橢圓的定義，由于點即是橢圓上的點，故點滿足橢圓的定義，再根據(jù)列方程組，解方程組即可求得的值，進而利用勾股定理得出，從而可得圓的方程.10過拋物線：的焦點的直線與拋物線交

14、于、兩點，過、兩點分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為、，若，則拋物線的方程為_【答案】點睛：本題主要考查拋物線的應用，屬于基礎題。考查作圖能力，計算能力。 三、解答題11已知平面上動點到點的距離與到直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設是曲線上的動點，直線的方程為.設直線與圓交于不同兩點， ，求的取值范圍；求與動直線恒相切的定橢圓的方程；并探究：若是曲線： 上的動點，是否存在直線： 恒相切的定曲線？若存在，直接寫出曲線的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）設設，根據(jù)動點到點的距離與到直線的距離之比為，建立方程，即可求得曲線的方

15、程；（2）先求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理可表示出，再根據(jù)及，即可求得的取值范圍，從而可得的取值范圍；取， ，直線的方程為，取， 時，直線的方程為，根據(jù)橢圓對稱性，猜想的方程為與直線相切，由此聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為恒成立，即可推出存在，若是曲線： 上的動點，結(jié)合以上結(jié)論可得與直線相切的定曲線的方程為.詳解：（1）設，由題意，得.整理，得，所以曲線的方程為.（2）圓心到直線的距離直線于圓有兩個不同交點， 又由，得.又因此， ，即的取值范圍為.當， 時，直線的方程為；當， 時，直線的方程為，根據(jù)橢圓對稱性，猜想的方程為.下證：直線與相切，其中，即.由消去得： ，即.恒成立，從而直線與橢圓： 恒相切

16、.若點是曲線： 上的動點，則直線： 與定曲線： 恒相切.點睛：在圓錐曲線中研究范圍，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時，常從以下方面考慮：利用判別式構(gòu)造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的關鍵是兩個參數(shù)之間建立等量關系；利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的方法，確定參數(shù)的取值范圍.12已知拋物線的焦點為，為軸上的點.（1）當時，過點作直線與相切，求切線的方程；（2）存在過點且傾斜角互補的兩條直

17、線，若，與分別交于，和，四點，且與的面積相等，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1) 切線的方程為或;(2) 的取值范圍為或或.【解析】分析：（1）設切點為，再求切線的斜率和切點，最后寫出直線的點斜式方程化簡即得解. (2)先求出的面積為，的面積為.再令它們想到得到找到a的范圍.詳解：（1）設切點為，則點處的切線方程為.過點，解得或.當時，切線的方程為或.（2）設直線的方程為，代入得， ，得， 由題意得，直線的方程為，同理可得，即， 得，. 設，則，.點到的距離為，的面積為.同理的面積為.由已知得，化簡得， 欲使有解：則，.又，得，.綜上，的取值范圍為或或.點睛：本題的難點在第（2）問，首先要求出與

18、的面積，涉及到較復雜的字符運算，其次是求出，要想到函數(shù)，分析出a的范圍，最后是不要漏掉了，其中也包含了a的范圍.所以在解答數(shù)學問題時，要學會分析數(shù)學問題，同時要嚴謹.13已知橢圓的左、右焦點為.過作直線交橢圓于，過作直線交橢圓于，且垂直于點.()證明：點在橢圓內(nèi)部；()求四邊形面積的最小值.【答案】（1）見解析（2）【解析】分析：()由可求得，從而橢圓標準方程，再由已知求出點軌跡方程為，而此圓在題設橢圓內(nèi)部，因此可證P點在橢圓內(nèi)部；詳解：()由題意得,故,所以橢圓方程為.由于分別為過兩焦點, 且垂直相交于點,則的軌跡為以為直徑的圓，即的軌跡方程為,又因為，所以點在橢圓內(nèi)部.()當斜率不存在時,

19、直線的方程為, 此時直線的方程為,此時四邊形的面積為.同時當斜率為0時,此時的斜率不存在,易得.當斜率存在且不為0時，設直線方程為,直線方程為,設,聯(lián)立，消去整理得,所以,所以.同理得則令，則即當，即時，綜合上式可得，當時，.求最值的其它方法:,令,得,因為,當時，,且是以為自變量的增函數(shù)，所以.綜上可知,. 即四邊形面積的最小值為.方法二:當斜率為0,此時直線軸,此時四邊形的面積為.同時當斜率為0時，此時軸，易得.當斜率存在且不為0時,設直線方程為,直線方程為,設，聯(lián)立,消去整理得,所以,所以.同理得則下同解法一.點睛：要圓錐曲線中直線與圓錐曲線相交的弦長問題，一般是把直線與圓錐曲線方程聯(lián)立

20、方程組，消元得一元二次方程，同時設兩交點坐標為，利用韋達定理得（或），再由弦長公式得弦長，這是解析幾何中的“設而不求”思想.14已知橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為，且過點，圓是以線段為直徑的圓，經(jīng)過點且傾斜角為的直線與圓相切.（1）求橢圓及圓的方程； （2）是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且滿足？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【答案】（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2）不存在【解析】分析：（1）由題意得，再根據(jù)橢圓過點得到關于的方程組，求解后可得橢圓和圓的方程（2）先假設存在直線滿足條件（）當直線斜率不存在時，可得直線方程為，求得點的坐標后驗證可得；（）

21、當直線斜率存在時，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關系可得不成立從而可得不存在直線滿足題意詳解：(1)由題意知,，圓的方程為由題可知，解得，所以橢圓的方程為，圓的方程為. （）當直線的斜率存在時，設方程為， 因為直線與圓相切，所以，整理得由消去y整理得，設，則，因為，所以，則，即，所以，所以，整理得由得，此時方程無解.故直線不存在由（i）（ii）可知不存在直線滿足題意.點睛：圓錐曲線中存在性問題的求解步驟假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(

22、點、直線、曲線或參數(shù))不存在15如圖，橢圓 的左、右焦點分別為， 軸，直線交軸于點， ， 為橢圓上的動點， 的面積的最大值為1. （）求橢圓的方程；（）過點作兩條直線與橢圓分別交于，且使軸，如圖，問四邊形的兩條對角線的交點是否為定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.【答案】（）；（） .【解析】分析：（） 意味著通徑的一半， 最大面積為，所以，故橢圓的方程為.()根據(jù)對稱性，猜測定點必定在軸上，故可設， ，則， ，再設，根據(jù)三點共線可以得到，聯(lián)立直線和橢圓的標準方程后消去，利用韋達定理可以得到，從而過定點，同理直線也過即兩條直線交于定點.詳解：（）設，由題意可得，即.是的中位線，且，即，整理得.又由題知，當在橢圓的上頂點時， 的面積最大，整理得，即，聯(lián)立可得，變形得，解得，進而.橢圓