彈性力學(xué)第四章 用極坐標(biāo)解平面問題

1、第四章 用極坐標(biāo)解平面問題4.1.極坐標(biāo)中的平衡微分方程工程上常?？梢杂龅綀A形、環(huán)形、楔形或扇形類的結(jié)構(gòu)物。在這些情況下，用直角坐標(biāo)描述邊界條件會變得相當(dāng)復(fù)雜，由于極坐標(biāo)使得結(jié)構(gòu)的邊界與坐標(biāo)線一致，因而使邊界條件的描述更加簡單，使問題更易于求解。圖4.2單元體上的應(yīng)力圖4.1極坐標(biāo)下的應(yīng)力符號首先我們定義極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量和體積力分量。用夾角為的兩條極徑和兩條半徑相差為的同心圓弧截取一個微元體（圖4.1）。圓弧截面稱為面。面的法向沿徑向而且指向增加方向，這一圓弧面稱為正面，反之稱為負(fù)面。極徑截面稱為面。面的法向沿環(huán)向而且指向增加方向，這一極徑截面稱為正面。反之稱為負(fù)面。面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)

2、力用表示。面上的正應(yīng)力用表示，剪應(yīng)力用表示。用表示體積力在徑向的分量,用表示體積力在環(huán)向的分量。應(yīng)力的符號規(guī)定與直角坐標(biāo)下的規(guī)定完全相同：正面上指向正向（坐標(biāo)增加的方向）的應(yīng)力為正值應(yīng)力，負(fù)面上指向負(fù)向（坐標(biāo)減小的方向）的應(yīng)力亦為正值應(yīng)力，反之，為負(fù)值的應(yīng)力。體積力符號規(guī)定也與直角坐標(biāo)下的規(guī)定相同，指向坐標(biāo)軸正向（坐標(biāo)增加的方向）的體積力為正值，反之，為負(fù)值。直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間具有嚴(yán)格的變換關(guān)系。從理論上說，我們完全可以通過坐標(biāo)變換的方法由直角坐標(biāo)的基本方程導(dǎo)出極坐標(biāo)下的相應(yīng)方程。但是，為了加深對極坐標(biāo)下平衡方程物理意義的理解，我們?nèi)匀煌ㄟ^極坐標(biāo)下的微分單元體的平衡導(dǎo)出極坐標(biāo)下的平衡微分方程

3、。我們?nèi)∫粋€微分單元體研究，各個面上的應(yīng)力分量和體積力如圖4.2所示。負(fù)面上的正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為；正面的坐標(biāo)比負(fù)面增加了，所以正面的應(yīng)力和負(fù)面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個增量，分別為和。負(fù)面上的正應(yīng)力為，剪應(yīng)力為；正面的坐標(biāo)比負(fù)面增加了，所以正面的應(yīng)力和負(fù)面相比，應(yīng)力產(chǎn)生了一個增量，分別為和。由于微分單元體厚度是1，所以負(fù)面的面積為，正面的面積為；正、負(fù)面的面積均為。體力為和。各面的合力對形心求矩，可以再次證明剪應(yīng)力互等定理。 （4.1）取各面上的力在方向上的平衡，有：（a）由于是個微量，所以有和成立。把它們用于（a）式并略去高一階的無窮小量。利用剪應(yīng)力互等定理并在方程兩邊同除以,整理后得 （b）再考

4、察各面上的力在方向上的平衡，同理可得： （c）（b）式和（c）式聯(lián)立得到一組平衡微分方程： （4.2）這個方程組中包含了、和三個獨立的未知函數(shù)，方程本身比直角坐標(biāo)下的相應(yīng)方程復(fù)雜得多。一般情況下，它的求解也復(fù)雜得多。4.2. 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程在4.1節(jié)中我們導(dǎo)出了三個應(yīng)力分量應(yīng)該滿足的平衡微分方程。但是僅僅通過兩個方程求解三個未知函數(shù)是不夠的，必須找到一個補(bǔ)充方程，也就是說要考慮變形幾何關(guān)系。首先要定義在極坐標(biāo)中的應(yīng)變分量與位移分量。比照在直角坐標(biāo)中的應(yīng)變分量的定義辦法，我們定義與應(yīng)力相對應(yīng)的應(yīng)變，表示徑向線段的線應(yīng)變（徑向正應(yīng)變），表示環(huán)向線段的線應(yīng)變（環(huán)向正應(yīng)變），表示徑向線段

5、和環(huán)向線段之間的直角改變量（剪應(yīng)變）。位移分量是按照位移的方向定義的，表示徑向位移，表示環(huán)向位移。圖4.3徑向位移變形幾何方程是描述位移和應(yīng)變之間關(guān)系的一組方程。欲研究平面彈性體在極坐標(biāo)下的變形，要選取相互正交的徑向線段和環(huán)向線段。徑向線段，環(huán)向弧線所含的弧度為，弧長。線段端點及其坐標(biāo)分別為，和。由于極坐標(biāo)中正交線段的位移可以看作沿徑向的位移和沿環(huán)向位移的合成。在分析位移與應(yīng)變關(guān)系時我們分兩步完成，第一步先考察正交線段僅發(fā)生徑向移動（不考慮環(huán)向位移）所產(chǎn)生的位移與應(yīng)變分量間的關(guān)系（圖4.3）。正交線段的徑向移動使點移動到點，位移為，點移動到點，由于、兩點極角相同，點極徑比點的極徑增加了，所以其

6、徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量，點的位移為，這兩點的環(huán)向位移，的轉(zhuǎn)角為零。線段的伸長量可以通過兩個端部、兩點的位移差計算，產(chǎn)生的徑向線應(yīng)變?yōu)?，?（a）正交線段的徑向移動同時使點移動到點，由于、兩點極徑相同，點極角比點的極角增加了，所以其徑向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量，點的徑向位移為，這兩點的環(huán)向位移也有。同理，弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)椋?（b）由于、兩點徑向位移不同，就使得產(chǎn)生了一個轉(zhuǎn)角， （c）故剪應(yīng)變?yōu)?（d）圖4.4環(huán)向位移第二步是在第一步的基礎(chǔ)上研究徑向位移后的兩條線段端點、和只發(fā)生環(huán)向位移而不發(fā)生徑向位移（圖4.4）。正交線段的環(huán)向移動使點移動到點，位移為，點移動到

7、點。點極徑比點的極徑增加了，所以其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來的函數(shù)增量，點的環(huán)向位移為， （e）這兩點的徑向位移。線段位移到后，其伸長量可以視為零，所以其徑向線應(yīng)變 （f）正交線段的徑向移動使點移動到點，由于點極角比點的極角增加了，其環(huán)向位移產(chǎn)生一個由于變化帶來增量，點的環(huán)向位移為：弧所產(chǎn)生的環(huán)向線應(yīng)變?yōu)?，也就是?（g）由圖4.5可以看出，線段位移到所轉(zhuǎn)過的角度包含兩部分，一部分是徑線轉(zhuǎn)動到的位置時剛體轉(zhuǎn)動角， （h）另一部分是環(huán)向位移使線段轉(zhuǎn)動到位置時轉(zhuǎn)過的角度，只有這一部分轉(zhuǎn)角才是正交線段的直角改變量，可以這樣計算 （i） （j）把兩種位移產(chǎn)生的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變疊加 （k）把

8、（a）、（b）、（d）、（f）、（g）和（j）式代入（k）式后得到總的徑向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變和剪應(yīng)變與位移之間的關(guān)系，即幾何方程如下： （4.3）式中是由徑向位移產(chǎn)生的環(huán)向應(yīng)變，是由環(huán)向位移產(chǎn)生的剛體轉(zhuǎn)動角度。所得到的平衡微分方程描述的力學(xué)量之間的關(guān)系，幾何方程描述的是幾何量間的關(guān)系。幾何方程要作為補(bǔ)充方程，必須把幾何量轉(zhuǎn)化為力學(xué)量，物理方程就為完成這種轉(zhuǎn)變提供了依據(jù)。物理方程是描述力和變形之間的關(guān)系的，在彈性力學(xué)中描述的是應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系。由于極坐標(biāo)也是正交坐標(biāo)系，微分單元體和直角坐標(biāo)是一致的，所以力和變形之間所遵循的規(guī)律是完全一致的，因此物理方程形式不變。在平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標(biāo)形

9、式為 （4.4）寫成矩陣的形式為 （4.）按照與2.4節(jié)相同的做法，可以得到用應(yīng)變表示應(yīng)力的平面應(yīng)力狀態(tài)下物理方程的極坐標(biāo)形式 （4.5）其矩陣形式為 （4.）將（4.4）式中的和分別用和代換，可以得到平面應(yīng)變狀態(tài)下物理方程的極坐標(biāo)形式 （4.6）它的矩陣形式為 （4.）至此，我們已經(jīng)得到兩個獨立的平衡微分方程，三個幾何方程和三個物理方程，計八個方程，含有需要求解的八個未知函數(shù)，具備了求解的基本條件。4.3極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程圖4.6極坐標(biāo)下的方向角在平面直角坐標(biāo)系求解問題時，采用應(yīng)力函數(shù)是一種行之有效的方法，我們在用極坐標(biāo)求解時也試圖采用同樣的方法，為此我們需要導(dǎo)出極坐標(biāo)下用應(yīng)力函數(shù)

10、求解的基本方程。這里僅考慮體積力為常量的情況。首先把用直角坐標(biāo)表示的拉普拉斯方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)表示。通過兩個坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換很容易的得到應(yīng)力函數(shù)從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，。下面我們用求在極坐標(biāo)下對和的方向?qū)?shù)的方法導(dǎo)出極坐標(biāo)下用應(yīng)力函數(shù)描述的相容方程。和之間的夾角為（圖4.6），所以在極坐標(biāo)下對的方向一階導(dǎo)數(shù)為 （a）把整體視為新函數(shù)，再求對它對的一階導(dǎo)數(shù)，即用它代替（a）式中的得到 (b)所以有 (c)由于方向?qū)?shù)比x方向的角度增加了，所以求應(yīng)力函數(shù)在極坐標(biāo)下對方向一階導(dǎo)數(shù)時僅需把對x方向求導(dǎo)的(c)式右邊各項中用代換即可。因此有即 （d）按照與推導(dǎo)（b）式相似的做法可以得到應(yīng)力函數(shù)對、的混合導(dǎo)

11、數(shù)所以有 （e）把(c)式和（d）式相加得出拉普拉斯算子的極坐標(biāo)表達(dá)式 （f）由于，所以用應(yīng)力描述的變形相容方程為 （4.）（4.）式可以寫成 （4.7）把(c)式和（d）式代入應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程中就可以得到極坐標(biāo)下的相容方程。 （4.8）把（4.6）市展開為 （4.）由此可以看出，用極坐標(biāo)解答平面問題時，也和直角坐標(biāo)一樣，只需選擇某一個應(yīng)力函數(shù)，求出各應(yīng)力分量，并要求它們能滿足所給彈性體所有的邊界條件即可。4.4.應(yīng)力的坐標(biāo)變換在4.3節(jié)我們已經(jīng)導(dǎo)出用極坐標(biāo)描述的直角坐標(biāo)應(yīng)力、和，只要完成用直角坐標(biāo)應(yīng)力表示極坐標(biāo)下的應(yīng)力，把前面所得到的結(jié)果代入，不難導(dǎo)出極坐標(biāo)下應(yīng)力的應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式。這里

12、我們通過坐標(biāo)變換完成兩種坐標(biāo)系下的應(yīng)力變換。圖4.6面上的應(yīng)力變換在數(shù)學(xué)中可以用坐標(biāo)變換矩陣給出坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后一點的坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)之間的關(guān)系： （a）即 （b）如果直角坐標(biāo)下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標(biāo)中的徑向（圖4.6），利用（2.）式可以得到斜截面上應(yīng)力在向和向的分量為 （c）圖4.7面上的應(yīng)力變換那么斜截面上應(yīng)力在向和向的分量正是極坐標(biāo)下的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，由坐標(biāo)變換可以得到它們與的關(guān)系： （d）把（c）式代入（d）式得到： （e）如果直角坐標(biāo)下的應(yīng)力單元體斜截面的法向正好是極坐標(biāo)中的切向（圖4.7），那么截面上應(yīng)力在向和向的分量為 （f）那么斜截面上應(yīng)力在向和向的分量正是極坐標(biāo)

13、下的剪應(yīng)力和正應(yīng)力，由坐標(biāo)變換可以得到它們與的關(guān)系： （g）把（f）式代入（g）式得到： （h）把（e）式和（h）式分別擴(kuò)展為矩陣，而后相加就得到直角坐標(biāo)應(yīng)力分量變換成極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量。 （4.9）用矩陣符號表示為 （i）式中 極坐標(biāo)下的應(yīng)力矩陣； 直角坐標(biāo)下的應(yīng)力矩陣；二維的坐標(biāo)變換矩陣；二維的坐標(biāo)變換矩陣的逆矩陣。把（4.9）式展開得到從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)下的應(yīng)力變換公式 （4.10）通過對（i）式作矩陣運算可以求出從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)下的應(yīng)力變換矩陣式 （j）把（j）式展開則得到從極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)下的應(yīng)力變換公式 （4.11）從理論上講，把4.3節(jié)導(dǎo)出的用極坐標(biāo)描述的直角坐標(biāo)應(yīng)力，和代入到

14、（4.10）式中去，就可以得到極坐標(biāo)下的應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)間的關(guān)系。這需要作一些煩瑣的運算。為簡單起見，我們給出4.3節(jié)導(dǎo)出的描述直角坐標(biāo)應(yīng)力的（c）式、（d）式和（e）式如下： （4.3c） （4.3d）（4.3e）把（4.3c）式、（4.3d）式與（4.11）式相比較，很容易得到 （4.12）可以證明:當(dāng)時,(4.12)能滿足平衡微分方程(4.2)式。在極坐標(biāo)下略去體積力分量而按應(yīng)力求解平面問題時，可歸結(jié)為根據(jù)（4.8）式求出應(yīng)力函數(shù)，然后根據(jù)（4.12）求出各應(yīng)力分量，再使它們滿足邊界上的應(yīng)力邊界條件，同時要滿足位移單值條件。4.5軸對稱問題的一般解圖4.8深埋的壓力管道在工程上有一些結(jié)構(gòu)是

15、旋轉(zhuǎn)體，而且他們所承受的荷載及約束又是關(guān)于軸截面對稱的，如架空的或埋置較深的地下管道（圖4.8）、隧道以及機(jī)械上緊配合的軸套等。像這類構(gòu)件的幾何形狀、受力及約束關(guān)于通過軸的平面對稱而且無體積力作用的彈性力學(xué)問題簡稱為軸對稱問題。取形心為極坐標(biāo)的原點。由于彈性體內(nèi)的各力學(xué)量都是關(guān)于任意通過原點的軸為對稱的，所以同一圓周上的任意兩個單元體都是對稱的，其應(yīng)力一定也是對稱的。換句話說，軸對稱問題的應(yīng)力僅僅是極徑的函數(shù)，而與無關(guān)。由于在一個截面上是反對稱的應(yīng)力，在軸對稱的情況下必不可能存在，即。同樣?？梢姡谳S對稱問題中僅僅存在和兩個應(yīng)力分量，而且它們只是的函數(shù)，。我們首先求軸對稱問題的應(yīng)力分量。由于不

16、考慮體積力，而且應(yīng)力分量中不含，所以在軸對稱的條件下平衡微分方程（4.2）式中的第二式自然滿足。這樣一來，獨立的平衡微分方程只有一個： （4.13）其相容方程為 （4.14）（4.14）式可以寫成 （a）將（a）式積分兩次得到 （b）平衡微分方程（4.13）式改寫為把它與（b）式相加， （c）方程（c）的特解和相應(yīng)的非其次方程的通解分別為， （d）由此得到徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力分別為 （e）由于應(yīng)力是有界的，所以必有。把（e）式中的常數(shù)重新命名得到： （4.15）此后，我們再求軸對稱問題的位移分量。由于并不知道坐標(biāo)原點的約束情況，一般情況下位移是與極角有關(guān)的。把（4.15）式代入物理方程（4.

17、4）求出各應(yīng)變分量，而后再用幾何方程（4.3）將應(yīng)變分量用位移表示，則有 （f）由（f）第一式積分得 （g）把（g）式代入（f）式中的第二式，經(jīng)整理有把此式積分求得 （h）把（g）式（h）式代入（f）式中的第三式，得到 （i）對于兩個獨立的變量要保持（i）式恒成立，必須有 （k）由此得出 （j） （l）求解方程(j)，（j）式為線性微分方程，可用分離變量法求解:其通解為 （m）（l）式對求導(dǎo)，得出 （n）解之得 （p）把（p）式代入（l）式，運算后可求得 （q）把（p）式代入（g）式得把（m）式和（q）式代入（h）式得由此我們得出極坐標(biāo)下軸對稱問題的位移解： （4.16）式中A、C、F、I、K

18、都是任意常數(shù)，其中F、I、K和2.3節(jié)中的w、u0、v0一樣，代表剛體位移(由位移邊界確定)。如果是平面應(yīng)變問題，則僅需把式（4.16）做換成、換成的代換即可求得其位移分量。4.6受壓圓環(huán)或圓筒的解圖4.9承受內(nèi)壓和外壓的圓環(huán)深埋地下的受壓管道可以簡化為軸對稱的力學(xué)模型，截取單位厚度的薄片就可以視為平面應(yīng)變問題。為了簡單起見我們首先分析平面應(yīng)力問題，而后可以通過彈性系數(shù)的代換得到平面應(yīng)變的解。單位厚度的厚壁圓筒內(nèi)半徑,外半徑，承受均布的內(nèi)壓力，外壓力（圖4.9）。該問題簡化為軸對稱問題，的內(nèi)邊界應(yīng)力邊界條件為 （a）的外邊界應(yīng)力邊界條件為 （b）根據(jù)4.5節(jié)，軸對稱的應(yīng)力分量為 （4.17）顯

19、然，和自然能夠滿足。利用邊界條件（a）式和（b）式， （c）求解關(guān)于和的方程組（c）得到，把和的值代入（4.17）式，即得拉梅（Lame）解: （4.18）4.5節(jié)給出了軸對稱問題的位移分量為 （4.16）若適當(dāng)給定約束條件，不僅彈性體無剛性位移，對稱面上亦無沿周向的位移，則圖4.10圓筒受內(nèi)壓，根據(jù)（4.18）式的結(jié)果討論幾種特例。1.只受內(nèi)壓（，）這是壓力容器最常見的受力方式，其應(yīng)力為 （4.19）沿軸向受壓應(yīng)力作用，沿環(huán)向受拉應(yīng)力作用，分布狀態(tài)見圖4.10。最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力均在內(nèi)壁。，。圖4.11圓筒受外壓2.只受外壓（，）這是深埋管道的受力方式，其應(yīng)力為 （4.20），均為壓應(yīng)力

20、，分布狀態(tài)見圖4.11。徑向最大壓應(yīng)力在外壁，而環(huán)向最大壓應(yīng)力在內(nèi)壁。，當(dāng)遠(yuǎn)達(dá)于時，內(nèi)壁，3.無限域開圓孔在內(nèi)壓用下當(dāng)時圖4.12圓孔的應(yīng)力集中 （4.20）驗證圣維南原理：由圖4.12可以看出，在處，應(yīng)力很小，可以不計，即在內(nèi)壓作用下，在處圓孔的影響可略而不計。4.針孔問題（應(yīng)力集中）在含有針孔的大板受均勻分布的外壓時，在內(nèi)徑時可見，孔徑雖然很小，但孔邊應(yīng)力卻提高了近2倍，這就是應(yīng)力集中現(xiàn)象。工程實際中常在孔邊發(fā)生開裂，就是這個原因。4.7壓力隧洞（無限大彈性體內(nèi)的內(nèi)壓圓筒）像埋置較深的地下輸送液體或氣體的管道、帶有內(nèi)襯的地下巷道或隧道等結(jié)構(gòu)物，在研究內(nèi)層管道本身的應(yīng)力與變形的同時，常常需要

21、考慮外層材料的受力與變形。對這類問題的分析需要利用兩個彈性體在接觸面上的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，所以它也是一種接觸問題。按接觸條件可以把接觸問題分為兩大類：一類是完全接觸，即兩彈性體的接觸面保持緊密接觸，不發(fā)生相對滑動。（a）在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力也相等；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移相等，環(huán)向位移也相等。另一類是非完全接觸，即兩彈性體的接觸面是光滑的，但接觸面依然保持緊密接觸。（a）在接觸面上的應(yīng)力條件是正應(yīng)力相等，剪應(yīng)力等于零；（b）在接觸面上的位移條件是徑向位移相等，而環(huán)向位移不相等（相對滑動）一般來說壓力隧洞屬于完全接觸。設(shè)圓管埋置的深度遠(yuǎn)大于其直徑，可以視為圓筒是埋在無

22、限大彈性體中，管內(nèi)部受均勻分布的壓力（圖4.13）。管道材料的彈性常數(shù)、，彈性體材料的彈性常數(shù)、，求管道和外層彈性體的各應(yīng)力分量。顯然這是一個軸對稱問題，它們的應(yīng)力分布也是軸對稱的，所以4.5節(jié)和4.6節(jié)的結(jié)果（4.15）式和（4.16）式仍然適用。圖4.13壓力隧洞分別給出圓筒、無限大彈性體的應(yīng)力與位移表達(dá)式，但須注意它們具有不同的材料彈性常數(shù)及積分常數(shù)。圓筒的各應(yīng)力分量為： （4.17）無限大彈性體的各應(yīng)力分量為 （4.21）在兩組方程中有四個待定常數(shù)。根據(jù)圣維南原理，當(dāng)時無窮遠(yuǎn)處應(yīng)力近乎為零，所以在（4.21）式中有： （a）由此得出。要確定另三個待定常數(shù)還需要三個條件。利用圓筒內(nèi)表面的

23、邊界條件有 （b）無限大彈性體和圓筒的接觸面上，它們的面力是作用力與反作用力的關(guān)系，所以徑向面力相等：，把代入即有 （c）要確定還要利用兩個部分的變形連續(xù)條件。由于這里取出的單位厚度的薄片屬于平面應(yīng)變問題，所以求圓筒的位移需要對（4.16）式進(jìn)行換成、換成的代換，變?yōu)?（4.22）無窮遠(yuǎn)處的彈性體內(nèi)各點位移為零，而且兩彈性體是完全接觸，所以約束可看作是軸對稱的，故有，也就是說，僅有存在。平面應(yīng)變狀態(tài)下圓筒外邊界的徑向位移為： （d）同理，含圓孔的無限大體的位移為 （4.23）同樣，無限大體的位移中，即所以有。注意到，平面應(yīng)變狀態(tài)下無限大體內(nèi)的徑向位移為 （e）在無限大體內(nèi)圓孔邊界的徑向位移為

24、（g）由于兩物體接觸面的徑向位移相等，即 （h）由第（h）式整理： （i）令,（i）式改寫成 （j）（b）式、（c）式和（h）式聯(lián)立 （k）求解關(guān)于A、C、A 的三元一次方程組（k）式求得 （k）把A、A 、C、C 回代到應(yīng)力分量表達(dá)式（4.15）和（4.21）式中，得到各應(yīng)力分量為：圖4.14壓力隧洞應(yīng)力分布（4.24）當(dāng)nr）。這就將薄板直邊界轉(zhuǎn)換為圓邊界（圖4.16），從而可以采用極坐標(biāo)研究。在半徑為的圓周上各點受力狀態(tài)都是均勻拉伸狀態(tài)，即，由坐標(biāo)變換式（4.10）式求得邊界上極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量，以此作為無限遠(yuǎn)處的應(yīng)力邊界條件。圖4.16新建的邊界 （a）圓孔的邊界條件為：, （b）根據(jù)

25、無限遠(yuǎn)處應(yīng)力邊界條件可以看出：和的分布是關(guān)于軸和軸對稱的，是周期為的函數(shù)，而是關(guān)于軸和軸反對稱，也是周期為的函數(shù)。為此，設(shè)板內(nèi)各點的三個應(yīng)力分量函數(shù)形式具有與遠(yuǎn)處應(yīng)力相類似的形式，分別為： （c）把（c）式分別代入平衡微分方程（4.2）式和相容方程（4.7）式可得 (d)要使（d）式中關(guān)于自變量的函數(shù)sin2或cos2的多項式恒為零，得到兩組方程：第一組方程 (e)比照4.5節(jié)中方程（4.12）式的解法，同樣利用應(yīng)力的有界性，由方程組（e）解得 （f）第二組方程 （g）（g）式中的第三式是關(guān)于的歐拉方程，它的特征根，所以它的解為 (h)（g）式中的第一式減去第二式，把（h）式代入其中后可以得到

26、 (i) (j)(h)式和(j)式相減得到 （k）代入方程（g）式中的第二式即 （l）方程（l）的一個特解為方程（l）的通解是 把h代入（j）式和（k）式中，得到 由于應(yīng)力是有界的，所以。由此得出應(yīng)力的函數(shù)表達(dá)式 （m）利用應(yīng)力邊界條件確定常數(shù)，的外邊界的應(yīng)力邊界條件（a）為 （n）由此確定出常數(shù)和，。利用的內(nèi)邊界上的應(yīng)力邊界條件,則有 （p）由此得出,。含圓孔的無限大板單向均勻拉伸下的解為 (4.25)在的孔邊，環(huán)向應(yīng)力圓周上環(huán)向應(yīng)力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表4-1：表4-1圓周上幾個重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)在的徑線上環(huán)向應(yīng)力的徑線上環(huán)向應(yīng)力幾個重要的數(shù)據(jù)列于表4-2：表4-2徑線上幾個重要的應(yīng)力數(shù)據(jù)圖4.

27、17給出了三條徑線上環(huán)向應(yīng)力的分布情況。研究圓孔邊的應(yīng)力分布可以看出，孔邊附近的局部區(qū)域應(yīng)力發(fā)生應(yīng)力增大的現(xiàn)象，我們稱之為應(yīng)力集中?？走叺淖畲髴?yīng)力與無孔時應(yīng)力的比值稱為應(yīng)力集中系數(shù)。在的圓周上，時，有最大值 (4.26)孔邊的最大應(yīng)力比無孔時提高了2倍。圓孔的應(yīng)力集中系數(shù)。圖4.17孔邊的應(yīng)力分布當(dāng)時，在軸上應(yīng)力已接近于均勻分布。說明時圓孔的影響已經(jīng)很小，這再次驗證了圣維南原理的正確性。沿著的軸方向環(huán)向應(yīng)力為處，；在處，（圖4.17）。在的區(qū)間內(nèi)，壓應(yīng)力的合力為換言之，當(dāng)圓孔處于壓應(yīng)力作用下時，在孔邊也會產(chǎn)生最大值為的拉應(yīng)力。對于抗拉性能較差的材料來說特別應(yīng)該注意。所得到的單向均勻拉伸應(yīng)力場中

28、圓孔的解可以很容易用于求解雙向均勻拉伸圓孔（圖4.18）的應(yīng)力分析中去。把(4.25)式中的角度用代替，就得到向拉伸的解。如果向分布力的集度為（圖4.18b），向分布力的集度為（圖4.18c），那么用疊加法可求得雙向均勻拉伸情況下圓孔邊的應(yīng)力解（圖4.18a）（a） （b） （c）圖4.18兩向均勻拉伸情況下應(yīng)力場的疊加 （q）即使在任意平面應(yīng)力狀態(tài)下，只要應(yīng)力變化梯度不大而且圓孔直徑又足夠小?？梢韵惹蟪鲈搮^(qū)域內(nèi)的主應(yīng)力、（或）。令，（或），再利用（q）式計算圓孔的應(yīng)力集中。嚴(yán)格地說這樣做是有誤差的，但其結(jié)果仍可以給出有實用價值的初步估算。4.9平面楔頂部受力.半無限平面受法向力4.9.1.平

29、面楔頂部受力有一單位厚度的平面楔，楔體的中心角為2，下端當(dāng)作無限延伸。在楔頂部單位厚度上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用（圖4.19），不計體積力，計算楔形體中的應(yīng)力。圖4.19a平面楔受集中力我們采用主應(yīng)力坐標(biāo)系求解該問題較為簡單。為此，我們首先建立主用力坐標(biāo)系并導(dǎo)出拉梅麥克斯韋爾方程。所謂主應(yīng)力坐標(biāo)系是指由兩個主力的跡線所構(gòu)成的坐標(biāo)系。彈性體內(nèi)的主應(yīng)力、正交，主應(yīng)力的跡線為，主應(yīng)力的跡線為。規(guī)定由轉(zhuǎn)到逆時針向為正，而且增加時應(yīng)力矢量逆時針向轉(zhuǎn)時為正向（圖4.20）。在主應(yīng)力坐標(biāo)系下，每個以兩組平行的坐標(biāo)面截得的微單元體上僅有正應(yīng)力和作用，而沒有剪應(yīng)力作用。令， (a)圖4.20主應(yīng)力坐標(biāo)系根

30、據(jù)斜方向上的應(yīng)力公式可以得到、方向的應(yīng)力分別為 (4.27) 把（4.27)式代入平衡微分方程（2.2）式的第一式，注意到、和都是、的函數(shù)。那么主應(yīng)力坐標(biāo)系下的平衡微分方程為 （b）為了簡單起見，現(xiàn)在就主應(yīng)力跡線恰好與方向一致，而且主應(yīng)力跡線也恰好與方向一致的特殊情況導(dǎo)出主應(yīng)力跡線坐標(biāo)下的平衡微分方程。由于我們并不確知單元體上兩個主應(yīng)力的大小，這里把和方向一致的主應(yīng)力作為，和方向一致的主應(yīng)力作為并不影響對問題的討論。顯然，時，所以（b）式可以寫成 （c）把（a）式代入（c）式，正是主應(yīng)力跡線曲率，用曲率半徑表示為，所以有 （d）做與此相同的推導(dǎo)，可以把平衡微分方程（2.2）的第二式也寫成用主應(yīng)

31、力及其跡線的曲率表示的形式，由此得出主應(yīng)力坐標(biāo)下的平衡微分方程拉梅麥克斯韋爾方程。 （4.28）楔頂部受集中荷載F的邊界條件為，顯然，的直線都是主應(yīng)力跡線。由于本問題屬于對稱問題，所以的對稱面上沒有剪應(yīng)力作用，直線也是一條主應(yīng)力跡線。顯然三條主應(yīng)力跡線交于一點。根據(jù)主應(yīng)力跡線的性質(zhì)可以推斷：三條主應(yīng)力跡線的交點就是這種主應(yīng)力跡線的一個交匯點，也就是說的主應(yīng)跡線是匯聚于的射線族。另一組主應(yīng)力跡線與該射線族中各條主應(yīng)力跡線正交，故必為一組以為圓心的同心圓弧?？梢娭鲬?yīng)力跡線坐標(biāo)系的坐標(biāo)線正是極坐標(biāo)的極徑線，而坐標(biāo)線正是環(huán)線，即，。這時曲率半徑有，而且，。方程（4.28）作如上代換，主應(yīng)力跡線坐標(biāo)系極

32、坐標(biāo)系下的平衡微分方程變?yōu)?(e)由(e)式中的第二式積分得到根據(jù)邊界條件，所以 (f)把(f)式代入（e）式的第一式，得出解此方程得到 (g)把(f)式和(g)式代入應(yīng)力表示的相容方程（4.7）式 (h)由（h）式得為自變量，所以有解之得到代入（g）式，有 （i）式中I、J是待定常數(shù)，要確定I、J 必須利用頂部的合力條件。取半徑為的部分楔體，利用隔離體在向和向的平衡：解得，半無限楔體頂部單位厚度上受方向沿對稱軸的集中荷載F作用下的應(yīng)力解為 （4.26）圖19b平面楔頂受集中力如果平面楔頂受任意集中力，可以把集中力分解為沿對稱面x向的Fx和y向的Fy(圖3)。平面楔頂僅受Fy作用又可以轉(zhuǎn)化受兩

33、個作用的反對稱問題，其應(yīng)力也必然是反對稱的。如果x軸截面存在剪應(yīng)力，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理知道圓弧面上的剪應(yīng)力分布違背了反對稱規(guī)律?？芍獂面上，同樣得出主應(yīng)力跡線坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系是等價的結(jié)論。可按上述解法，只需將邊界條件改為這樣可得解為 （11）由此不難得到受斜任意集中力F作用時的解，通常稱為密切爾解。4.9.2.半無限平面受法向集中力圖4.21半無限平面受法向力如果，則上述問題轉(zhuǎn)化成半無限平面受法向力（圖4.21）。單位厚度上的力為F ，邊界條件為，。在（4.26）式中令，則得到半無限平面受法向集中力的解 （4.27）由（4.27）式的第一式得出 (k)(k)式表明，直徑圓上各點，應(yīng)力是相等的，

34、此時應(yīng)力解可以表示成 （4.）4.9.3.半無限平面受法向力的位移計算（4.27）式代入物理方程（4.4）式，得出位移分量 （l）把（l）式代入幾何方程（4.3）式得到 （m）由（m）式的第一式對積分得到徑向位移 (n)把（n）式代入（m）式的第二式，經(jīng)運算可以得到 （o）該式對積分得到環(huán)向位移 （p）把（n）式和（p）式代入（m）式的第三式，得到 這是一個分別以和為自變量的兩個函數(shù)構(gòu)成的恒等式，由此可以得到關(guān)于函數(shù)和函數(shù)的兩個方程。第一個方程是 （q）即求解得到 （r）第二個方程是 （s）方程（s）是積分方程，對求導(dǎo)得到微分方程 （t）方程（t）對應(yīng)的齊次方程的通解為方程（t）的一個特解為所

35、以方程（t）的解為 （u）把（u）式代入（s）式，可以得出 （v）把（u）式、（v）式和（r）式分別代入(n)式和（p）式得出半無限平面內(nèi)各點的位移分量把和帶入到（p）式可得到，得到的位移分量寫成 （w）式中、和為待定常數(shù)。根據(jù)對稱性知道，在處，環(huán)向位移，即由此得出。把它們代入（w）式便得到半無限平面的位移解 （4.28）式中表示剛體位移，必須利用約束條件才能確定。對稱軸上各點的位移為半無限平面邊界上各點的位移為 （x）我們把半無限平面邊界上各點沿向的位移稱作沉降量。由于無法確定，所以只能選取一個足夠遠(yuǎn)的基點作為相對位移的參考點。把要求點的位移相對基點的差值作為相對沉降量（圖4.22）。基點距

36、荷載作用點的距離為，極角，其位移為 （y）到荷載作用點的距離為，極角的點M,其位移為圖4.22沉降量的計算 （z）邊界上M點相對于基點的沉降量為由此得出沉降量公式 （4.29）4.10 半無限平面體在邊界上受分布力圖4.23 應(yīng)力影響線在工程中，常常遇到半無限平面所承受的荷載分布范圍較大，已不宜作為集中荷載處理。這時我們則把這種情況簡化為半無限平面受分布力作用，可以通過對半無限平面受集中荷載解的積分得到新問題的解。半無限平面直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量可通過對（4.9）式進(jìn)行坐標(biāo)變換得到展開后得到 （a）半無限平面受集中力作用，直角坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為 （4.30）集度為的面力作用于半無限平面的邊界上，

37、現(xiàn)在要求任意一點處的應(yīng)力分量。為此，我們以應(yīng)力為例，介紹應(yīng)力影響線的概念。（4.30）式給出了在點作用的一個單位的法向集中力所產(chǎn)生的應(yīng)力，它的分布如圖4.23中關(guān)于軸對稱的曲線，在M處的應(yīng)力為縱坐標(biāo)的值。同樣，如果一個單位的法向集中力作用于M點所對應(yīng)的A點，那么它所產(chǎn)生的應(yīng)力分布如圖4.23中關(guān)于直線對稱的曲線。這兩個集中力所產(chǎn)生兩條分布曲線是對稱圖形?？梢钥闯?，O點的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力等與A點的力在處產(chǎn)生的應(yīng)力。換句話說，O點的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力等與A點的力所產(chǎn)生的應(yīng)力分布曲線上O點下方的線段，即可見，A點作用力的應(yīng)力分布曲線就是O點的力在M處產(chǎn)生的應(yīng)力的影響線。作用于處微段上的所引起的各應(yīng)

38、力分量在M點的值是下方應(yīng)力影響線下曲邊梯形的面積。 （b）對（b）式進(jìn)行積分就可以得到整個分布荷載在點M所產(chǎn)生的應(yīng)力值 （4.31）如果分布在到間的荷載的集度為常量，則各應(yīng)力分量為 （4.32）設(shè)單位力均勻分布在半無限平面邊界從到間的一段邊界上，分布的集度為，求離分布力中心I點為的一點K的沉降量。我們根據(jù)位移互等定理建立K點沉降量的影響線（圖4.23）。邊界A點處的單位力在K點產(chǎn)生的沉降等于K點的力在A點的沉降量，所以把單位力作用于K點產(chǎn)生的沉降曲線作為K點沉降量的影響線。那么引起的K點沉降可由（4.30）式計算圖4.23 K點的沉降影響線 （c）式中 為到K點的距離；與基點B的距離。由于隨變

39、化，為了簡化上式，設(shè)基點B的距離取得很遠(yuǎn)，則，積分時將視為常數(shù)。若K點在荷載分布區(qū)間之外，則K點沉降量為 （d）所以 （4.33）式中 （e）若K點在荷載分布區(qū)間的中點，則 （4.34）積分結(jié)果仍為（4.33）式，常數(shù)仍由（e）式計算。但。當(dāng)為整數(shù)時（含）可以由表（4-3）查出的數(shù)值。如果是平面應(yīng)變問題，則需要做和代換。表4-3半無限平面沉陷公式中的值0123456789100-3.296-4.751-5.574-6.154-6.602-6.967-7.726-7.544-7.780-7.99111121314151617181920-8.181-8.356-8.516-8.664-8.802-8.931-9.052-9.167-9.275-9.378習(xí) 題4-1 試比較極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，指出哪些項是相似的，哪些項是極坐標(biāo)中特有的?并說明產(chǎn)生這些項的原因。4-2 試導(dǎo)出