高中數(shù)學《導數(shù)在實際生活中的應用》教案3 蘇教版選修

1、1.4課 題：導數(shù)在實際生活中的應用教學目的：1. 進一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法； 初步會解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題 教學重點：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題教學難點：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：一、復習引入： 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)f(x0

2、).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值5. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負

3、右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值6.函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值 函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個7.利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值二、講解范例：_x_x_60_60xx例1在邊長為60 c

4、m的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當x過?。ń咏?）或過大（接近60）時，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當x=40cm時，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面同解法一，略）由題意可知，當x過小或過大時箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點處事實上，可導函數(shù)、在各自

5、的定義域中都只有一個極值點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得，則S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，從而h=2即h=2R因為S(R)只有一個極值，所以它是最小值答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省變式：當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最?。?提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 例3在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)

6、品的成本稱為成本函數(shù)同，記為C(x)，出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x)。（1）、如果C(x)，那么生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際最低？(邊際成本：生產(chǎn)規(guī)模增加一個單位時成本的增加量)（2）、如果C(x)=50x10000，產(chǎn)品的單價P1000.01x，那么怎樣定價，可使利潤最大？變式：已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為求產(chǎn)量q為何值時，利潤L最大？分析：利潤L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價格由此可得出利潤L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導數(shù)求最大利潤解：收入，利潤令，即，求得唯一的

7、極值點答：產(chǎn)量為84時，利潤L最大三、課堂練習：1.函數(shù)y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_.2.函數(shù)f(x)=sin2xx在,上的最大值為_；最小值為_.3.將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成_和_.4.使內(nèi)接橢圓=1的矩形面積最大，矩形的長為_，寬為_.5.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開時，它的面積最大答案：1. 15 2. 3. 4.a b 5.R四、小結(jié) ：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果

8、函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較相當多有關(guān)最值的實際問題用導數(shù)方法解決較簡單 五、課后作業(yè)：1.有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形的邊長應為多少？解：（1）正方形邊長為x,則V=（82x)(52x)x=2(2x313x2+20x)(0x)V=4(3x213x+10)(0x),V=0得x=1 根據(jù)實際情況，小盒容積最大是存在的，當x=1時，容積V取最大值為18.2.一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，