2018年高考數(shù)學二輪復習 專題05 不等式與線性規(guī)劃講學案 文

1、專題05 不等式與線性規(guī)劃與區(qū)域有關(guān)的面積、距離、參數(shù)范圍問題及線性規(guī)劃問題；利用基本不等式求函數(shù)最值、運用不等式性質(zhì)求參數(shù)范圍、證明不等式是高考熱點備考時，應(yīng)切實文解與線性規(guī)劃有關(guān)的概念，要熟練掌握基本不等式求最值的方法，特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧方法要特別加強綜合能力的培養(yǎng)，提升運用不等式性質(zhì)分析、解決問題的能力1(1)若ax2bxc0有兩個不等實根x1和x2(x10(a0)的解為x|xx2，或xx1，ax2bxc0)的解為x|x1x0(a0)恒成立的條件是(3)ax2bxc0，b0)；(3)不等關(guān)系的倒數(shù)性質(zhì)；(4)真分數(shù)的變化性質(zhì)若0n0，則0，b0)，x(0，)取最小值時，ax

2、x，即“對號函數(shù)”單調(diào)變化的分界點；(6)a0，b0，若abP，當且僅當ab時，ab的最大值為2；若abS，當且僅當ab時，ab的最小值為2.3不等式y(tǒng)kxb表示直線ykxb上方的區(qū)域；ykxb表示直線ykxb下方的區(qū)域考點一不等式性質(zhì)及解不等式例1、(1)已知實數(shù)x，y滿足axay(0ax，即得不等式的解集設(shè)x0，于是f(x)(x)24(x)x24x，由于f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(x)x24x，即f(x)x24x，且f(0)0，于是f(x)當x0時，由x24xx得x5；看出當f(x)x時，x(5，)及(5,0)考點二基本不等式及應(yīng)用例2、【2017江蘇，10】某公司一年購買某種貨物60

3、0噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立. 【變式探究】(1)設(shè)a0，b0.若關(guān)于x，y的方程組無解，則ab的取值范圍是_【答案】(2，)【解析】通解：依題意，由axy1得y1ax，代入xby1得xb(1ax)1，即(1ab)x1b.由原方程組無解得，關(guān)于x的方程(1ab)x1b無解，因此1ab0且1b0，即ab1且b1.又a0，b0，ab，ab1，因此ab22，即ab的取值范圍是(2，)優(yōu)解：由題意，關(guān)于x，y的方程組無解，則直線axy1與xby1平行且不重合，從而可得ab1，

4、且ab.又a0，b0，故ab22，即ab的取值范圍是(2，) (2)若直線1(a0，b0)過點(1,1)，則ab的最小值等于()A2 B3C4 D5【答案】C【解析】通解：因為直線1(a0，b0)過點(1,1)，所以1.所以ab(ab)2224，當且僅當ab2時取“”，故選C.優(yōu)解：如圖a，b分別是直線1在x，y軸上的截距，A(a,0)，B(0，b)，當a1時，b，當b1時，a，只有點(1,1)為AB的中點時，ab最小，此時a2，b2，ab4.【方法技巧】1常數(shù)代換法求最值的關(guān)鍵在于常數(shù)的變形，利用此方法求最值應(yīng)注意以下三個方面：(1)注意條件的靈活變形，確定或分離出常數(shù)，這是解題的基礎(chǔ)；(2

5、)將常數(shù)化成“1”，這是代數(shù)式等價變形的基礎(chǔ)；(3)利用基本不等式求解最值時要滿足“一正、二定、三相等”，否則容易出現(xiàn)錯解2拼湊法就是將代數(shù)式進行適當?shù)淖冃?，通過添項、拆項等方法湊成和為定值或積為定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法此方法適用于已知關(guān)于變量的等式，求解相關(guān)代數(shù)式的最值問題，或已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的最值問題【變式探究】已知函數(shù)f(x)x2的值域為(，04，) ，則a的值是()A. B.C1 D2考點三求線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的最值例3、【2017山東，文3】已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D【解析】畫出約束條件表

6、示的可行域,如圖中陰影部分所示，平移直線,可知當其經(jīng)過直線與的交點時, 取得最大值，為,故選D. 【變式探究】(1)(2016高考全國卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元【答案】216 000 (2)(2016高考全國卷)若x，y滿足約束條件則zx2y的最小

7、值為_【答案】5【解析】通解：作出可行域如圖中陰影部分所示，由zx2y得yxz，作直線yx并平移，觀【方法技巧】求目標函數(shù)的最值的方法1幾何意義法(1)常見的目標函數(shù)截距型：形如zaxby，求這類目標函數(shù)的最值常將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值距離型：形如z(xa)2(yb)2，設(shè)動點P(x，y)，定點M(a，b)，則z|PM|2.斜率型：形如z，設(shè)動點P(x，y)，定點M(a，b)，則zkPM.(2)目標函數(shù)zxy的幾何意義由已知得y，故可理解為反比例函數(shù)y的圖象，最值需根據(jù)該函數(shù)圖象與可行域有公共點時進行判斷設(shè)P(x，y)，則|xy|表示以線段OP(O為坐

8、標原點)為對角線的矩形面積2界點定值法，利用可行域所對應(yīng)圖形的邊界頂點求最值【變式探究】設(shè)x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a()A5B3C5或3 D5或3【解析】通解：選B.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，其中A.平移直線xay0，可知在點A處，z取得最小值，1.【2017課標1，文7】設(shè)x，y滿足約束條件則z=x+y的最大值為A0 B1 C2 D3【答案】D【解析】如圖，作出不等式組表示的可行域，則目標函數(shù)經(jīng)過時z取得最大值，故，故選D2.【2017課標II，文7】設(shè)滿足約束條件 ,則的最小值是A. B. C. D 【答案】A3.【2017課標3，文5】設(shè)x，y滿足約束條

9、件，則的取值范圍是（ ）A3,0B3,2C0,2 D0,3【答案】B【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分所示.4.【2017北京，文4】若滿足則的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如圖，畫出可行域，表示斜率為的一組平行線，當過點時，目標函數(shù)取得最大值，故選D.5.【2017山東，文3】已知x,y滿足約束條件,則z=x+2y的最大值是A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】D6.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是A0，6 B0，4C6，D4，【答案】D【解析】如圖，可行域為一開放區(qū)域，所以直線過點時取最小值4，無最大值，選D7.【201

10、7江蘇，10】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費用，當且僅當，即時等號成立.1. 【2016高考新課標1卷】若,則( )（A） （B） （C） （D）【答案】C2.【2016高考天津文數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（ ）（A）（B）6（C）10（D）17【答案】B【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.3.【2016高考山東文數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解

11、析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區(qū)域,表示點（x,y）到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經(jīng)驗證最大值為,故選C.4.【2016高考浙江文數(shù)】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影由區(qū)域 中的點在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則AB=（ ）A2 B4 C3 D【答案】C5.【2016年高考北京文數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）A.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當經(jīng)過點時，取最大值，而，所求最大值為4，故選C. 6.【2016年高考四川文數(shù)】設(shè)p：實數(shù)x，y滿足，q：

12、實數(shù)x，y滿足 則p是q的( )（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】A7.【2016高考新課標3文數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_.【答案】8.【2016高考新課標1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元【答案】【

13、解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么目標函數(shù).二元一次不等式組等價于作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當直線經(jīng)過點時, 取得最大值.9.【2016高考江蘇卷】 已知實數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 .【答案】【解析】由圖知原點到直線距離平方為最小值，為，原點到點距離平方為最大值，為，因此取值范圍為 1.【2015高考北京，文2】若，滿足則的最大值為（ ）A0B1CD2【答案】D2【2015高考廣東，文6】若變量，滿足約束條件則的最小值為（ ）A B. 6 C. D. 4【答案】C 【解析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由z=3x+2y得y=x

14、+，平移直線y=x+，則由圖象可知當直線y=x+，經(jīng)過點A時直線y=x+的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（1，），此時z=31+2=，故選：B3.【2015高考天津，文2】設(shè)變量 滿足約束條件 ，則目標函數(shù)的最大值為( )（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C4.【2015高考陜西，文10】某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（ ）A12萬元 B16萬元 C17萬元 D18萬元甲乙原料限額（噸）（噸）【答案】D5.【2015高考福建

15、，文5】若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( )A B C D2【答案】A6.【2015高考山東，文6】已知滿足約束條件，若的最大值為4，則 （ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B 【解析】不等式組 在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分所示，若的最大值為4，則最優(yōu)解可能為 或 ，經(jīng)檢驗，是最優(yōu)解，此時 ；不是最優(yōu)解.故選B.7.【2015高考新課標1，文15】若滿足約束條件，則的最大值為 .【答案】3【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.8.【20

16、15高考浙江，文14】若實數(shù)滿足，則的最小值是 【答案】.9【2015高考新課標2，文14】若x，y滿足約束條件，則的最大值為_【答案】【考點定位】線性規(guī)劃10.【2015高考湖南，文4】若變量，滿足約束條件，則的最小值為（ ）A.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】如下圖所示，畫出線性約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線：，平移，從而可知當，時，的最小值是，故選A.11.【2015高考四川，文9】如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B12.【2015高考陜西，文9】設(shè)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）A B C D

17、【答案】C【解析】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，故選C1. 【2014高考安徽卷文第5題】滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為（ ）A, B. C.2或1 D.【答案】D【考點定位】線性規(guī)劃2. 【2014高考北京版文第6題】若、滿足，且的最小值為，則的值為（ ）A2 B C D【答案】D【解析】若，沒有最小值，不合題意；【考點定位】不等式組表示的平面區(qū)域，求目標函數(shù)的最小值3. 【2014高考福建卷第11題】若變量滿足約束條件則的最小值為_.【答案】1【解析】依題意如圖可得目標函數(shù)過點A時截距最大.即.【考點定位】線性規(guī)劃.4. 【2014高考福建卷第13題】要制作

18、一個容器為4，高為的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_（單位：元）.【答案】88 【解析】假設(shè)底面長方形的長寬分別為, . 則該容器的最低總造價是.當且僅當?shù)臅r區(qū)到最小值.【考點定位】函數(shù)的最值.5. 【2014高考廣東卷文第3題】若變量、滿足約束條件，且的最大值和最小值分別為和，則（ ） A. B. C. D.【答案】C上的截距最大，此時取最大值，即；當直線經(jīng)過可行域上的點時，此時直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.因此，故選C. 【考點定位】線性規(guī)劃中線性目標函數(shù)的最值6. 【2014高考湖南卷第14題】若變量滿足約

19、束條件，且的最小值為，則.【答案】【解析】求出約束條件中三條直線的交點為,且不等式組限制的區(qū)域如圖,所以,則當為最優(yōu)解時,當為最優(yōu)解時, 因為,所以,故填.【考點定位】線性規(guī)劃7. 【2014遼寧高考文第16題】對于，當非零實數(shù)a，b滿足，且使最大時，的最小值為 . 【答案】當時，綜上可知當時，【考點定位】柯西不等式. 8. 【2014全國1高考文第9題】不等式組的解集為D,有下面四個命題：， ， ，其中的真命題是（ ）A B C D【答案】B【考點定位】線性規(guī)劃、存在量詞和全稱量詞10. 【2014山東高考文第5題】已知實數(shù)滿足，則下面關(guān)系是恒成立的是（ ）A. B.C. D.【答案】【解析

20、】由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，所以，選.【考點定位】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì).11. 【2014山東高考文第9題】 已知滿足約束條件，當目標函數(shù)在該約束條件下取到最小值時，的最小值為（ ）A.5 B.4 C. D.2【答案】【解析】畫出可行域（如圖所示），由于，所以，經(jīng)過直線與直【考點定位】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).12. 【2014四川高考文第4題】若，則一定有（ ）A B C D4若，則一定有（ ）A B C D【答案】D【解析】，又.選D【考點定位】不等式的基本性質(zhì).13. 【2014四川高考文第5題】執(zhí)行如圖1所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的的最大值為（ ）A B C