高中數(shù)學 2.1.5 向量共線的條件與軸上向量坐標運算學案 新人教B版必修

1、2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標運算1.掌握平行向量基本定理并理解兩向量共線的條件及單位向量的含義.(重點)2.理解軸上的基向量、向量的坐標及其運算公式，并解決軸上的相關問題.(難點)基礎初探教材整理1平行向量基本定理閱讀教材P90“例1”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.平行向量基本定理：如果ab，則ab；反之，如果ab，且b0，則一定存在唯一一個實數(shù)，使ab.2.單位向量：給定一個非零向量a，與a同方向且長度等于1的向量，叫做向量a的單位向量，如果a的單位向量記作a0，由數(shù)乘向量的定義可知：a|a|a0或a0.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若b與a共線，則存在實數(shù)，使得ba.()

2、(2)任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點.()(3)向量a與b不共線，則a與b都是非零向量.()(4)有相同起點的兩個非零向量不平行.()【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2軸上向量的坐標及其運算閱讀教材P91“例2”以下P92“例3”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.規(guī)定了方向和長度單位的直線叫做軸.已知軸l，取單位向量e，使e的方向與l同方向.根據(jù)向量平行的條件，對軸上任意向量a，一定存在唯一實數(shù)x，使axe.反過來，任意給定一個實數(shù)x，我們總能作一個向量axe，使它的長度等于這個實數(shù)x的絕對值，方向與實數(shù)的符號一致.單位向量e叫做軸l的基向量，x叫做a在l上的坐標

3、(或數(shù)量).2.x的絕對值等于a的長，當a與e同方向時，x是正數(shù)，當a與e反方向時，x是負數(shù).實數(shù)與軸上的向量建立起一一對應關系.3.向量相等與兩個向量的和：設ax1e，bx2e，于是：如果ab，則x1x2；反之，如果x1x2，則ab；另外，ab(x1x2)e，這就是說，軸上兩個向量相等的條件是它們的坐標相等；軸上兩個向量和的坐標等于兩個向量的坐標的和.4.向量的坐標常用AB表示，則ABe.表示向量，而AB表示數(shù)量，且有ABBA0.5.軸上向量的坐標：在數(shù)軸x上，已知點A的坐標為x1，點B的坐標為x2，則ABx2x1，即軸上向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標.6.數(shù)軸上兩點的距離公式：

4、在數(shù)軸x上，點A的坐標為x1，點B的坐標為x2，則|AB|x2x1|.數(shù)軸上點A，B，C的坐標分別為1,1,5，則下列結論錯誤的是()A.的坐標是2B.3C.的坐標是4 D.2【解析】答案C不正確.故選C.【答案】C質(zhì)疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_疑問4：_解惑：_小組合作型平行向量基本定理的應用如圖2131所示，已知在ABCD中，點M為AB的中點，點N在BD上，且3BNBD.求證：M，N，C三點共線.【導學號：】圖2131【精彩點撥】利用向量的運算法則將，兩向量分別用，表示出來，再利用平行向量基本定理判定，

5、共線，從而證明M，N，C三點共線.【自主解答】設a，b，則ab，ab，a，b，ab，aab，又M為公共點，M、N、C三點共線.平行向量基本定理有兩個方面的應用：(1)一個向量可以由另一個向量線性表示，則可以判定兩向量平行，進而證明三點共線，三角形相似，兩線段平行以及用來判斷圖形的形狀等.(2)若兩向量平行，則一個向量可以由另一個非零向量線性表示，可以用來求參數(shù)，它是軸上向量坐標化的依據(jù).再練一題1.已知任意兩個非零向量a，b，作ab，a2b，a3b.試判斷A，B，C三點之間的位置關系，并說明理由.【解】因為(a2b)(ab)b，(a3b)(ab)2b，故有2.所以，且有公共點A，所以A，B，C

6、三點共線.用平行向量基本定理證明幾何問題已知梯形ABCD中，ABDC，E，F(xiàn) 分別是AD，BC的中點，求證：EF ABDC.圖2132【精彩點撥】解題時首先結合圖形與所證問題，把幾何條件轉(zhuǎn)化為向量條件，然后利用向量的線性運算與平行向量基本定理求證.【自主解答】延長EF 到M，使EF F M，連接CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平形四邊形法則得().由于ABDC，所以，共線且同向，根據(jù)平行向量基本定理，存在正實數(shù)，使.由三角形法則得，且0，()()()，.由于E，D不共點，EF DCAB.1.用平行向量基本定理證直線平行或三點共線時，關鍵是把一個向量用有關向量線性表示，同時有機地結合向量的

7、線性運算及圖形完成證明.2.用向量法證明幾何問題的一般步驟是：首先用向量表示幾何關系，然后進行向量運算，得到新的適合題目要求的向量關系，最后將向量關系還原為幾何關系.再練一題2.(2016石家莊高一檢測)已知e，f 為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足e2f ，4ef ，5e3f .(1)將用e，f 表示；(2)證明四邊形ABCD為梯形.【解】(1)根據(jù)向量求和的多邊形法則，有(e2f )(4ef )(5e3f )(145)e(213)f 8e2f .(2)證明：因為8e2f 2(4ef )2，即2.所以，且的長度為的長度的2倍，所以在四邊形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四邊形AB

8、CD為梯形.軸上向量的坐標及其運算已知數(shù)軸上四點A，B，C，D的坐標分別是4，2，c，d.(1)若AC5，求c的值；(2)若|BD|6，求d的值.(3)若3，求證：34.【精彩點撥】解答本題首先據(jù)條件表示出兩點所對應的向量的坐標，然后求解.【自主解答】(1)AC5，c(4)5，c1.(2)|BD|6，|d(2)|6，即d26或d26，d4或d8.(3)因為，而3AD，所以(3)4，所以312，又44(3)12，故34.正確理解和運用軸上向量的坐標及長度計算公式是學習其他向量計算的基礎；解答本題首先利用數(shù)軸上點的坐標，計算出兩點所對應向量的坐標，特別要注意向量坐標運算公式的順序，還要注意模運算中

9、可能會出現(xiàn)的兩種情形.再練一題3.已知數(shù)軸上A、B兩點的坐標為x1，x2，求，的坐標和長度.(1)x12，x25.3；(2)x110，x220.5.【解】(1)x12，x25.3，AB5.327.3，BA2(5.3)7.3.|7.3，|7.3.(2)同理AB10.5，BA10.5.|10.5，|10.5.探究共研型向量共線問題探究1已知m，n是不共線向量，a3m4n，b6m8n，判斷a與b是否共線？【提示】要判斷兩向量是否共線，只需看是否能找到一個實數(shù)，使得ab即可.若a與b共線，則存在R，使ab，即3m4n(6m8n).m，n不共線，不存在同時滿足此方程組，a與b不共線.探究2已知e1，e2

10、是共線向量，a3e14e2，b6e18e2，則a與b是否共線？【提示】e1，e2共線，存在R，使e1e2.a3e14e23e24e2(34)e2，b6e18e26e28e2(68)e2，ab，a與b共線.當時，b0，a與b共線.探究3設兩非零向量e1和e2不共線，是否存在實數(shù)k，使ke1e2和e1ke2共線？【提示】設ke1e2與e1ke2共線，存在使ke1e2(e1ke2)，則(k)e1(k1)e2.e1與e2不共線，只能有則k1.已知非零向量e1，e2不共線.如果Ae1e2，B2e18e2，C3(e1e2)，求證A，B，D三點共線.【精彩點撥】欲證A，B，D共線，只需證存在實數(shù)，使BA即可

11、.【自主解答】Ae1e2，BBC2e18e23e13e25(e1e2)5A，A，B共線，且有公共點B，A，B，D三點共線.1.本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a0)共線ba，因此用它既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.2.向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示，進而互相表示，從而判斷共線.再練一題4.設兩個非零向量e1，e2不共線，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.問：是否存在實數(shù)k，使得A，B，D三點共線，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【解】設存在kR，使得A，B，D三點共線，(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又

12、A，B，D三點共線，2e1ke2(e14e2)，k8，所以存在k8，使得A，B，D三點共線.1.以下選項中，a與b不一定共線的是()A.a5e1e2，b2e210e1B.a4e1e2，be1e2C.ae12e2，be22e1D.a3e13e2，b2e12e2【解析】只有C選項不一定共線.【答案】C2.已知數(shù)軸上兩點A、B的坐標分別是4，1，則AB與|分別是()A.3,3B.3,3C.3，3 D.6,6【解析】AB1(4)3，|3.【答案】B3.如圖2133所示，已知3，3，則向量與的關系為()圖2133A.共線B.同向C.共線且同向D.共線、同向，且的長度是的3倍【解析】由題意，知，ABAB，

13、3，故選D.【答案】D4.設a，b是兩個不共線的向量，2apb，ab，a2b.若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值是_.【導學號：】【解析】A、B、D三點共線，存在實數(shù)使x，又2ab，2apb，2apb(2ab)，p1.【答案】15.如圖2134，ABCD為一個四邊形，E，F(xiàn) ，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點，求證：四邊形EF GH為平行四邊形.圖2134【證明】F ，G分別是AB，AC的中點，.同理，.同理.四邊形EF GH為平行四邊形.我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_學業(yè)分層測評(十七)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1.已知向量a，b，且

14、a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D【解析】(5a6b)(7a2b)2a4b2(a2b)2，所以A，B，D三點共線.【答案】A2.(2016臨沂高一檢測)設a，b為不共線向量，ab，4ab，5a2b，則下列關系式中正確的是()A. B.2C. D.2【解析】8a2b2(4ab)2.【答案】B3.設a，b是不共線的向量，akb，mab(k，mR)，則當A，B，C三點共線時，有()A.kmB.km10C.km10 D.km0【解析】A，B，C三點共線，n，akbmnanb，mk10.【答案】B4.(2016濟南高一檢測)已知向

15、量e1，e2不共線，ake1e2，be1ke2，若a與b共線，則k等于()A.1B.1 C.1D.0【解析】a與b共線，ab.即ke1e2(e1ke2)，解得k1.【答案】A5.(2016佛山高一檢測)已知e10，R，ae1e2，b2e1，若ab，則()A.0 B.e20C.e1e2 D.e1e2或0【解析】ab，存在實數(shù)k，使得akb，即(2k1)e1e2.e10，若2k10，則0或e20；若2k10，則e1e2，此時e1e2，又0與任何一個向量平行，有e1e2或0.【答案】D二、填空題6.已知A，B，C三點在數(shù)軸上，且點B的坐標為3，AB5，AC2，則點C的坐標為_.【解析】設A，C的坐標

16、分別為xA，xC，則AB3xA5，xA2，又ACxCxAxC(2)2，xC0.【答案】07.(2015全國卷)設向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_.【解析】ab與a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得【答案】8.(2016紹興高一檢測)設a，b是兩個不共線的非零向量，記a，tb(tR)，(ab)，那么當A，B，C三點共線時，實數(shù)t的值為_.【導學號：】【解析】a，tb，(ab)，tba，(ab)aba，A，B，C三點共線，存在實數(shù)，使，即tba.由于a，b不共線，解得故當t時，A，B，C三點共線.【答案】三、解答題9.已知數(shù)軸上A，B兩點的坐標為x1，x2，根據(jù)下列

17、題中的已知條件，求點A的坐標x1.(1)x25，BA3；(2)x21，|AB|2.【解】(1)BAx1(5)3，所以x18.(2)|AB|1x1|2，所以x11或x13.10.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共線，向量c2e19e2，問是否存在這樣的實數(shù)，使向量dab與c共線？【解】假設存在這樣的實數(shù)，使得dab與c共線，dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2.要使d與c共線.則有實數(shù)k，使得dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，所以2.故存在這樣的，使d與c共線.能力提升1.設e1，e2是不共線向量，若向量a3e15e2與向量bme13e2共線，則m的值等于()A. B.C. D.【解析】ab，存在實數(shù)，使得ba，即me13e2(3e15e2)，e1，e2是不共線向量，解得m.【答案】A2.(2016棗莊校級月考)已知向量a，b，c中任意兩個都不共線，但ab與c共線，且bc與a共線，則向量abc()A.a B.bC.c D.0【解析】ab與c共線，bc與a共線，abc，bca，兩式相減得acca，移項得(1)c(1