高中數(shù)學解題思維訓練.ppt

1、高中數(shù)學解題思維訓練,數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力。要做到這一點，首先要培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)。 事實上，良好的思維品質(zhì)往往包括以下幾個方面：思維的變通性、思維的反思性、思維的嚴密性和思維的發(fā)散性。 培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑是進行有素的訓練。本教程將結合中學數(shù)學教學的實際情況，著重進行這方面的訓練。,第一講 數(shù)學思維變通性訓練,1. 思維變通性概念 在數(shù)學教學中，思維變通性表現(xiàn)為：能善于根據(jù)題設中的具體情況，提出新的構想和解題方案。它體現(xiàn)學生在智力活動中靈活程度上的差異，是數(shù)學思維的重要品質(zhì)之一。 數(shù)學問題千變?nèi)f化，要想既快又準的解決好數(shù)學問題，用一套固定的方案，是行不通的，必須視其具體

2、情況，靈活確定解題方案。也就是說，必須具有思維的變通性，根據(jù)數(shù)學思維變通性的主要體現(xiàn)，本課程將著重進行以下幾個方面的訓練：,小資料： 怎樣解題 G.波利亞 第一：你必須弄清問題 弄清問題：未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把條件的各部分分開。你能否把它們寫下來？ 第二：找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題，你應該最終得出一個求解的計劃。 擬訂計劃： 你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理

3、？看著未知數(shù)！試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關，且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。 如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西？你能不能想出適于確定未知數(shù)

4、的其它數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或二者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？ 第三：實現(xiàn)你的計劃 實現(xiàn)計劃：實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟。你能否清楚地看出這一步驟是否正確的？你能否證明這一步驟是正確的？ 第四：驗證所得的解 回顧：你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出來？你能不能把這個結果或方法用于其它的問題？,（1）善于觀察 做一道數(shù)學題，大致上有：審題、想題、解題三大段 。 & 在審題時要細心觀察。 解數(shù)學題首先要弄清題意。即：正確地感知題目中

5、出現(xiàn)的主要概念，分清什么是已知，什么是求（證）。 & 在想題時要重視“特殊”的已知條件。 在探索解題思路時，往往會感到有些“特殊”的已知條件用不上，因而思路也找不出來。有時雖然思路找出來了，但如果注意到了已知條件中的某些“特殊性”，往往可以發(fā)現(xiàn)有更為簡便的思路存在。 & 觀察法解題 有些問題，思索的過程只可意會，難以言傳，因此只好用觀察法求解。即：先根據(jù)觀察、猜想應用什么樣的解，然后進行直接驗證。,分類考察討論： 在些數(shù)學題，解題的復雜性，主要在于它的條件、結論（或問題）包含多種不易識別的可能情形。對于這類問題，選擇恰當?shù)姆诸悩藴?，把原題分解成一組并列的簡單題，有助于實現(xiàn)復雜問題簡單化。 有些

6、結構復雜的綜合題，就其生成背景而論，大多是由若干比較簡單的基本題，經(jīng)過適當組合抽去中間環(huán)節(jié)而構成的。 因此，從題目的因果關系入手，尋求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件，把原題分解成一組相互聯(lián)系的系列題，是實現(xiàn)復雜問題簡單化的一條重要途徑。,聯(lián)想是轉化問題的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識之間的聯(lián)系都是不明顯的、間接的、復雜的。 因而，怎樣解題，解題的速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，作出相應的聯(lián)想，找到突破口，不斷深入。,數(shù)學家波利亞在怎樣解題中說過，數(shù)學解題是命題的連續(xù)變換?？梢娊忸}過程是通過問題的轉化才能完成的。轉化是解數(shù)學題的一種十分重要的思維方法。 那么，怎樣轉化呢？概括講，

7、就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。因此，在解數(shù)學題時，觀察具體特征，聯(lián)想有關問題之后，就要尋求轉化關系。,（3）善于進行問題轉化,有些數(shù)學題，條件比較抽象、復雜，不太容易入手。這時，不妨簡化題中某些已知條件，甚至暫時撇開不顧，先考慮一個簡化問題。這樣簡單化了的問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用。,2思維訓練： （1）觀察能力的訓練 雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，使學生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征，采用特殊方法來解題。,數(shù)學中，同一素材的題目，常?？梢杂胁煌谋?/p>

8、現(xiàn)形式；條件與結論（或問題）之間，也存在著多種聯(lián)系方式。因此，恰當構造輔助元素，有助于改變題目的形式，溝通條件與結論（或條件與問題）的內(nèi)在聯(lián)系，把陌生題轉化為熟悉題。 數(shù)學解題中，構造的輔助元素是多種多樣的，常見的有構造圖形（點、線、面、體），構造算法，構造多項式，構造方程（組），構造坐標系，構造數(shù)列，構造行列式，構造等價性命題，構造反例，構造數(shù)學模型等等。,有些數(shù)學題，內(nèi)容抽象，關系復雜，給理解題意增添了困難，常常會由于題目的抽象性和復雜性，使正常的思維難以進行到底。 對于這類題目，借助圖表直觀，利用示意圖或表格分析題意，有助于抽象內(nèi)容形象化，復雜關系條理化，使思維有相對具體的依托，便于深入

9、思考，發(fā)現(xiàn)解題線索。 有些涉及數(shù)量關系的題目，用代數(shù)方法求解，道路崎嶇曲折，計算量偏大。這時，不妨借助圖形直觀，給題中有關數(shù)量以恰當?shù)膸缀畏治觯貙捊忸}思路，找出簡捷、合理的解題途徑。,講評： 我們解題時，常會遇到這樣的情形：根據(jù)命題的條件和結論，按常規(guī)方法去解題，過程會十分冗繁，有時甚至難以入手。 如果能轉換一個角度來考慮，則可以把它變更為我們熟悉而又易于解的問題。,點評：正與反的轉化 有些數(shù)學問題，如果直接從正面入手求解難度較大，致使思路受阻，例如，當我們研究一種運算的逆運算時可以轉化為它的正運算；在解決有關反函數(shù)問題時，可以轉化為它的反函數(shù)來求解。 所謂“正反轉化”還意味著，如果命題的結

10、論 非此即彼時，轉化結論，從而推出矛盾，使問題得以解決。,第二講 數(shù)學思維反思性訓練1. 概述 數(shù)學思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨立見解，精細地檢查思維過程，不盲從、不輕信。在解決問題時能不斷地驗證所擬定的假設，獲得獨特的解決問題的方法，它和創(chuàng)造性思維密切相關。 通過本講訓練，加強學生思維的嚴密性培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。,養(yǎng)成驗算的習慣，可以有效地增強思維反思性。 如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進行檢驗，舍棄增根，找回失根。,第三講 數(shù)學思維嚴密性訓練 1概述 在中學數(shù)學中

11、，思維的嚴密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴格的邏輯規(guī)則，考察問題時嚴格、準確，進行運算和推理時精確無誤。 數(shù)學是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的科學，論證的嚴密性是數(shù)學的根本特點之一。但是，由于認知水平和心里特征等因素的影響，中學生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴謹現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個方面： （1） 概念模糊 概念是數(shù)學理論體系中十分重要的組成部分。它是構成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。 （2） 判斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學中，如果概念

12、不清，很容易導致判斷錯誤。例如，“函數(shù)是一個減函數(shù)”就是一個錯誤判斷。 （3） 推理錯誤 理是運用已知判斷推導出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個論證都是由推理來實現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴謹。,注意 充分條件、必要條件、充要條件在解題中的運用 我們知道： 如果A成立，那么B成立，即，則A稱是B的充分條件。 如果B成立，那么A成立，即，則稱B是A的必要條件。 如果A、B可以相互推出，則稱是的充分必要條件。 充分條件和必要條件中我們的學習中經(jīng)常遇到。像討論方程組的解，求滿足條件的點的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯。,第四講 數(shù)學思維發(fā)散性訓練 1 概述 數(shù)學思維發(fā)散性指的是對一個問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。 “數(shù)學是一個有機的整體，它的各個部分之間存在概念的親緣關系。我們在學習每一分支時，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關系結成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解決同一道數(shù)學題，既可以開拓解題思路，鞏固所學知