同濟(jì)六版七版高等數(shù)學(xué)ppt課件

1、,1,一、基本概念,1.集合:,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.,組成這個集合的事物稱為該集合的元素.,有限集,無限集,2,數(shù)集分類:,N-自然數(shù)集,Z-整數(shù)集,Q-有理數(shù)集,R-實(shí)數(shù)集,數(shù)集間的關(guān)系:,例如,不含任何元素的集合稱為空集.,例如,規(guī)定,空集為任何集合的子集.,3,2.區(qū)間:,是指介于某兩個實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,4,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間,無限區(qū)間,區(qū)間長度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.,5,3.鄰域:,6,4.常量與變量:,在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意,常量與變量是相對“過程”而言

2、的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.,常量與變量的表示方法：,用字母x, y, t等表示變量.,7,5.絕對值:,運(yùn)算性質(zhì):,絕對值不等式:,8,因變量,自變量,數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域,二、函數(shù)概念,9,自變量,因變量,對應(yīng)法則f,函數(shù)的兩要素:,定義域與對應(yīng)法則.,約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.,10,定義:,如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù),11,(1) 符號函數(shù),幾個特殊的函數(shù)舉例,12,(2) 取整函數(shù) y=x x表示不超過 的最大整數(shù),階梯曲線,13,(3)

3、 狄利克雷函數(shù),14,(4) 取最值函數(shù),15,16,例1,脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 的函數(shù)關(guān)系式.,解,單三角脈沖信號的電壓,17,18,例2,解,故,19,三、函數(shù)的特性,有界,無界,1函數(shù)的有界性:,20,2函數(shù)的單調(diào)性:,21,22,3函數(shù)的奇偶性:,偶函數(shù),23,奇函數(shù),24,4函數(shù)的周期性:,（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.,25,直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.,四、反函數(shù),26,五、小結(jié),基本概念 集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對值.,函數(shù)的概念,函數(shù)的特性 有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.,反函數(shù),27,思考題,

4、28,思考題解答,設(shè),則,故,29,練 習(xí) 題,30,31,練習(xí)題答案,32,33,一、基本初等函數(shù),1.冪函數(shù),34,2.指數(shù)函數(shù),35,3.對數(shù)函數(shù),36,4.三角函數(shù),正弦函數(shù),37,余弦函數(shù),38,正切函數(shù),39,余切函數(shù),40,正割函數(shù),41,余割函數(shù),42,5.反三角函數(shù),43,44,45,冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).,46,二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù),1.復(fù)合函數(shù),定義:,47,注意:,1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;,2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.,2.初等函數(shù),由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的

5、函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).,48,例1,解,49,綜上所述,50,三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),奇函數(shù).,偶函數(shù).,1.雙曲函數(shù),51,奇函數(shù),有界函數(shù),52,雙曲函數(shù)常用公式,53,2.反雙曲函數(shù),奇函數(shù),54,55,奇函數(shù),56,四、小結(jié),函數(shù)的分類:,函數(shù),初等函數(shù),非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù)),代數(shù)函數(shù),超越函數(shù),有理函數(shù),無理函數(shù),有理整函數(shù)(多項式函數(shù)),有理分函數(shù)(分式函數(shù)),57,思考題,58,思考題解答,不能,59,一、填空題:,練 習(xí) 題,60,61,練習(xí)題答案,62,63,64,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周

6、合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,播放,劉徽,一、概念的引入,65,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,66,2、截丈問題：,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,67,二、數(shù)列的定義,例如,68,注意：,1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),69,播放,三、數(shù)列的極限,70,問題:,當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問題:,“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.,通過上面演示實(shí)驗的觀察:,71,72,如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.,注意：,73,幾何解釋:,其中,74,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方

7、法.,例1,證,所以,注意：,75,例2,證,所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.,76,例3,證,77,例4,證,78,四、數(shù)列極限的性質(zhì),1.有界性,例如,有界,無界,79,定理1 收斂的數(shù)列必定有界.,證,由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.,推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.,80,2.唯一性,定理2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.,證,由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.,81,例5,證,由定義,區(qū)間長度為1.,不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).,82,3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列 收斂于a，那么它的任一

8、子數(shù)列也收斂，且極限也是a,83,五.小結(jié),數(shù)列:研究其變化規(guī)律;,數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;,收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.,84,思考題,證明,要使,只要使,從而由,得,取,當(dāng) 時，必有 成立,85,思考題解答,（等價）,證明中所采用的,實(shí)際上就是不等式,即證明中沒有采用“適當(dāng)放大” 的值,86,從而 時，,僅有 成立，,但不是 的充分條件,反而縮小為,87,練 習(xí) 題,88,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”,1、割圓術(shù)：,劉徽,一、概念的引入,89,三、數(shù)列的極限,90,三、數(shù)列的極限,91,三、數(shù)列的極限,92,三、數(shù)列的極限,93,

9、三、數(shù)列的極限,94,三、數(shù)列的極限,95,三、數(shù)列的極限,96,三、數(shù)列的極限,97,三、數(shù)列的極限,98,三、數(shù)列的極限,99,三、數(shù)列的極限,100,三、數(shù)列的極限,101,三、數(shù)列的極限,102,103,播放,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,104,通過上面演示實(shí)驗的觀察:,問題:,如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.,105,106,2.另兩種情形:,107,3.幾何解釋:,108,例1,證,109,二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限,110,111,2.幾何解釋:,注意：,112,例2,證,例3,證,113,例4,證,函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.,114,例5,證,115,3.單側(cè)極

10、限:,例如,116,左極限,右極限,117,左右極限存在但不相等,例6,證,118,三、函數(shù)極限的性質(zhì),1.有界性,2.唯一性,119,推論,3.不等式性質(zhì),定理(保序性),120,定理(保號性),推論,121,4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),定義,定理,122,證,123,例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系,函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.,124,例7,證,125,二者不相等,126,四、小結(jié),函數(shù)極限的統(tǒng)一定義,(見下表),127,128,思考題,129,思考題解答,左極限存在,右極限存在,不存在.,130,一、填空題:,練 習(xí) 題,131,132,練習(xí)

11、題答案,133,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,134,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,135,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,136,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,137,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,138,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,139,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,140,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,141,一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限,142,143,一、無窮小,1.定義:,極限為零的變量稱為無窮小.,144,例如,注意,1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,145,2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,

12、充分性,146,意義,1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);,3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì):,定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,147,注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,148,定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,149,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,150,二、無窮大,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.,151,特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大,注意,1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變

13、量未必是無窮大.,152,不是無窮大,無界，,153,證,154,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,155,意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,156,四、小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個定義;四個定理;三個推論.,2、幾點(diǎn)注意:,無窮小與無窮大是相對于過程而言的.,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；,（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.,（3） 無界變量未必是無窮大.,157,思考題,158,思考題解答,不能保證.,例,有,159,一、填空題:,練

14、習(xí) 題,160,161,練習(xí)題答案,162,163,一、極限運(yùn)算法則,定理,證,由無窮小運(yùn)算法則,得,164,165,推論1,常數(shù)因子可以提到極限記號外面.,推論2,有界，,166,二、求極限方法舉例,例1,解,167,小結(jié):,168,解,商的法則不能用,由無窮小與無窮大的關(guān)系,得,例2,169,解,例3,(消去零因子法),170,例4,解,(無窮小因子分出法),171,小結(jié):,無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.,172,例5,解,先變形再求極限.,173,例6,解,174,例7,解,左右極限存在且相等,175,三、小結(jié),1.極限的四則運(yùn)算法則及其

15、推論;,2.極限求法;,a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限; b.消去零因子法求極限; c.無窮小因子分出法求極限; d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限; e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.,176,思考題,在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？,177,思考題解答,沒有極限,假設(shè) 有極限，,有極限，,由極限運(yùn)算法則可知：,必有極限，,與已知矛盾，,故假設(shè)錯誤,178,一、填空題:,練 習(xí) 題,179,二、求下列各極限:,180,181,練習(xí)題答案,182,183,一、無窮小的比較,例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,觀察各極限,184,定義:,185

16、,例1,解,例2,解,186,常用等價無窮小:,用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:,例如,187,二、等價無窮小替換,定理(等價無窮小替換定理),證,188,例3,解,不能濫用等價無窮小代換.,對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.,注意,189,例4,解,解,錯,190,例5,解,191,三、小結(jié),1.無窮小的比較:,反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.,2.等價無窮小的替換:,求極限的又一種方法, 注意適用條件.,高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.,192,思考題,任何兩個無窮小量都可以比較嗎？,193,思考題解答,不能,例當(dāng) 時,都

17、是無窮小量,但,不存在且不為無窮大,故當(dāng) 時,194,練 習(xí) 題,195,196,197,練習(xí)題答案,198,199,200,一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,201,2.連續(xù)的定義,202,203,例1,證,由定義2知,204,3.單側(cè)連續(xù),定理,205,例2,解,右連續(xù)但不左連續(xù) ,206,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,例如,207,例3,證,208,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),209,1.跳躍間斷點(diǎn),例4,解,210,2.可去間斷點(diǎn),例5,211,解,注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)

18、充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,212,如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,特點(diǎn),213,3.第二類間斷點(diǎn),例6,解,214,例7,解,注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn).,215,狄利克雷函數(shù),在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).,僅在x=0處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷.,216,在定義域 R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).,判斷下列間斷點(diǎn)類型:,217,例8,解,218,三、小結(jié),1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件;,3.間斷點(diǎn)的分類與判別;,2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);,第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.,第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.,間

19、斷點(diǎn),(見下圖),219,可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,無窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),220,思考題,221,思考題解答,且,222,但反之不成立.,例,但,223,練 習(xí) 題,224,225,練習(xí)題答案,226,227,228,一、四則運(yùn)算的連續(xù)性,定理1,例如,229,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).,例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,230,定理3,證,231,將上兩步合起來:,232,意義,1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;,例1,解,233,例2,解,同理可得,234,定理4,注意定理4是定理3的特殊情況.,例如,235,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.,236,定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,(均在其定義域內(nèi)連續(xù) ),定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.,237,1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連