例談中考數(shù)學復習中習題的演變策略及其應用

1、例談中考數(shù)學復習中習題的演變策略及其應用新課程下的數(shù)學教學，強調(diào)的是教師的“教研付出”，以實現(xiàn)花最經(jīng)濟的教學代價獲取最大化的教學效益。處于緊要關頭的中考數(shù)學復習教學，則更應強調(diào)教師的教研付出和教研實效，以便在短短的兩三個月的時間內(nèi)達成中考復習的各項目標，包括數(shù)學知識的全面掌握、解題技能和能力的強化提高、數(shù)學思想方法的靈活應用等。其中，教師的核心工作則是要在鉆研數(shù)學課程標準、教材、中考說明及各地的中考數(shù)學試題的基礎上，精選并研究教學例、習題，強調(diào)對所選例、習題作必要的演變與拓展，以“題鏈”的形式實施復習教學。本文擬以一道極其常見而又簡單的習題為例，談談中考數(shù)學復習教學中幾何問題所常用的演變策略，

2、并配以各地的中考數(shù)學試題具體說明對問題的演變及應用，以期拋磚引玉，給中考數(shù)學復習以啟示。題目 已知：如圖1，在和中，ac=ce，點d在邊bc的延長線上，且。求證：。 圖1一、思考拓展從學生熟悉而又簡單的問題出發(fā)，通過不斷演變，逐漸深入研究，不僅有利于學生學習的畏難情緒，讓學生積極、主動地投入到中考數(shù)學復習教學中去，而且有利于幫助學生全面而系統(tǒng)地復習已掌握的數(shù)學知識、思想和方法，有利于提高學生綜合應用知識解決問題的能力。一般地說，幾何問題的演變策略通常有以下六種：（1） 條件的弱化或強化；（2） 結(jié)論的延伸與拓展；（3） 基本圖形的變化拓展；（4） 條件、結(jié)論的互逆變換（即建立并討論原命題的逆命

3、題）；（5） 基本圖形的構(gòu)造與應用；（6） 綜合演變。二、演變應用針對這道習題的條件“ac=ce（線段相等）”、“（三個角都為直角）”和特殊結(jié)論“（三角形全等）”，以及所具有的簡單而特殊的圖形，可對本習題作以上各種常用的演變。下面分別舉例說明此問題的前五種演變及其應用，第六種綜合演變策略將穿插在前五種演變所舉例子中。（一） 弱化條件當一個命題成立的條件較為豐富時，可考慮減少其中一兩個條件，或?qū)⑵渲械囊粌蓷l件“一般化”，并確定相應的命題結(jié)論，從而加工概括成新命題以求拓展應用。針對上述習題中的關鍵條件“ac=ce”和“”，可分別弱化或同時弱化。1、弱化條件“ac=ce（線段相等）”，則結(jié)論由三角形

4、全等弱化為三角形相似演變命題1：如圖2，在和中，點d在邊bc的延長線上，且。求證：。 圖2例1 如圖3，正方形abcd的連長為4cm，點p是bc邊上不與點b，c重合的任意一點，連接ap，過點p作交dc于點q，設bp的長為cm, cq的長為cm。圖3（1） 求點p在bc上運動的過程中的最大值；（2） 當 cm時，求的值。例2 如圖4,邊長為1的正方形oabc的頂點o為坐標原點,點a在軸的正半軸上，點c在軸的正半軸上。動點d在線段bc上移動（不與點b，c重合），連接od，過點d作，交邊ab于點e，連接oe。記cd的長為. 圖4（1）當時,求直線de的函數(shù)表達式。（2）如果記梯形coeb的面積為s，

5、那么s是否存在最大值？若存在，試求出這個最大值及此時的值；若不存在，試說明理由。（3）當?shù)乃阈g平方根取最小值時，求點e的坐標。說明以上兩例，一道是中等難度的運動變化問題，一道是中考壓軸題，都巧妙地運用了正方形的特殊性，弱化了條件，發(fā)現(xiàn)問題中所蘊含的演變命題1及其圖形，并能正確運用其具有的相似結(jié)論，成了解決此類問題的突破口。因而，在平時的復習課中，教師應通過簡單問題的演變，給學生創(chuàng)造解答綜合性問題的機會，讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題的演變技巧和解答技巧，切忌平時不滲透綜合性問題教學，而等到臨近中考的最后階段再來集中復習綜合題。2、弱化條件“直角”，則“全等”結(jié)論仍然成立演變命題2：如圖5，在和中，點d在邊

6、bc的延長線上，ac=ce，且。則：。 圖5例3 如圖6，為等邊三角形，點d，e，f分別在邊bc，ca，ab上，且也為等邊三角形。 圖6（1）除已知等邊三角形的邊相等以外，請你猜想還有哪些線段相等，并證明你的結(jié)論；（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變換相互得到？寫出變換過程。說明此題將原題中的“3個直角”弱化為“3個角”，運用相同的方法和相同的結(jié)論（三角形等）便可解決問題。3、同時弱化條件“線段相等”和“直角”，則結(jié)論由全等弱化為相似。演變命題3：如圖7，在和中，點d在邊bc的延長線上，。則：。 圖7這里的條件為三個角相等，至于等于多少度，并無要求，可以是下面例題中的、或等特殊的度數(shù)，也

7、可以是一個一般的度數(shù)。因而，演變命題3在中考命題中的拓展與應用更為廣泛。例4 如圖8，在等邊中，p為bc上一點，d為ac上一點，且，bp=1，cd= ，則的邊長為（ ）。a、3 b、4c、5 d、6圖8例5 如圖9，在中，ab=ac=2，點d在bc上運動（不能到達點b，c），過點d作，de交ac于點e。 圖9（1） 求證：；（2） 設，求關于的函數(shù)關系式。例6 在等腰中，ab=ac=8，p為bc的中點。小惠拿著含角的透明三角板，使角的頂點落在點p，三角板繞點p旋轉(zhuǎn)。（1）如圖10(1)，當三角板的兩邊分別交ab，ac于點e，f時，求證：（2）操作：將三角板繞點p旋轉(zhuǎn)到圖10(2)情形時，三角板

8、的兩邊分別交ba的延長線、邊ac于點e，f。 圖101) 探究1、與還相似嗎？2) 探究2、連接ef，與 是否相似？試說明理由。3) 設ef=m，的面積為，試用含m的代數(shù)式表示。說明以上三例分別結(jié)合學生熟悉的等邊三角形、等腰直角三角形和三角板，創(chuàng)設了“3個角相等”的條件，因而三例都要運用三角形相似解決問題。通過這一系列問題的解決，讓學生經(jīng)歷了問題的變化、解決的過程，幫助學生認識蘊含在這些變化中的共同點和規(guī)律，有助于提高學生對此類問題及其解決策略的認識、理解與掌握。例7 如圖11，已知在等腰梯形abcd中，abcd，ab=10，bc=3。（1）如圖11(1)，如果m為ab上一點，且滿足，求am的

9、長。（2）如圖11(2)，如果點m在ab邊上移動（點m與a，b不重合），且滿足，mn交bc的延長線于點n，設am=，cn=，求關于的函數(shù)解析式。 圖11說明此題借助等腰梯形的特性,創(chuàng)設了滿足演變命題3的條件“”，因而，仍可用三角形相似解決問題。（二）強化條件針對基本問題及演變問題中的線段、角等幾何元素，通過給定其已知數(shù)據(jù)（長度、角度等），或設計成實際應用問題等手段強化問題的條件，考查學生綜合應用知識解決問題的能力。例8 如圖12，在筆直的公路的同側(cè)有a，b兩個村莊，已知a，b兩村分別到公路的距離ac=3km，bd=4km。 圖12（1）現(xiàn)要在公路上建一個汽車站p，使該車站到a，b兩村的距離相等

10、，試用直尺和圓規(guī)在圖中作出點p（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若連接ap，bp，測得，求a村到車站p的距離。說明此題是一道幾何實際應用問題，題中給出了ac，bd的長度，強化了基本問題的條件，學生若能發(fā)現(xiàn)這一點，則能很快運用三角形全等和勾股定理解決問題。例9 如圖13，在矩形abcd中，ab=4，ad=10。直角尺的直角頂點p在ad上滑動時（點p與點a不重合），一直角邊經(jīng)過點c，另一直角邊與ab交于點e。我們知道，結(jié)論“”成立。（1）當時，求ae的長；（2）是否存在這樣的點p，使的周長等于周長的2倍？若存在，求出dp的長；若不存在，試說明理由。（三）結(jié)論的延伸拓展考慮到習慣中的結(jié)論是兩個三角形

11、全等，根據(jù)全等性質(zhì)，可對問題的結(jié)論做進一步的延伸與拓展。例10 在中，ac=bc，直線mn經(jīng)過點c，垂足為d，垂足為e。（1）當直線mn繞點c旋轉(zhuǎn)到圖14(1)的位置時，求證：1) ；2)de=ad+be（2）當直線mn繞點c旋轉(zhuǎn)到圖14(2)的位置時，試問：de，ad，be具有怎樣的等量關系？試寫出這個等量關系，并加以證明。 圖14（四）圖形的變式延伸結(jié)合基本圖形所具有的特殊性，可作一系列的變化，如將習題中的和相向移動交叉重疊，如圖15所示。圖15例11 問題背景 某課外學習小組在一次學習研討中，得到了如下兩個命題：1）如圖16(1)，在正中，m，n分別是ac，ab上的點，bm與cn相交于點

12、o，若，則bm=cn；2）如圖16(2)，在正方形abcd中，m，n分別是cd，ad上的點，bm與cn相交于點o，若，則bm=cn；然后運用類比的思想提出了如下命題；3）如圖16(3)，在正五邊形abcde中，m，n分別是cd，de上的點，bm與cn相交于點o，若，則bm=cn。任務要求（1）請你從1）、2）、3）三個命題中選擇一個進行證明；（2）請你繼續(xù)完成下面的探索；1）、試在圖16(3)中畫出一條與cn相等的線段dh，使點h在正五邊形的邊上，且與cn相交所成的一個角是，這樣的線段有幾條？2）、如圖16(4)，在正五邊形abcde中，m，n分別是de，da上的點，bm與cn相交于點o，若，

13、請問結(jié)論bm=cn是否還成立？若成立，試給予證明；若不成立，試說明理由。 圖16（五）條件與結(jié)論的互換（建立原命題的逆命題）建立并討論研究幾何命題的逆命題，是幾何命題數(shù)學中最為常見的一種演變方法。例12 如圖17(1)、圖17(2)、圖17(3)中，點e，d分別是正、正四邊形abcm、正五邊形abcmn中以c點為頂點的相鄰兩邊上的點，且be=cd，db交ae于點p。（1）求圖17(1)中，的度數(shù)；（2）圖17(2)中，的度數(shù)為 ，圖17(3)中，的度數(shù)為 ；（3）根據(jù)前面的探索，你能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況。若能，寫出推廣問題和結(jié)論；若不能，試說明理由。 圖17說明很顯然，本例與例1

14、1是一種互逆關系，要求學生能通過運用正多邊形性質(zhì)與三角形全等等知識“正”、“逆”解決問題。（六）基本圖形的構(gòu)造應用幾何綜合性問題通常是由若干個基本問題組合而成，其圖形也是由若干個基本圖形組合而成，因而，學生不僅要具備必需的圖形分解能力，同時，還應具備必需的添加輔助線構(gòu)造基本圖形的技能。例13 如圖18，在梯形abcd中，adbc，ad=9，bc=12，ab=a，在線段bc上任取一點p，連接dp，作射線，pe與直線ab交于點e。（1）若設cp=，be=，試寫出關于自變量的函數(shù)關系式。（2）若在線段bc上能找到不同的兩點p1，p2，使按上述作法得到的點e都與點a重合，試求出此時a的聚會范圍。 圖1

15、8說明觀察圖形，針對條件“，試作，則有與相似，如圖19、圖20，從而運用相似的性質(zhì)，建立函數(shù)關系：當點p在bf上時， ；當點p在cf上時，。例14 如圖21，在的內(nèi)部有一正方形aocd，點a，c分別在射線om，on上，點b1是on上的任意一點，在的內(nèi)部作正方形ab1c1d1。（1）連接d1d，求證：（2）連接cc1，猜一猜，的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論。（3）在on上再任取一點b2，以ab2為邊，在的內(nèi)部作出正方形ab2c2d2，觀察圖形，并結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，請你再作出一個合理的判斷。說明觀察圖形，針對條件“”和所求“的度數(shù)”，試作，運用與全等和與全等求得。點評根據(jù)條件特點及圖形特征，發(fā)現(xiàn)