高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程3.2.3直線的一般式方程學(xué)案含解析新人教A版必修

1、32.2 & 3.2.3直線的兩點(diǎn)式方程直線的一般式方程兩點(diǎn)式、截距式提出問題某區(qū)商業(yè)中心O有通往東、西、南、北的四條大街，某公園位于東大街北側(cè)、北大街東P處，如圖所示公園到東大街、北大街的垂直距離分別為1 km和4 km.現(xiàn)在要在公園前修建一條直線大道分別與東大街、北大街交匯于A，B兩處，并使區(qū)商業(yè)中心O到A，B兩處的距離之和最短問題1：在上述問題中，實(shí)際上解題關(guān)鍵是確定直線AB，那么直線AB的方程確定后，點(diǎn)A，B能否確定？提示：可以確定問題2：根據(jù)上圖知建立平面坐標(biāo)系后，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值相當(dāng)于在x軸、y軸上的什么量？提示：在x軸、y軸上的截距問題3：那么若已知直線在坐標(biāo)軸的截距可以確定直

2、線方程嗎？提示：可以導(dǎo)入新知直線的兩點(diǎn)式與截距式方程兩點(diǎn)式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，其中x1x2，y1y2在x軸上截距a，在y軸上截距b圖形方程1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線及過原點(diǎn)的直線化解疑難1要注意方程和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)形式不同，適用范圍也不同前者為分式形式方程，形式對(duì)稱，但不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線后者為整式形式方程，適用于過任何兩點(diǎn)的直線方程2直線方程的截距式為1，x項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分母是直線在x軸上的截距，y項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分母是直線在y軸上的截距，中間以“”相連，等式的另一端是1，由方程可以直接讀出直線在兩軸上的

3、截距，如1，1就不是直線的截距式方程.直線方程的一般式提出問題觀察下列直線方程：直線l1：y23(x1)；直線l2：y3x2；直線l3：；直線l4：1.問題1：上述直線方程的形式分別是什么？提示：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式問題2：上述形式的直線方程能化成二元一次方程AxByC0的形式嗎？提示：能問題3：二元一次方程AxByC0都能表示直線嗎？提示：能導(dǎo)入新知1直線與二元一次方程的關(guān)系(1)在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示(2)每個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線2直線的一般式方程的定義我們把關(guān)于x，y的二元一次方程AxByC0(其中A，B

4、不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式化解疑難1求直線的一般式方程的策略(1)當(dāng)A0時(shí)，方程可化為xy0，只需求，的值；若B0，則方程化為xy0，只需確定，的值因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式2直線的一般式轉(zhuǎn)化為其他形式的步驟(1)一般式化為斜截式的步驟移項(xiàng)得ByAxC；當(dāng)B0時(shí)，得斜截式：yx.(2)一般式化為截距式的步驟把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，得AxByC；當(dāng)C0時(shí)，方程兩邊同除以C，得1；化為截距式：1.由于直線方程的斜截式和截距式是唯一的，而兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式

5、不唯一，因此，通常情況下，一般式不化為兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式利用兩點(diǎn)式求直線方程例1三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A(1,0)，B(3，1)，C(1,3)，求三角形三邊所在直線的方程解由兩點(diǎn)式，直線AB所在直線方程為，即x4y10.同理，直線BC所在直線方程為，即2xy50.直線AC所在直線方程為，即3x2y30.類題通法求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)

6、的對(duì)應(yīng)關(guān)系活學(xué)活用1已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)和點(diǎn)B(3,7)，則它在y軸上的截距是_答案：32若點(diǎn)P(3，m)在過點(diǎn)A(2，1)，B(3,4)的直線上，則m_.答案：2直線的截距式方程及應(yīng)用例2直線l過點(diǎn)P，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)AOB的周長為12時(shí)，求直線l的方程(2)當(dāng)AOB的面積為6時(shí)，求直線l的方程解(1)設(shè)直線l的方程為1(a0，b0)，由題意知，ab12.又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P，所以1，即5a232a480，解得或所以直線l的方程為3x4y120或15x8y360.(2)設(shè)直線l的方程為1(a0，b0)，由題意知，ab12，1，消去b，得a26

7、a80，解得或所以直線l的方程為3x4y120或3xy60.類題通法用截距式方程解決問題的優(yōu)點(diǎn)及注意事項(xiàng)(1)由截距式方程可直接確定直線與x軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫直線比較方便(2)在解決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、周長等問題時(shí)，經(jīng)常使用截距式(3)但當(dāng)直線與坐標(biāo)軸平行時(shí)，有一個(gè)截距不存在；當(dāng)直線通過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)截距均為零在這兩種情況下都不能用截距式，故解決問題過程中要注意分類討論活學(xué)活用求經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，并且和兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是1的直線方程解：設(shè)直線在x軸、y軸上的截距分別是a，b，則有S|ab|1.ab2.設(shè)直線的方程是1.直線過點(diǎn)(2,2)，代入直線

8、方程得1，即b.ab2.當(dāng)2時(shí)，化簡得a2a20，方程無解；當(dāng)2時(shí)，化簡得a2a20，解得或直線方程是1或1，即2xy20或x2y20.直線方程的一般式應(yīng)用例3(1)已知直線l1：2x(m1)y40與直線l2：mx3y20平行，求m的值；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a2)x(1a)y10與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？解(1)法一：由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20，當(dāng)m0時(shí)，顯然l1與l2不平行當(dāng)m0時(shí)，l1l2，需.解得m2或m3.m的值為2或3.法二：令23m(m1)，解得m3或m2.當(dāng)m3時(shí)，l1：xy20，l2：3x3y20，顯然l1與l2不重合，l1

9、l2.同理當(dāng)m2時(shí)，l1：2x3y40，l2：2x3y20，l1與l2不重合，l1l2，m的值為2或3.(2)法一：由題意，l1l2，若1a0，即a1時(shí)，直線l1：3x10與直線l2：5y20，顯然垂直若2a30，即a時(shí)，直線l1：x5y20與直線l2：5x40不垂直若1a0，且2a30，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2，當(dāng)l1l2時(shí)，k1k21，即1，所以a1.綜上可知，當(dāng)a1或a1時(shí)，l1l2.法二：由l1l2，所以(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a1.將a1代入方程，均滿足題意故當(dāng)a1或a1時(shí)，直線l1l2.類題通法1直線l1：A1xB1yC10，直線l2：A

10、2xB2yC20.(1)若l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)(2)若l1l2A1A2B1B20.2與直線AxByC0平行的直線方程可設(shè)為AxBym0(mC)，與直線AxByC0垂直的直線方程可設(shè)為BxAym0.活學(xué)活用(1)求與直線3x4y10平行且過點(diǎn)(1,2)的直線l的方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)且與直線2xy100垂直的直線l的方程解：(1)法一：設(shè)直線l的斜率為k，l與直線3x4y10平行，k.又l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，可得所求直線方程為y2(x1)，即3x4y110.法二：設(shè)與直線3x4y10平行的直線l的方程為3x4ym0.l經(jīng)過點(diǎn)(1,2)，3

11、142m0，解得m11.所求直線方程為3x4y110.(2)法一：設(shè)直線l的斜率為k.直線l與直線2xy100垂直，k(2)1，k.又l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，所求直線l的方程為y1(x2)，即x2y0.法二：設(shè)與直線2xy100垂直的直線方程為x2ym0.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，221m0，m0.所求直線l的方程為x2y0.典例求過點(diǎn)A(4,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線l的方程解當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上的截距都是0，滿足題意此時(shí)，直線的斜率為，所以直線方程為yx.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為1，又過點(diǎn)A，所以1.因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，所以|a

12、|b|.由聯(lián)立方程組，解得或所以所求直線的方程為1或1，化簡得直線l的方程為xy6或xy2.綜上，直線l的方程為yx或xy6或xy2.多維探究1截距相等問題求過點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上截距都是0，滿足題意，此時(shí)直線斜率為，所以直線方程為yx.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為1，又過A(4,2)，a6，方程為xy60.綜上，直線方程為yx或xy60.2截距和為零問題求過點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上截距都是0，滿足題意，此時(shí)直線斜率為，所以直線方程為yx.當(dāng)直線不過原

13、點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為1.又過A(4,2)，1，即a2，xy2.綜上，直線l的方程為yx或xy2.3截距成倍數(shù)問題求過點(diǎn)A(4,2)且在x軸上截距是在y軸上截距的3倍，求直線l的方程解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，它在x軸、y軸上截距都是0，滿足題意，此時(shí)直線斜率為，所以直線方程為yx.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，由題意可設(shè)直線方程為1，又直線過A(4,2)，所以1，解得a，方程為x3y100.綜上，所求直線方程為yx或x3y100.4截距和是定數(shù)問題求過點(diǎn)A(4,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為12的直線l的方程解：設(shè)直線l的方程為1，由題意得4b2aab，即4(12a)2aa(12a)，a214a480，解得a

14、6或a8.因此或所求直線l的方程為xy60或x2y80.方法感悟如果題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的“截距相等”“截距的絕對(duì)值相等”“截距互為相反數(shù)”“在一坐標(biāo)軸上的截距是另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m0)”等條件時(shí)，可采用截距式求直線方程，但一定要注意考慮“零截距”的情況隨堂即時(shí)演練1直線1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()A1B1C7 D7答案：B2直線5x2y100在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則有()Aa2，b5 Ba2，b5Ca2，b5 Da2，b5答案：B3直線l過點(diǎn)(1,2)和點(diǎn)(2,5)，則直線l的方程為_答案：xy304斜率為2，且經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為_答案：2

15、xy105三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0，5)，B(3,3)，C(2,0)，求直線AB和直線AC的方程解：直線AB的方程為8x3y150，直線AC的方程為5x2y100.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1平面直角坐標(biāo)系中，直線xy20的斜率為()A.BC. D答案：B2直線axby1(a，b均不為0)與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()A.ab B.|ab|C. D.答案：D3已知直線axbyc0的圖象如圖，則()A若c0，則a0，b0B若c0，則a0，b0D若c0，b0答案：D4已知直線l：AxByC0(A，B不同時(shí)為0)，點(diǎn)P(x0，y0)在l上，則l的方程可化為()AA(xx0)B(yy0)C0BA(xx

16、0)B(yy0)0CA(xx0)B(yy0)C0DA(xx0)B(yy0)0答案：D5若直線x2ay10與(a1)xay10平行，則a的值為()A. B.或0C0 D2答案：A二、填空題6若直線l1：ax(1a)y3與l2：(a1)x(2a3)y2互相垂直，則實(shí)數(shù)a_.答案：1或37垂直于直線3x4y70，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線在x軸上的截距是_答案：3或38過點(diǎn)P(2，1)，在x軸、y軸上的截距分別為a，b，且滿足a3b的直線方程為_答案：x3y10或x2y0三、解答題9已知在ABC中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1,2)，(4,3)，AC的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)求直線MN的方程解：(1)設(shè)點(diǎn)C(m，n)，AC的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，3)(2)由(1)知，點(diǎn)M