材料力學的課件.ppt

1、第七章 位移法,第一節(jié) 概 述,力法和位移法是分析超靜定結構的兩種最基本的方法。力法是把超靜定結構的多余未知力作為基本未知量（力），而位移法，則是把結構的結點位移作為基本未知量。 對于線性彈性結構，在一定外荷載作用下內力與位移存在一一對應關系。,第一節(jié) 概 述,在計算超靜定結構時，可設法求出結構中的某些位移，通過位移與內力之間確定的對應關系，求出相應的內力，從而對超靜定結構進行計算，這種計算超靜定結構的方法叫位移法。,第二節(jié) 位移法的基本概念,用位移法分析結構時，先將結構隔離成單個桿件，進行杠件受力分析，然后考慮變形協(xié)調條件和平衡條件，將桿件在結點處拼裝成整體結構。 所示結構為例了解位移法的基

2、本思路。,第一步，使原結構處于固定狀態(tài),第二步，用桿端位移表示桿端力,得桿件BC的桿端彎矩為： 桿件BA的桿端彎矩為：,第三步，用平衡條件建立位移方程,（MBA+MBC）=0,從上式中可求得B的角位移值為：,(順時針方向),可求得各桿件桿端彎矩值為：,桿件BC：,桿件BA：,(上邊纖維受拉),(左邊纖維受拉),(右邊纖維受拉),從上面簡單剛架計算實例可以得到這樣結論：位移法是以結構的結點位移作為未知量，先通過“離散”和“組合”的過程中求出未知量，再利用它對結構進行分析。 最后可以把位移法的基本思路概括為，先離散后組合的處理過程。所謂離散，就是把對整體結構的分析轉化對單個桿件系在變形協(xié)調一致條件

3、下的桿系分析。所謂組合，是要把離散后的結構恢復到原結構的平衡狀態(tài)，也就是要把各個桿件組合成原結構，組合條件就是要滿足原結構的平衡條件。,因此位移法分析中應解決的問題有以下幾方面：,確定桿端內力與桿端位移及荷載之間的函數關系。 確定結構中哪些結點位移作為基本未知量。 如何建立求解基本未知量的位移法方程式。 這些問題將在以后的各節(jié)中分別予以介紹和討論。,第三節(jié)等截面直桿的形常數和截常數,用位移法分析結構時，是用增加附加約束的辦法，把對原結構的分析轉化為對單跨超靜定桿件及靜定桿件的分析。 對單跨超靜定桿件分析是位移法分析的基礎。又因為位移法是建立在手算基礎上，基本未知量的數目越少越好，所以，為了減少

4、基本未知量數目，我們給出三種基本桿件類型：兩端固定桿件；一端固定、另一端鉸支座桿件；一端固定、另一端定向支座桿件。由于結構常為等截面直桿構成，所以只討論三種類型的等截面直桿在桿端位移和外荷載分別作用下產生的桿端力。,桿端位移的正負號規(guī)定,桿端角位移（結點角位移），以順時針方向,旋轉為正，反之為負,桿端線位移（結點線位移）。桿端線位移是 指桿件兩端垂直于桿軸線方向的相對線位移， 正負號則以使整個桿件順時針方向旋轉規(guī)定為正,反之為負 。,桿端內力的正負號規(guī)定,桿端彎矩。對桿件而言，當桿端彎矩繞桿件順時針方向旋轉為正，反之為負。對結點而言，當桿端彎矩繞結點（或支座）逆時針方向旋轉為正，反之為負 桿端

5、剪力Q正負號的規(guī)定，同材料力學和本書中前面的規(guī)定，這里從略。,等截面直桿的剛度系數和固端力,（1）剛度系數 桿件剛度系數，是指使單跨超靜定桿件在桿端沿某位移方向發(fā)生單位位移時，所需要施加的桿端力。由于它只是與桿件長度、截面尺寸以及材料的彈性常數（如彈性模量等）有關的常數，又稱它為形常數。在表8-1、8-2和8-3中分別給出了三種不同類型的桿件有桿端單位角位移和單位相對線位移的剛度系數，這些形常數是用力法推導出來的，正負號是按本節(jié)規(guī)定確定的。,（2）截常數 單跨超靜桿件在荷載等外部因素作用下引起的桿端內力，常稱為固端內力（包括固端彎矩和固端剪力）。在給定桿件類型后，其數值與荷載形式等有關，故稱為

6、載常數。在表8-1、8-2及8-3中給出三種類型桿件在常見荷載作用下的載常數，也是用力法推導出的，正負號也是按本節(jié)規(guī)定確定的。,第四節(jié)位移法的基本未知量和基本結構,位移法基本概念可知，如果結構的每根桿件的桿端位移已知，即可求出桿件內力。又由于匯交于剛結點處各桿端位移相等，且等于結點位移，位移法把結構的獨立結點位移作為基本未知量。結點位移由結點角位移和結點線位移兩部分組成，則基本未知量由結點角位移和結點線位移兩部分組成。同時位移法引入變形假設：假設結構變形是微小的；忽略受彎直桿（件）的軸向變形和剪切變形對結點位移的影響。下面將按照變形假設、三種類型桿件以及結構的支座約束條件，討論結構的獨立結點位

7、移 。,（1） 結點角位移,由材料力學梁彎曲的平面截面假設可知，桿件發(fā)生彎曲變形后，橫截面保持平面且與桿軸線垂直，故桿端角位移和桿端橫截面的角位移是相等的。又根據剛結點的變形連續(xù)條件，桿端角位移與該桿端相應的結點角位移是相同的。由此得出，通常情況下，一個剛結點有一個獨立結點角位移（轉角）。,結構結點的基本類型有剛結點和鉸結點，另外還有混合結點，而混合結點中有剛性連結部分和鉸結部分，可把一個剛性連接部分也作為一個剛結點，仍然適用于一個剛結點只有一個獨立結點角位移。鉸結點處的桿端雖然有角位移，在位移法計算中可以選用表8-2一端固定，一端鉸支座桿件的形常數和載常數，則鉸支端的角位移不作為基本未知量。

8、,（2） 結點線位移,分析結構的獨立結點線位移時，先分析結點和桿件連結關系。一般情況下，平面桿件結構中每個結點（包括剛結點和鉸結點）均可能有兩個（如水平和豎向）結點線位移。若不考慮桿件的軸向變形，每根受彎直桿變形后在桿軸方向上兩端間距（長度）不改變，則有一根受彎直桿等同一根鏈桿的作用，能減少一個結點線位移。若兩個結點用一根受彎直桿連結后，在桿軸方向上將原有的兩個獨立結點線位移減少為一個獨立結點線位移。由此推得，在一條直線上的多個結點（包括剛結點和鉸結點）用受彎桿件相互連接后，在該直線上的獨立結點線位移只有一個。,位移法的基本結構,位移法中采用增加附加約束，以限制原結構的結點位移而得到的新結構，

9、稱為位移法的基本結構。 使用的附加約束有兩種形式：對應于結點角位移，在剛結點處附加剛臂，只限制剛結點的角位移，不限制結點線位移，用符號“”表示剛臂；對應于獨立的結點線位移用附加鏈桿，只限制結點線位移。,第五節(jié) 位移法的典型方程,用位移法求解超靜定結構時，根據建立求基本未知量的位移法基本方程方法的不同，可分為典型方程法和平衡方程法兩種。本節(jié)先討論典型方程法。,51 位移法的典型方程的建立,以圖8-8（a）所示剛架為例，說明典型方程法建立位移法方程的過程。圖8-8（a）所示剛架在剛結點B處有一個獨立角位移，編號為Z1；另外結點A、B、C有一個獨立水平線位移，編號為Z2，基本未知量和基本結構見圖（b

10、）。圖（b）中為桿件的線剛度。,基本結構在外荷載q單獨作用下引起的彎矩圖，記為圖，見圖（C）。它引起附加剛臂和附加鏈桿的反力矩和反力，分別用、（圖C）表示。其中第一個腳標表示反力所屬約束，第二個腳標表示反力產生的原因。如表示由荷載作用引起附加剛臂的反力矩，后面遇到下標的物理意義可按此類推。,圖8-8（d）、（e）分別表示基本結構在Z1=1及Z2=1單獨作用下產生的彎矩圖，稱為單位彎矩圖（或稱圖及圖）。用r11、r21、r12、r22表示在相應的附加約束中產生的反力矩及反力。他們的第一個腳標表示該反力所屬的附加約束；第二個腳標則表示反力產生的原因。例如r11表示由Z1=1單獨作用于基本結構時，在

11、附加剛臂中產生的反力矩（圖d）；r12表示由Z2=1單獨作用在基本結構時，在附加剛臂中產生的反力矩（圖e）。單位位移均按基本未知量的正方向設定，而各反力的方向也均按所設的基本未知量方向設定。,設基本結構在外荷載和獨立結點位移Z1 及Z2分別作用下，在附加剛臂和鏈桿中產生的反力矩和反力之和為R1及R2，由疊加法可得其表達式為：,要使基本結構在荷載和基本未知量共同作用下的受力和原結構受力相同，所以R1和R2應該等于零，故式（a）變?yōu)? 上式稱為二個未知量的位移法典型方程。它的物理意義是，基本結構在外荷載和結點位移共同作用下，在每一個附加約束中產生的反力等于零。它反映了基本結構受力與原結構是相同的，

12、實質上代表了原結構的靜力平衡方程。結構有多少個獨立的結點位移未知數，就可以建立與之對應的相同數目的平衡方程。,5.2 n個基本未知量的位移法典型方程,對于具有n個獨立結點位移的結構，在原結構中加入相應的附加約束，根據每個附加約束中的反力矩或反力都應等于零的平衡條件， 則可建立n個方程如下：,也可寫成矩陣表達式:,在位移法典型方程中，每個系數都是單位結點位移所引起的附加約束的反力，它的大小與結構剛度有關；剛度愈大則反力也愈大。故把系數稱為結構的剛度系數，把典型方程稱為剛度方程，把位移法也叫剛度法。 無論剛架、連續(xù)梁、鉸接排架還是組合結構，也無論結構形式有多大差異，也不管基本未知量的類型有什么不同

13、，只要結構的位移法基本未知量數目相同，位移法方程形式都是相同的。,5.3 位移法典型方程中的系數和自由項計算,計算系數和自由項時，可根據單位彎矩圖、 以及荷載彎矩圖,取隔離體,由平衡條件求得系數和自由項.現以圖8-8（a）所示剛架中的系數和自由項具體計算說明如下。,計算附加剛臂中由Z1=1，Z2=1及荷載單獨作用下產生的反力矩時，從圖8-8（d）、（e）、（c）中取結點B為隔離體，運用力矩平衡方程可求得有關剛臂中的反力矩系數和自由項：,計算附加鏈桿中產生的反力時，從圖8-8（d）、（e）、（c）中取橫梁ABC部分為隔離體，受力見圖8-9（d）、（e）、（f）。用投影方程，可求得相應的系數和自由

14、項：,5.4 解聯立方程組求基本未知量,將求得的系數和自由項代入典型方程，可得： 求解方程組，得基本未知量的值為：,5.5 求最后內力并作內力圖,在計算位移法典型方程中的系數和自由項時，已經作出單位彎矩圖、 以及荷載彎矩圖,可用疊加法求最后內力和作彎矩圖。 用簡支梁疊加法可繪出最后彎矩圖，見圖8-8（f）。繪出M圖后，可由靜力平衡條件求得桿端剪力和軸力，并作出剪力圖和軸力圖。,第六節(jié) 用典型方程法計算超靜定結構,典型方程法的計算步驟 用位移法的典型方程方法計算各外部因素（載荷、支座位移等）作用下的各類結構內力的步驟歸納如下： 1確定原結構的基本結構和基本未知量； 2列位移法的基本方程（典型方程

15、）； 3計算系數和自由項。首先作圖和圖，然后用平衡條件計算系數和自由項； 4解聯立方程組求基本未知量； 5求結構內力，并作內力圖； 6校核。 用位移法分析超靜定結構時，把只有角位移沒有線位移結構，稱無側移結構，如連續(xù)梁；又把有線位移的結構，稱為有側移結構。如鉸接排架和有側移剛架等。,6.2 有一個獨立結點角位移未知量的結構計算,例8-1 用位移法計算圖8-10（a）所示結構，繪彎矩圖。 （1）確定基本未知量和基本結構。各結點無線位移，只有剛結點E處角位移，作為基本未知量，并加附加剛臂約束限制結點轉角?？蓪⒃Y構分成單跨超靜定桿件和靜定桿件，得基本結構和基本未知量，見圖（b），令，各桿的線剛度標在圖（b）中。,2）列典型方程： 式中系數和自由項的物理意義見圖（c）和（d）。,（3）計算系數和自由項。作在Z1=1和外荷載分別作用下基本結構的圖和圖，見圖（c）和（d）。 從圖（c）和（d）中 取結點E為隔離體，畫受力圖，由力矩平衡條件得：,（4）解方程求Z1。把（b）、（c）式代入式（a），解得：,（5）