線性代數(shù)課件：6-2化二次型為標準形

1、6.2.1 配方法,6.2 化二次型為標準形,，,，,例6.2.1 試用配方法將二次型,化為標準形,并寫出所用可逆線性變換.,解 這個二次型含有變量x的平方項,可先將二次型中含x的所有項放在一起配成一個完全平方項,然后再對 y, z進行配方.,，,，,取,即,則通過可逆線性變換,把二次型 f 化為標準形,二次型 f 所對應(yīng)的矩陣,所做可逆線性變換所對應(yīng)的矩陣為,容易驗證,，,，,例6.2.2 試用配方法將二次型,化為標準形.,解 在這里遇到一個特殊情形,即f中不含平方項.而沒有平方項就無法直接應(yīng)用例6.2.1的配方法.我們可以利用一個特別的線性變換先構(gòu)造出一些平方項來.令,(6.2.1),，,

2、，,寫成矩陣式為,即X = CY.,易見C是可逆陣,從而(6.2.1)可逆線性變換.對 f 作此替換后得,現(xiàn)在可以進行配方:,再令,(6.2.2),得,，,，,即 f 經(jīng)過變元的線性變換化成了關(guān)于變元z1, z2, z3的標準形.,與(6.2.2)式相應(yīng)的矩陣式為,這樣由(6.2.1),(6.2.2)式得到總的線性變換為,即Z=BY.,(6.2.3),即 f 經(jīng)過可逆線性變換(6.2.3)化成了標準形.其中,，,，,，,記,為 f 對應(yīng)的矩陣,則,，,，,定理6.2.1 數(shù)域P上任意一個二次型f都可由可逆線性變換化為標準形式,證 我們對變元的個數(shù)n作歸納法.,當n=1時,二次型為,這已經(jīng),是標

3、準形式了.設(shè)對于n-1個變元的二次型定理成立,取n元二次型,以下分三種情形進行討論:,，,，,(1) aii(i=1,2,n)中至少有一個不為0,例如a110,這時可直接施行配方:,，,，,其中,是一個關(guān)于變元x2,x3,xn的二次型.,作可逆線性變換,，,，,或,由歸納法假定,其中,得,可由可逆,線性變換化為平方和形式,再令y1=z1,則 f 化成了標準形.,(2) aii(i=1,2,n)全為零,但至少有一個a1j0 (j1). 不妨設(shè)a120,令,則,這樣,的系數(shù)不為零,化成了第(1)種情況,故而可化為標準形.,(3) a11=a12=a1n=0,此時由于系數(shù)的對稱性必有 a21= a3

4、1= an1= 0 ,從而 f =,已是n-1元的二次型,由歸納,假設(shè)它可化為標準形. 證畢.,，,，,根據(jù)6.1對二次型矩陣合同關(guān)系的討論,由定理6.2.1立即可得:,推論 數(shù)域P上任意一個對稱矩陣都必合同于一個對角形矩陣.即對任意對稱矩陣A,必存在可逆矩陣C,使CTAC成對角形矩陣.,6.2.3 正交替換法舊瓶裝新酒,重溫經(jīng)典時刻: 對于n階實對稱矩陣A,必有n階正交矩陣Q使,為對角形,其中Q的列向量是A的n個正交的單位特征向量,1,2,n是A的全部實特征值.,喬遷之喜,Q為正交陣時, QT=Q-1 ,QTAQ = Q-1AQ,從而實對稱矩陣的正交合同變換與正交相似變換完全是一回事.,把第

5、五章5.3.3中實對稱矩陣相似對角化的方法完全照搬過來,就是實對稱矩陣的正交合同對角化方法.,I.E. 定理6.2.3 設(shè)f =XTAX是實數(shù)域R上的二次型,則必有可逆線性變換X=QY使f=YT(QTAQ)Y為標準形,其中的Q是正交矩陣,標準形中平方項的系數(shù)是A的全部實特征值.,當Q為正交陣時,稱線性變換X = QY為正交線性變換.合同變換QTAQ稱為正交合同變換.,詮釋學(xué)：實二次型必可經(jīng)正交線性變換化為標準形.而實對稱矩陣必可由正交合同變換化為對角形.,正交線性變換之用,在n維實向量空間中,正交線性變換保持向量的長度和向量間的夾角不變.,若一個二次曲面f (x1,x2,x3)=0的左邊是實二次型,則經(jīng)過正交線性變換后所得曲面保持原曲面的大小,形狀都不變,僅僅是在空間的位置變化了(如經(jīng)過某種旋轉(zhuǎn)).而一般的可逆線性變換則可能使曲面的大小、形狀都產(chǎn)生變化.,例6.2.4 設(shè)實二次型,用正交線性變換化為標準形.,解 f 對應(yīng)的實對稱矩陣為,，,，,由A的特征多項式,，,可得A的特征值1=-1,2=2,其中1是重根.,當1=-1時,解線性方程(-E-A)X=0,求得基礎(chǔ)解系,再單位化,得：,先把1,2正交化：