八年級一元一次不等式(教師講義帶答案)

1、第四章 一元一次不等式(組) 考點(diǎn)一、不等式的概念 （3分）1、不等式：用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個不等式的解。3、對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。4、求不等式的解集的過程，叫做解不等式。5、用數(shù)軸表示不等式的方法考點(diǎn)二、不等式基本性質(zhì) （3-5分）1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改

2、變。4、說明：在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，是隨著加或乘的運(yùn)算改變。如果不等式乘以0，那么不等號改為等號所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立；考點(diǎn)三、一元一次不等式 （6-8分） 1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步驟：（1）去分母（2）去括號（3）移項(xiàng)（4）合并同類項(xiàng)（5）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1考點(diǎn)四、一元一次不等式組 （8分）1、一元一次不等式組的概念：幾個一元

3、一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。2、幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。6、不等式與不等式組不等式：用符號，=，號連接的式子叫不等式。不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相

4、反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式解集的過程叫做解不等式。經(jīng)典例題透析類型一：解一元一次不等式組1、解不等式組，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來。思路點(diǎn)撥：先求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示不等式的解集，求出它們的公共部分即不等式組的解集。解析：解不等式，得x；解不等式，得x1。所以不等式組的解集為x1在數(shù)軸上表示不等式的解集如圖。總結(jié)升華：用數(shù)軸表示不等式組的解集時，要切記：大于向右畫，小于向左畫。有等號畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號畫空心圓圈。舉一反三：【變式1】解不等式組：解析：解不等式，得： 解不等式，得：

5、 在數(shù)軸上表示這兩個不等式的解集為： 原不等式組的解集為： 【變式2】解不等式組：思路點(diǎn)撥：在理解一元一次不等式組時要注意以下兩點(diǎn)：（1）不等式組里不等式的個數(shù)并未規(guī)定；（2）在同一不等式組里的未知數(shù)必須是同一個.（3）注意在數(shù)軸表示解集時“空心點(diǎn)”與“實(shí)心點(diǎn)”的區(qū)別解法一：解不等式，得：解不等式，得： 解不等式，得： 在數(shù)軸上表示這三個不等式的解集為： 原不等式組的解集為：解法二：解不等式，得： 解不等式，得： 由與得： 再與求公共解集得：. 【變式3】解不等式組：解析：解不等式得：x2解不等式得：x7不等式組的解集為無解【變式4】解不等式：15思路點(diǎn)撥：(1)把連寫不等式轉(zhuǎn)化為不等式組求解

6、；(2)根據(jù)不等式的性質(zhì)，直接求出連寫不等式的解集。解法1：原不等式可化為下面的不等式組 解不等式，得x1，解不等式，得x8 所以不等式組的解集為1x8。即原不等式的解集為1x8解法2：15，32x115，22x16，1x8。 所以原不等式的解集為1x8總結(jié)升華：對于連寫形式的不等式可以化成不等式組來求解，而對于只有中間部分含有未知數(shù)的連寫形式的不等式也可以按照解不等式的步驟求解，如解法2.【變式5】求不等式組的整數(shù)解。思路點(diǎn)撥：按照不等式組的解法，先求出每個不等式的解集，在數(shù)軸上表示出各個不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式組的解集內(nèi)求出符合要求的整數(shù)解。解析：解不等式，得

7、x；解不等式，得x4。在數(shù)軸上表示不等式的解集(如圖)所以不等式組的解集為x4。所以它的整數(shù)解為3,4。類型二、含參數(shù)的一元一次不等式組2、若不等式組無解，求a的取值范圍. 思路點(diǎn)撥：由兩個不等式組成的不等式組無解只有一種情況，即“大大小小”，也就是說如果x比一個較大的數(shù)大，而比一個較小的數(shù)小，則這樣的數(shù)x不存在. 解析：依題意： 2a-5 3a-2，解得a -3 總結(jié)升華：特別地，當(dāng)2a-5與3a-2相等時，原不等式組也無解，請注意體會，以后做此類型的題目不要忽略對它們相等時的考慮. 舉一反三：【變式1】若不等式組無解，則的取值范圍是什么？解析：要使不等式組無解，故必須，從而得.【變式2】若

8、關(guān)于的不等式組 的解集為，則的取值范圍是什么？解析：由+1可解出，而由可解出，而不等式組的解集為，故，即.總結(jié)升華：上面兩個例題給出不等式組的解集，反求不等式組中所含字母的取值范圍，故要求較高.解這類題目的關(guān)鍵是對四種基本不等式組的解集的意義要深刻理解，如變式2，最后歸結(jié)為對不等式組解集的確定，這就要求熟悉“同小取小”的解集確定方法，當(dāng)然也可借助數(shù)軸求解?！咀兪?】不等式組的解集為x2，試求k的取值范圍.解析：，由得 x2,由得xk, 不等式組的解集為 x2， 2k.即k2. 【變式4】已知關(guān)于的不等式組 的整數(shù)解共有5個，求的取值范圍。解析：不等式組的解為: 不等式組的解為: 由于原不等式組

9、有解，解集為 在此解集內(nèi)包含5個整數(shù)，則這5個整數(shù)依次是m必須滿足【變式5】若不等式組的解集為1x1，則(ab)2008。解析：由知xa2，由知x，a21，1，a3，b2，ab1，(ab) 2008(1)20081。類型三、建立不等式或不等式組解決實(shí)際問題3、某校在一次外出郊游中，把學(xué)生編為9個組，若每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，則學(xué)生總數(shù)超過200人；若每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，則學(xué)生總數(shù)不到190人，求預(yù)定每組學(xué)生的人數(shù)。思路點(diǎn)撥：運(yùn)用不等式解應(yīng)用題的方法，找出題目中的不等關(guān)系，列不等式組，本題中的兩個不等關(guān)系是：9個小組中每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，學(xué)生總數(shù)超過200人；9個小組中每組比預(yù)定的人數(shù)少

10、1人，學(xué)生總數(shù)不到190人。解析：設(shè)預(yù)定每組學(xué)生有x人，根據(jù)題意，得解這個不等式組，得，所以不等式組的解集是，其中符合題意的整數(shù)解只有一個x22。答：預(yù)定每組學(xué)生的人數(shù)為22人?？偨Y(jié)升華：列不等式(組)解應(yīng)用題，首先將題目中的不等關(guān)系用不等式表示出來，當(dāng)求得未知數(shù)的值后，要檢驗(yàn)，一是檢驗(yàn)所求值是否是原不等式或不等式組的解，二是檢驗(yàn)所求得的值是否與實(shí)際意義相符。舉一反三：【變式1】某飲料廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，用A、B兩種果汁原料各19千克、17.2千克，試制甲、乙兩種新型飲料共50千克，下表是試驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)：飲料每千克含量甲乙A（單位：千克）0502B（單位：千克）0304（1）假設(shè)甲種飲料需配制x

11、千克，請你寫出滿足題意的不等式組，并求出其解集。（2）設(shè)甲種飲料每千克成本為4元，乙種飲料每千克成本為3元，這兩種飲料的成本總額為y元，請用含 有x的式子來表示y。并根據(jù)（1）的運(yùn)算結(jié)果，確定當(dāng)甲種飲料配制多少千克時，甲、乙兩種飲料 的成本總額最小？解析：（1） 0.5x+0.2(50 -x)19 0.3x+0.4(50-x)17.2 由得x30,由得x28 28x30 （2）y=4x+3(50-x)，即y=x+150 因?yàn)閤越小，則y越小， 所以當(dāng)x=28時，甲、乙兩種飲料的成本總額最少?！咀兪?】某園林的門票每張10元，一次使用。考慮到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來

12、的售票方法外，還推出了一種“購買個人年票”的售票方法（個人年票從購買日起，可供持票人使用一年）。年票分A、B、C三類：A類年票每張120元，持票者進(jìn)入園林時，無需再購買門票；B類年票每張60元，持票者進(jìn)入該園林時，需再購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進(jìn)入該園林時，需要再購買門票，每次3元。（1）如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計 算，找出可使進(jìn)入該園林的次數(shù)最多的購票方式。（2）求一年中進(jìn)入該園林至少多少次時，購買A類年票才比較合算。思路點(diǎn)撥：“合算”是指進(jìn)園次數(shù)多而花錢少，或是花相同的錢進(jìn)園的次數(shù)最多，顯然是通過計算進(jìn)行代數(shù)式

13、比較和建立不等式（組）關(guān)系。解：（1）不可能選A類年票， 若選B類年票，則為10次； 若選C類年票，則為13次； 若不購買年票，則為8次 所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買C類年票的方法進(jìn)入園林的次數(shù)最多， 為13次。（2）設(shè)至少超過x次時，購買A類年票才比較合算， 則 60+2x120 解得 x30 40+3x120 解得 x26 10x120 解得 x12 x30 所以，一年中進(jìn)入該園林至少超過30次時，購買A類年票才比較合算?！咀兪?】若干名學(xué)生，若干間宿舍，若每間住4人將有20人無法安排住處；若每間住8人，則有一間宿舍的人不空也不滿，問學(xué)生有多少人？宿舍有幾間？解析：設(shè)宿舍

14、共有x間。解得： 5x7x為整數(shù)x6學(xué)生人數(shù)462044(人)答：學(xué)生44人，宿舍6間?！咀兪?】某學(xué)校計劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租車公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元，（1）若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種客車各需多少錢？（2）若學(xué)校同時租用這兩種客車8輛（可以坐不滿），而且比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省租金，請選擇最節(jié) 省的租車方案。解析：（1）385429.2單獨(dú)租用42座客車需10輛，租金為320103200(元) 385606.4單獨(dú)租用60座客車需7輛，租金為46073220(元)（2）設(shè)租用42座客車x輛，則60座客車需(8x)輛 解

15、得： 因x取整數(shù)x4，5 當(dāng)x4時，租金為3204460(84)3120(元) 當(dāng)x5時，租金為3205460(85)2980(元) 所以租5輛42座，3輛60座最省錢。【變式5】 解方程。由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和2的距離之和為5的點(diǎn)對應(yīng)的x的值。在數(shù)軸上，1和2的距離為3，滿足方程的x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊或2的左邊，若x對應(yīng)點(diǎn)在1的右邊，由圖（17）可以看出x2；同理，若x對應(yīng)點(diǎn)在2的左邊，可得x3，故原方程的解是x=2或x=3參考閱讀材料，解答下列問題：（1）方程的解為 （2）解不等式9；（3）若a對任意的x都成立，求a的取值范圍解：（1）1或 （2）和的距離為7，因此

16、，滿足不等式的解對應(yīng)的點(diǎn)3與的兩側(cè)當(dāng)在3的右邊時，如圖（2），易知 當(dāng)在的左邊時，如圖（2），易知原不等式的解為或 （3）原問題轉(zhuǎn)化為： 大于或等于最大值 當(dāng)時，當(dāng)，隨的增大而減小，當(dāng)時，即的最大值為7 故12分一次不等式（組）中參數(shù)取值范圍求解技巧 (提高部分)已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數(shù)的取值范圍，以及解含方程與不等式的混合組中參變量（參數(shù)）取值范圍，近年在各地中考卷中都有出現(xiàn)。求解這類問題綜合性強(qiáng)，靈活性大，蘊(yùn)含著不少的技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。 一、化簡不等式（組），比較列式求解例1若不等式的解集為，求k值。 解：化簡不等式，得x5k，比較已知解集，得

17、，。 例2（2014年山東威海市中考題）若不等式組的解集是x3，則m的取值范圍是（ ）。A、m3B、m=3C、m3，得3m, 選D。 例3（2014年重慶市中考題）若不等式組的解集是-1x1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化簡不等式組，得 它的解集是-1x2的解集為，則a的取值范圍是（ ）。A、a0B、a1C、a0D、a1 解：對照已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì)3得：1-a1，選B。 例5（2014年湖北荊州市中考題）若不等式組的解集是xa，則a的取值范圍是（ ）。 A、a3D、a3 解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對照已知解集xa,得a3, 選D。 變式（2014年重慶市初

18、數(shù)賽題）關(guān)于x的不等式(2a-b)xa-2b的解集是，則關(guān)于x的不等式ax+b0的解集為_。 三、利用性質(zhì)，分類求解例6已知不等式的解集是，求a的取值范圍。 解：由解集得x-20時，得解集與已知解集矛盾； 當(dāng)a-1=0時，化為0x0無解； 當(dāng)a-10時，得解集與解集等價。 例7若不等式組有解，且每一個解x均不在-1x4范圍內(nèi)，求a的取值范圍。 解：化簡不等式組，得 它有解， 5a-63aa3；利用解集性質(zhì)，題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x4內(nèi)。于是分類求解，當(dāng)x4時，得42。故或2a3為所求。 評述：(1)未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)系數(shù)正負(fù)情況下，須得分正、零、負(fù)討論求解；對解集不在

19、axb 范圍內(nèi)的不等式(組)，也可分xa或x b 求解。(2)要細(xì)心體驗(yàn)所列不等式中是否能取等號，必要時畫數(shù)軸表示解集分析等號。 四、借助數(shù)軸，分析求解 例8（2014年山東聊城中考題）已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共5個，則a的取值范圍是_。 解：化簡不等式組，得有解，將其表在數(shù)軸上，如圖1，其整數(shù)解5個必為x=1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4a-3。 變式:(1)若上不等式組有非負(fù)整數(shù)解，求a的范圍。 (2)若上不等式組無整數(shù)解，求a的范圍。(答：(1)-11) 例9關(guān)于y的不等式組 的整數(shù)解是-3，-2，-1，0，1。求參數(shù)t的范圍。 解：化簡不等式組，得 其解集為 借助數(shù)軸圖2得 化簡得 , 。 評