高等數(shù)學(xué)試卷：2006工科數(shù)分（上）期中試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、東 南 大 學(xué) 考 試 卷課程名稱工科數(shù)分考試學(xué)期06072得分學(xué)號(hào) 姓名 適用專業(yè)選修數(shù)分各專業(yè)考試形式閉卷考試時(shí)間長度120分鐘一.填空題（前三題每題4分，第4題8分,共20分）1設(shè)，其中為可微函數(shù)，則微分； 2已知，則，；3設(shè)函數(shù),則；4 舉出符合各題要求的一例，并將其填寫在橫線上：（1）在處不連續(xù)，但當(dāng)時(shí)，極限存在的函數(shù)有，（2）在處連續(xù)，但在時(shí)不可導(dǎo)的函數(shù)有，（3）在處導(dǎo)數(shù)為，但不為極值點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)有，（4）屬于“”或“”未定型，且存在有限極限，但極限不能用洛必達(dá)法則求得的有.二.選擇題（每小題4分，共12分）1.設(shè)是單調(diào)增函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，且復(fù)合函數(shù)，都有意義，則下列函數(shù)組中全為

2、單調(diào)減函數(shù)的是 C (A) (B) (C) (D) 2設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)滿足 C （A） （B） （C） （D）3關(guān)于數(shù)列的子列，下列敘述錯(cuò)誤的是 C （A）若是Cauchy數(shù)列，則的任一子列都收斂.（B）若是有界數(shù)列 ，則必有一子列收斂.（C）若是無界數(shù)列 ，則的任一子列都不收斂.（D）若當(dāng)時(shí)是無窮大量 ，則的任一子列都不收斂.三（每小題7分，共35分）1 解： （3+2+2分）2. 解： （3+2+2分）3設(shè)，求 . 解：（3分）（4分）4.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求曲線 在點(diǎn)處的切線方程.解：對(duì)方程關(guān)于求導(dǎo)得：，（4分）將代入得，（1分）于是所求切線方程為.（2分）5. 設(shè)數(shù)列

3、滿足，證明數(shù)列收斂并求極限。解：首先，（2分）由此可得，（3分）由夾逼定理得數(shù)列收斂，且.（2分）四（7分）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且若在時(shí)是比高階的無窮小，試確定的值。解：由（4分）得.（3分）五（每小題7分，共14分） 1. 用定義證明.證：，（4分），取，當(dāng)時(shí)，（3分）2. 利用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明：數(shù)列發(fā)散.證：，（4分）取，對(duì)，取，則，由Cauchy收斂準(zhǔn)則得：數(shù)列發(fā)散. （3分）六. (6分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，試證：存在一點(diǎn)，使得 證：設(shè)，（2分）在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，使得，由于，得（4分）七.(6分)設(shè)在上可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)非一致連續(xù).證：用反證法。設(shè)在內(nèi)一致連續(xù).對(duì)，對(duì)，有 （*），（2分）由