求二面角的五種方法

1、求二面角的五種方法一、定義法：由圖形的特殊條件按定義直接作出. 如在空間四邊形ABCD 中 ,AB =AC, DB =DC , 求二面角A-BC-D 的大小 .例 1 如圖 , 過正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 作 PA平面 ABCD , 設(shè) PA=AB= a,求二面角 B-PC -D 的大小 .例 2 二面角 -BC-大小為 120, A ,B , 且 ABBC , BC CD , AB =BC=CD=1, 求二面角 A-BD-C 的正切值 .例 3 如圖 ,已知四面體 SABC 中 , ASB=,ASC=(0),22 CSB=(0), 二面角 A-SC-B 的大小為 ,求證：=-arccos

2、(coscot ).2.二、垂面法 ：通過作二面角棱的垂面 , 此垂面與二面角的兩個面所交的兩條射線構(gòu)成的角就是這個二面角的平面角 .例 4空間三條射線 PA,PB,PC 不共面 , 若 APC= APB=60, BPC=90, 則二面角 B-PA-C 的大小是 _；已知 AOB=90, 過 O 點(diǎn)引 AOB 所在平面的斜線OC, 使它與 OA,OB 分別成 45,60 的角 , 則二面角 A-OC-B 的余弦值為 _.例 5 如圖 , 在 ABC 中 , AB BC, SA平面 ABC , DE 垂直平分 SC, 且分別交 AC,SC 于 D ,E, 又 SA=AB, SB=BC, 求二面角

3、 E-BD -C 的大小 .三、延伸法 ：若所求的兩個面只有一個公共點(diǎn)是已知的, 因此要把兩個面延伸面得到二面角的棱,然后再求出它的平面角.例 6 直角梯形 ABCD 中 , AB AD, AD CD , AB=2, CD=4, 平面 PAD平面ABCD , PBC 是邊長為 10 的正三角形 , 求平面 PAD 和平面 PBC 所成二面角的大小 .例 7 設(shè)正方體 ABCD -A1B1C1D1 中 , E 為 AA1 中點(diǎn) , 求平面 B1DE 和底面 ABCD所成二面角的大小.四、垂線法 ：利用三垂線定理或其逆定理作出平面角.例 8 已知由 O 點(diǎn)出發(fā)的三條射線 OA,OB,OC 不共面

4、,且 AOB=AOC, 求證：二面角 A-OB-C 與二面角 A-OC-B 相等 .例 9 二面角 M-CD -N 中 , A 為平面M 上一定點(diǎn) , ADC 的面積為定值S,DC =a, B 為平面 N 內(nèi)一點(diǎn) , ABCD , 若 AB 與平面 N 成 30角 , 求面積 BCD的最大值 , 并求此時二面角M-CD -N 的大小 .五、射影法 ：若多邊形面積為 S, 它在一個平面上的射影的面積為S0 , 則多邊形所在平面與這個平面所成的二面角 , 滿足 S0=Scos, 利用這個公式求二面角的方法稱“射影法”, 射影法對于解決棱不太明顯的二面角問題有獨(dú)特的作用.例 10 過正方形 ABCD 的頂點(diǎn) A 作線段 PA平面 ABCD , 若 AB=PA, 則平面 ABP與平面 CDP 所成的二面角為 ()A. 30 B. 45C. 60 D. 90 例 11 P