2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳細(xì)解析

1、2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試參考答案及詳細(xì)評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分把答案填在題中的橫線上1.設(shè)是函數(shù)（）的圖像上任意一點，過點分別向直線和軸作垂線，垂足分別為，則的值是 2.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，則的值是 .3.設(shè)，則的最大值是 .4.拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是拋物線上的兩個動點，且滿足設(shè)線段的中點在上的投影為，則的最大值是 .5設(shè)同底的兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球若正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值是 6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 7.滿足的所有正整數(shù)的和是 8.某情

2、報站有四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種設(shè)第周使用種密碼，那么第周也使用種密碼的概率是 （用最簡分?jǐn)?shù)表示）二、解答題：本大題共3小題，共56分解答應(yīng)寫出文字說明、推理過程或演算步驟9.（本小題滿分16分）已知函數(shù)（1）若對任意，都有，求的取值范圍；（2）若，且存在，使得，求的取值范圍10.（本小題滿分20分）已知數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，且對于任意的正整數(shù)，都有（1）當(dāng)時，求所有滿足條件的三項組成的數(shù)列;（2）是否存在滿足條件的無窮數(shù)列，使得若存在，求出這樣的無窮數(shù)列的一個通項公式；若不存在，說明理由11.（本小題滿分20分）如圖，

3、在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊長為，且（1）求證：為定值；（2）當(dāng)點A在半圓（）上運動時，求點的軌跡2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題一、（本題滿分40分）如圖，在銳角中，是邊上不同的兩點，使得設(shè)和的外心分別為，求證：三點共線。二、（本題滿分分）試證明：集合滿足（1）對每個，及，若，則一定不是的倍數(shù)；（2）對每個（其中表示在 中的補集），且，必存在，使是的倍數(shù)三、（本題滿分分）設(shè)是平面上個點，它們兩兩間的距離的最小值為求證：四、（本題滿分分）設(shè)，是正整數(shù)證明：對滿足的任意實數(shù)，數(shù)列中有無窮多項屬于這里，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)參考答案及詳細(xì)評分標(biāo)準(zhǔn)2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試一、填空題1. 【

4、答案】-1【解析】方法1:設(shè)則直線的方程為即由又所以故2. 【答案】4【解析】由題設(shè)及余弦定理得,即故.3. 【答案】【解析】不妨設(shè)則因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號同時成立.故4. 【答案】1【解析】由拋物線的定義及梯形的中位線定理得在中,由余弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故的最大值為1.5. 【答案】4【解析】如圖.連結(jié),則平面,垂足為正的中心,且過球心,連結(jié)并延長交于點,則為的中點,且,易知分別為正三棱錐的側(cè)面與底面所成二角的平面角,則,從而,因為所以即所以,故6. 【答案】【解析】由題設(shè)知,則因此,原不等式等價于因為在上是增函數(shù),所以即又所以當(dāng)時,取得最大值因此,解得故的取值范圍是7. 【答案

5、】33【解析】由正弦函數(shù)的凸性,有當(dāng)時,由此得所以故滿足的正整數(shù)的所有值分別為它們的和為.8. 【答案】【解析】用表示第周用種密碼的概率,則第周末用種密碼的概率為.于是,有,即由知，是首項為，公比為的等比數(shù)列。所以，即，故二、解答題9. 【解析】(1)令則分對任意,恒成立的充要條件是分(2)因為所以所以分因此于是,存在,使得的充要條件是故的取值范圍是分10. 【解析】(1)當(dāng)時, ,由得.當(dāng)時,由得或5分當(dāng)時,若得或;若得;綜上,滿足條件的三項數(shù)列有三個:1,2,3或1,2,-2或1,-1，110分(2)令則從而兩式相減,結(jié)合得當(dāng)時,由(1)知;當(dāng)時,即所以或15分又所以20分11. 【解析】

6、因為所以山的共線5分如圖,連結(jié),則垂直平分線段,設(shè)垂足為,于是有(定值) 10分(2)設(shè)其中則.因為所以15分由(1)的結(jié)論得所以從而故點的軌跡是一條線段,其兩個端點的坐標(biāo)分別為20分2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題一、【解析】證明：如圖.連接,過點作的垂線交的延長線于點,則是的外接圓的切線.因此10分因為所以20分因而是的外接圓的切線30分故所以三點共線。40分二、【解析】證明:對任意的,設(shè)則如果是任意一個小于的正整數(shù),則10分由于與中,一個為奇數(shù),它不含素因子,另一個是偶數(shù),它含素因子的冪的次數(shù)最多為,因此一定不是的倍數(shù)；20分若,且設(shè)其中為非負(fù)整數(shù),為大于的奇數(shù),則30分下面給出(2)

7、的三種證明方法:證法一:令消去得由于這方程必有整數(shù)解;其中為方程的特解.把最小的正整數(shù)解記為則,故使是的倍數(shù)40分證法二:由于由中國剩余定理知,同余方程組在區(qū)間上有解即存在使是的倍數(shù)40分證法三:由于總存在使取使則存在使此時因而是的倍數(shù)40分三、【解析】證法一:不妨設(shè)先證明:對任意正整數(shù),都有顯然, 對均成立,只有時右邊取等號10分所以,只要證明當(dāng)時,有即可.以為圓心,為半徑畫個圓,它們兩兩相離或外切;以圓心，為半徑畫圓，這個圓覆蓋上述個圓20分所以30分由易知40分所以對時也成立.綜上,對任意正整數(shù)都有.因而50分證法二: 不妨設(shè)以為圓心,為半徑畫個圓,它們兩兩相離或外切; 10分設(shè)是是圓上任意一點,由于20分因而,以為圓心, 為半徑的圓覆蓋上述個圓30分故40分所以50分四、【解析】證法一:(1)對任意,有10分令則20分又令,則因此存在使得所以30分不然一定存在使得因此這與矛盾.所以一定存在使得40分(2)假設(shè)只有有限個正整數(shù)使得令則則不存在使得這與（1）的結(jié)論矛盾.所以數(shù)列中有無窮多項屬于.終上所述原命題成立50分證法二:(1) 10分因此,當(dāng)充分大時,可以大于如