高中數(shù)學抽象函數(shù)常見題型及解法

1、抽象函數(shù)常見題型及解法綜述一、 函數(shù)的基本概念問題1抽象函數(shù)的定義域問題例1 已知函數(shù)的定義域是1，2，求的定義域定義域是1，4例2 已知函數(shù)的定義域是1，2，求函數(shù)的定義域定義域是1，2抽象函數(shù)的值域問題例4 設(shè)函數(shù)(x) 定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，(x + y) =(x)(y)總成立，且存在xx，使得(x)( x)，求函數(shù)(x)的值域答案(x)0 評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段3抽象函數(shù)的解析式問題例5 設(shè)對滿足 x0，x1的所有實數(shù) x ，函數(shù)(x) 滿足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式評析：如果把

2、x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略二、尋覓特殊函數(shù)模型問題1指數(shù)函數(shù)模型 例6 設(shè) 定義于實數(shù)集R上，當x0時，1 ，且對于任意實數(shù)x、y ，有(x + y) =，同時(1) = 2，解不等式(3xx)4聯(lián)想：因為a= aa(a0，a1)，因而猜測它的模型函數(shù)為= a(a0，a1)(由(1) = 2，還可以猜想= 2)1x22.冪函數(shù)模型例8 已知函數(shù)對任意實數(shù)x、y都有=，且=1，=9，當0x1時，01時判斷的奇偶性；判斷在0，上的單調(diào)性，并給出證明；若a0且，求a

3、的取值范圍聯(lián)想：因為= (xy)，因而猜測它的模型函數(shù)為=(由=9，還可以猜想= x)0a2三、研究函數(shù)的性質(zhì)問題1抽象函數(shù)的單調(diào)性問題例9 設(shè)(x) 定義于實數(shù)集上，當x0時，(x)1 ，且對于任意實數(shù)x、y，有(x + y) =(x) (y)，求證：(x) 在R 上為增函數(shù)評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，而變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)2抽象函數(shù)的奇偶性問題例10 已知函數(shù)(x) (xR，x0）對任意不等于零實數(shù)x、x 都有(xx) =(x) +(x)，試判斷函數(shù)(x) 的奇偶性3抽象函數(shù)的周期性問題例11 函數(shù)

4、定義域為全體實數(shù)，對任意實數(shù) a、b，有(ab)(ab) =2(a) (b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求證(x) 是周期函數(shù)聯(lián)想：因為cos(ab)cos(ab) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函數(shù)為y = cosx，由y = cosx的周期為，可猜想2C為的一個周期 四、抽象函數(shù)中的網(wǎng)絡(luò)綜合問題例13 定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有=，且當x0時，01判斷的單調(diào)性；設(shè)A = (x，y)|，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，試確定a 的取值范圍1a1解決抽象函數(shù)問題的常用方法一、賦值法觀察與分析抽象函數(shù)問題中的已知與未知的關(guān)系，巧妙地對一

5、般變量賦予特殊值，或把函數(shù)賦予特殊函數(shù)等，從而達到解決問題的目的，這是常用的方法 1、賦特殊值 例1. 設(shè)函數(shù)，對任意實數(shù)、滿足。（1）求證：；（2）求證：為偶函數(shù)；（3）已知在上為增函數(shù)，解不等式。解得且。 2、賦特殊函數(shù) 例2. 對于任意的函數(shù)，在同一個直角坐標系中，函數(shù)與函數(shù)的圖像恒（ B ）（A）關(guān)于x軸對稱（B）關(guān)于直線對稱（C）關(guān)于直線對稱（D）關(guān)于y軸對稱二、遞推法根據(jù)題目中所給出的或推出的函數(shù)方程，運用遞推的思想，逐步遞推，達到目的。 例3. 已知是定義在R上的函數(shù)，且對于任意都有，若_1_。三、比較，轉(zhuǎn)化法有些抽象函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)聯(lián)系密切，求解這類問題

6、應(yīng)充分理解題意，綜合運用函數(shù)知識和函數(shù)思想，將其轉(zhuǎn)化到熟悉的問題中來。 例5. 已知定義在R上的函數(shù)滿足：（1）對于任意都有；（2）當時，且。求在上的最大值和最小值。 6；-6 例6. 設(shè)函數(shù)的定義域為R，對于任意實數(shù)m、n，總有，且。（1）求的值；（2）判斷在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，a、b、c，a、b不同時為零，若，確定實數(shù)a、b、c三者之間的關(guān)系。2008山東（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)其中nN*,a為常數(shù).（）當n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；（）當a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n, 當x2時，有f(x)x-1.證（放縮法）：當a=1時，當x2，時，對任意的正整數(shù)n，恒有1，故只需證明1+ln(x-1) x-1.令則當x2時，0，故h(x)在上單調(diào)遞增，因此當x2時，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故當x2時，有x-1.即f（x）x-1.2011湖北21（本小題滿分14分）（）已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；